数学理卷·2018届江苏省江阴四校高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届江苏省江阴四校高二下学期期中考试（2017-04）

‎2016-2017学年高二期中考试 数学学科试题（理科）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1. 已知，则为______▲______‎ ‎2. 若（为虚数单位），则的值为 ▲ . ‎ ‎3. 给出下列演绎推理：“整数是有理数， ，所以-3是有理数”，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写 _▲__ ．‎ ‎4. 设，则方程的解集是 ▲ ‎ ‎5. 用反证法证明命题“若中至少有一个小于2”时，假设的内容应该是 ▲ .‎ ‎6. 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一个小组，要求其中男、女同学都有，则共有 种不同的选法．（用数字作答）‎ ‎7. 已知复数且，则的范围为______▲_______．‎ ‎8. 甲、乙、丙三人站在共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数为___________．‎ ‎9. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为. 类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ .‎ ‎10. 用数学归纳法证明：，则当时，左端在时的左端加上了 ▲ ‎ ‎11. 航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则编队配置分配方案的方法数为__▲______．(用数字作答)‎ ‎12. 观察下列等式：‎ ‎＋＝；‎ ‎＋＋＋＝；‎ ‎＋＋＋＋＋＝；‎ ‎……‎ 则当且时，‎ ‎＋＋＋＋…＋＋＝__▲______(最后结果用表示)．‎ ‎13. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为 参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 ▲ .‎ ‎14. 从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球,共有种取法，这种取法可分成两类：一类是取出的个球中，没有黑球， 有种取法，另一类是取出的个球中有一个是黑球，有种取法，由此可得等式：+=．则根据上述思想方法，当时，化简· ▲ ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分14分）已知复数，，为纯虚数．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求复数的平方根．‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅱ）证明： 不可能是同一个等差数列中的三项.‎ ‎17．（本小题满分14分）某地有10个著名景点，其中8 个为日游景点，2个为夜游景点．某旅行团要从这10个景点中选5个作为二日游的旅游地．行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、下午各一个景点．‎ ‎（Ⅰ）甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有多少种？‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两个日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种？‎ ‎（Ⅲ）甲、乙两个日游景点不同时被选，共有多少种不同排法？ ‎ ‎18．（本小题满分16分）已知是虚数，是实数．‎ ‎（1）求为何值时，有最小值，并求出|的最小值；‎ ‎（2）设，求证：为纯虚数．‎ ‎19.（本小题满分16分）如图，四边形的两条对角线相交于，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形进行染色，且每个三角形用一种颜色图染.‎ ‎（1）若必须使用红色，求四个三角形中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数；‎ ‎（2）若不使用红色，求四个三角形中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数.‎ ‎20．（本题满分16分）‎ ‎ 已知数列的前n项和为，且，令.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，用数学归纳法证明是18的倍数．‎ ‎2016—2017学年第二学期高二期中考试数学（理科）试题参考答案 一、填空题：（共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．18 ； 2． ；3． -3是整数 ； 4． ；5．假设 两者都大于或等于2； 6．30； 7．； 8．336；9．； 10．(k2＋1)＋(k2＋2)＋ …＋(k＋1)2 11．32 ； 12． ； 13． 465 ；14． ww w.k s5 u.co m 二、解答题：（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15. 解：（Ⅰ）. ---------------4分 ‎∵为纯虚数，　　∴　　解得a＝3. -------------7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），‎ 设复数（x∈R，y∈R）满足，‎ 则　解得或 ‎∴所求的平方根为2-i或-2＋i . --------------------------14分 ‎16. 解：（Ⅰ）‎ 又且，‎ ‎ ∴ ，‎ ‎ . （其他证法，如分析法，酌情给分）----------7分 ‎（Ⅱ）假设是同一个等差数列中的三项，分别设为，‎ 则为无理数，又为有理数，矛盾.‎ 所以，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项. -------------14分 ‎17. 解：（Ⅰ）（种） ---------------4分 ‎（Ⅱ）（种） -----------------------8分 ‎（Ⅲ）（种） -------------------------13分 答：分别不同排法总数是2640种，240种，2640种. ------------------------14分 ‎18．解：设，则 所以，，又可得 ……………………………4分 （1） 表示点到点的距离，所以最小值为 ………7分 解方程组并结合图形得 ……………………………9分 （2） 又，所以为纯虚数 …………………………………………………………16分 ‎19、解：（1）同色的相邻三角形共有种，不妨假设为，‎ ①若同时染红色，则另外两个三角形共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法；‎ ②若同时染的不是红色，则它们的染色有种，另外两个三角形一个必须染红色，所以这两个三角形共有，因此这种情况共有种染色方法．‎ 综上可知有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数为种；…8分 ‎（2）因为不用红色，则只有四种颜色．‎ 若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法；若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在对顶的区域，所以一共有 种染色方法；若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组对顶区域，所以共有种染色方法．综上可知所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数为种． ………………16分 ‎20、解：（Ⅰ）当n＝1时，，∴.-------------------1分 当n≥2时，，‎ ‎∴，即.-------------------3分 ‎∴.‎ 即当n≥2时.-----------------------------------------------5分 ‎∵，∴数列是首项为5，公差为3的等差数列. ---------------------6分 ‎∴，即.---------------------------------------7分 ‎∴.-----------------------------------------------------8分 ‎（Ⅱ）.‎ ‎①当n＝1时，，显然能被18整除；--------------------------------9分 ‎②假设n＝k 时，能被18整除，-----------------------10分 则当n＝k＋1时，‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎　　　＝‎ ‎ ＝，----------------------------------------13分 ‎∵k≥1，‎ ‎∴能被18整除. -----------------------------------------------14分 又能被18整除，‎ ‎∴能被18整除，即当n＝k＋1时结论成立. --------------------------15分 由①②可知，当时，是18的倍数．----------------------------16分