数学（理）卷·2017届江西省新余市第四中学、宜春中学高三下学期开学联考（2017

数学（理）卷·2017届江西省新余市第四中学、宜春中学高三下学期开学联考（2017

‎2017届宜春中学新余四中高三开学联考理科数学试卷 一.选择题(60分)‎ ‎1．设集合，，则的子集的个数是：（ ）‎ A．4 B．3 C ．2 D．1‎ ‎2．已知复数，是z的共轭复数，则=（ ）‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎3. 下列结论正确的是（ ） ‎ A．命题“如果，则”的否命题是“如果，则”；‎ B．命题，命题则为假;‎ C．“若则”的逆命题为真命题;‎ D. 若的展开式中第四项为常数项，则=‎ ‎4. 已知，，则曲线为椭圆的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第6题图 ‎5.定义矩阵，若，则 A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称 C.在区间上单调递增 D. 周期为的奇函数 ‎6.如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断 ‎ 框中的横线上可以填入的最大整数为（ ）‎ ‎ A．17 B．16 C．15 D．14‎ ‎7.如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的 表面积为( )‎ ‎ A． B．3 C． 4 D．‎ ‎8.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）‎ ‎ A．150 B．180 C． 200 D．280‎ ‎9.已知都是定义在上的函数，，，且 ‎，且，．若数列的前项和大于，则的最小值为（ ） ‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎10.对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为优函数，① 对任意，恒有；② 当时，总有成立，则下列函数不是优函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知双曲线与函数的图象交于点，若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知函数，则方程 的根的个数不可能为（ ）‎ A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 二、填空题（20分）‎ ‎13．已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形最大角为 .‎ ‎14. 设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最小值为 . ‎ ‎15．已知直线与抛物线交于两点，点，若，则_______.‎ ‎16．已知数列的前项和为，对任意，且 恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．(12分)已知中，为角所对的边，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，并且边上的中线的长为，求的长.‎ ‎18．(12分)时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过2天按照300元计算；超过两天的部分每天收费标准为100元（不足1天的部分按1天计算）．有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过2天还车的概率分别为；2天以上且不超过3天还车的概率分别；两人租车时间都不会超过4天．‎ ‎（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；‎ ‎（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．‎ ‎19．(12分)如图（1），在等腰梯形中，是梯形的高，， , 现将梯形沿折起，使∥且，得一简单组合体如图（2）示，已知分别为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ 第19题图（2）‎ 第19题图（1）‎ A B E F D C ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，则求平面与平面所成的锐二面角大小. ‎ ‎20．(12分)已知椭圆，直线经过的右顶点和上顶点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的 直线交椭圆于两点. 设直线和的斜率为.‎ ‎①求证: 为定值；②求的面积的最大值.‎ ‎21．(12分)已知函数，其中是自然对数的底数.‎ ‎（1）求函数的零点；‎ ‎（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间内，‎ 另一个在区间外，求的取值范围；‎ 请考生在第(22)、(23)二题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22．(10分)在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长. ‎ ‎23．(10分)已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，，且，求证：.‎ 数学（理科）答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C D D C B C A B D A D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13. 14. 15． 16. ‎ ‎17．解：（Ⅰ）由题意得： ．．．．．．．．．．．．2分 由正弦定理得：‎ ‎．．．．．．．4分 ‎．．．．．．．．．．．．6分 ‎（Ⅱ）由题意得：，即：．．．．．．．．．．．．8分 由余弦定理得：， 即：．．．．．．．．．10分 联立上述两式,解得：或.．．．．．．．．．．．．12分 ‎18．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．‎ ‎【解析】（1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用，‎ 当乙租车2天内时，则甲租车3或4天，其概率为；‎ 当乙租车3天时，则甲租车4天，其概率为；‎ 则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）设甲，乙两个所付的费用之和为可为600，700，800，900，1000，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 故的分布列为 ‎600‎ ‎700‎ ‎800‎ ‎900‎ ‎1000‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 故的期望为．．．．．12‎ ‎19. （Ⅰ）证明：连，∵四边形是矩形，为中点，‎ ‎∴为中点. ‎ 在中，为中点，故.‎ ‎∵平面，平面，平面. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（Ⅱ）依题意知 且 ‎∴平面，在面上的射影是.‎ 就是与平面所成的角.‎ 故在中 ‎ ‎.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设且，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系 则 ‎ 设分别是平面与平面的法向量 令，‎ 即 取 则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 平面与平面所成锐二面角的大小为.．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎20.答案：；(2)①见解析；②．‎ ‎【解析】(1) 在方程中，令，则，所以上顶点的坐标为，所以；令，则，所以右顶点的坐标为，所以，‎ 所以，椭圆的方程为.．．．．．．．．．．4分 ‎(2) ①设直线的方程为.代入椭圆方程得.设，则，‎ 所以为定值．.．．．．．．．．．．8分 ‎②因为直线过点，设直线的方程为，即代入椭圆方程得.由判别式解得.‎ 点到直线 的距离为 ，则 ‎，‎ 令，则，所以时，的最大值为..．．．．．．．．．．12分 ‎21. 【解析】：（1），‎ ‎ ..．．．．．．．．．．2分 ① 当时，函数有1个零点： ..．．．．．．．．．．3分 ‎ ‎② 当时，函数有2个零点： ..．．．．．．．．．．4分 ‎ ‎③ 当时，函数有两个零点： ..．．．．．．．．．．5分 ‎ ‎④ 当时，函数有三个零点：‎ ‎ ..．．．．．．．．．．6分 ‎ ‎（2） ‎ 设，的图像是开口向下的抛物线.‎ 由题意对任意有两个不等实数根，‎ 且 ‎ 则对任意,即, ..．．．．．．．．．．9分 ‎ 又任意关于递增,,‎ 故 所以的取值范围是 ..．．．．．．．．．．12分 ‎ ‎22.【答案】（1）；（2）.[]‎ ‎【解析】（1）圆的普通方程为，又，，‎ ‎∴圆的极坐标方程为. ..．．．．．．．．．．4分 ‎ ‎（2）设，则由解得.‎ 设，则由解得.‎ ‎∴. ..．．．．．．．．．．10分 ‎ ‎23.【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1） ‎ 当时，则，解得；‎ 当时，则不成立；‎ 当时，由，解得. ‎ 所以原不等式的解集为. ..．．．．．．．．．．5分 ‎ ‎（2）即. ‎ 因为,,‎ 所以,‎ 所以.故所证不等式成立. ..．．．．．．．．．．10分 ‎ ‎．‎