2018-2019学年福建省宁德市高二下学期期末数学文试题 解析版

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绝密★启用前 福建省宁德市2018-2019学年高二下学期期末数学文试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过A和B，然后交集运算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算，难度很小.‎ ‎2．已知是虚数单位，复数（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过完全平方公式，计算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的基本运算，难度很小.‎ ‎3．设函数，则（ ）‎ A． B． C．1 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过判断可得到，再通过得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由于，故，而，所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的运算，难度较小.‎ ‎4．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过导函数求得，从而知道切线斜率，建立方程即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由于,所以，所以，又切线与直线平行，所以，即，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，直线平行的条件，难度较小.‎ ‎5．下列命题中的假命题是（ ）‎ A． B．‎ C． D．为虚数单位，为虚数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过ABCD选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，显然，故A为真命题；对于B选项，当时，，故B为真命题；对于C选项,当时，，故C为假命题；对于D选项，‎ 为虚数单位，为虚数，故D为真命题，故答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查真假命题的判断，意在考查学生的分析能力及逻辑推理能力，难度不大.‎ ‎6．已知函数，，的零点依次为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过零点的定义可确定a,b,c的值，从而判断其大小.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，故，，故，，故，因此，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查零点的求解，无理数的大小判断，难度不大.‎ ‎7．中华文化博大精深。我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多，比如“二八年华”指女子16岁。乾隆曾出上联“花甲重逢，外加三七岁月”，纪晓岚对下联“古稀双庆，更多一度春秋”，暗指一位老人的年龄。根据类比思想和文化常识，这位老人的年龄为（ ）‎ A．71岁 B．81岁 C．131岁 D．141岁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过常识“花甲”是60岁，“三七岁月”是21年，“古稀”是70岁，“一个春秋”是一年便可以计算出老人的年龄.‎ ‎【详解】‎ ‎“花甲”是60岁，“三七岁月”是21年，“古稀”是70岁，“一个春秋”是一年.这位老人的年龄应是或.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题是对古代文化常识的考查.解答本题要先理解对联的意思，并且对表示年龄的词语要知道具体代表多少岁.‎ ‎8．函数的大致图像是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性排除C,D选项，再代入特殊值即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由于为奇函数，图像关于原点对称，故排除CD选项，而，故选B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的性质与图像，做函数图像题的基本步骤：先判断函数的奇偶性，再带特殊值.‎ ‎9．不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当不等式x2-x+m>0在R上恒成立时,有Δ=(-1)2-4m<0,解得m>.因此当不等式x2-x+m>0在R上恒成立时,必有m>0,但当m>0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求必要不充分条件是m>0.‎ ‎10．已知函数是定义在上的奇函数，且，当，则等于（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过，确定函数周期，因此，故求对应项即可.‎ ‎【详解】‎ 由于，故函数，又是定义在上的奇函数，所以，又因为当，所以，所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的基本性质：周期性，奇偶性.意在考查学生的逻辑推理能力和分析能力，难度不大.‎ ‎11．已知奇函数在区间上满足：，且，则不等式的解集为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过构造函数，确定新函数为偶函数和增函数，从而脱离f求得解集.‎ ‎【详解】‎ 由题意可令，则为偶函数.当时，，则为增函数，等价于即,于是，所以，而，故不等式解集为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查构造函数的相关性质：奇偶性和增减性，利用函数性质求不等式的解集，意在考查学生的分析能力和计算能力.‎ ‎12．已知与的图像上存在两对关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先知道反函数的图像关于直线对称，于是可将问题转化为函数与有两个交点，分别讨论和两种情形下的情况，可求出极端位置，两函数相切情况，由此得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由于与的图像上存在两对关于直线对称的点，则可转化为函数与有两个交点，当时，显然不成立；当时，设二次函数与相切于，满足由二次函数的的几何意义可知，即选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查反函数的相关概念，函数图像的交点与零点问题，利用导函数解决相切问题等，意在考查学生的分析能力及计算能力，转化能力，难度较大.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知幂函数的图像过点，则的定义域是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过函数经过点代入得到，从而得到函数定义域.‎ ‎【详解】‎ 由于经过点，代入得，所以的定义域是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的相关定义域，难度不大.‎ ‎14．甲、乙、丙三位同学中只有一人会拉小提琴，‎ 甲说：我会；‎ 乙说：我不会；‎ 丙说：甲不会；‎ 如果这三人中有且只有一人说真话，由此可判断会拉小提琴的是________．‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过分别判断甲乙丙为真话得到相应情况，看是否符合题意从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 假如甲说的是真话，则甲会拉钢琴，于是乙说的也是真话，矛盾；假如乙说的是真话，则甲说的是假话，甲也不会，于是丙会拉钢琴，则丙说的是真话与一人说真话矛盾；假如丙说的是真话，于是甲说的是假话，则乙也说的假话，所以乙会，符合题意.故答案是乙.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查逻辑推理能力，阅读理解能力，意在考查学生的分析能力.‎ ‎15．‎ ‎（1）在极坐标系中，已知两点的极坐标分别为，则（其中为极点）的面积___．‎ ‎（2）函数的最小值为________．‎ ‎【答案】1 1 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接结合极坐标的几何意义和面积公式直接得到结果.‎ ‎(2)分类讨论和的函数解析式，从而判断最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得；‎ ‎（2）当时，，当时，，因此综上所述，最小值为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查面积公式，极坐标的几何意义，分段函数最值，意在考查学生的分析能力及转化能力，难度不大.‎ ‎16．已知函数，则不等式的解集为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于函数为复合函数，先将函数转化为，具有奇函数和减函数的相关性质，从而脱离f解不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 由于，可设，显然为奇函数，，则为减函数，不等式转化为，则解得，所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查构造函数的性质：奇偶性，单调性，利用性质解不等式，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，难度中等.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数在复平面上的对应点在第四象限. ‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值集合；‎ ‎（Ⅱ）若集合，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由于复数在复平面上的对应点在第四象限，因此从而得到答案;‎ ‎（Ⅱ）由得,解得集合，从而求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）依题意， 解得， 即. ‎ ‎（Ⅱ）由得， 即，化简得 解得：，即，‎ 所以故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的几何意义，集合的相关运算，意在考查学生对于基础知识概念的掌握，难度不大.‎ ‎18．已知函数，且，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若在上单调递增，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由，可得到答案；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，‎ 所以在上单调递增； 要使在上单调递增，必须且只须在上单调递增，即，且，综合可得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）， ，解得 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，‎ 所以在上单调递增； 要使在上单调递增，必须且只须在上单调递增，即，‎ 且，即，解得：；所以的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数参数的求值，含参函数单调性问题，意在考查学生的分析判断能力及转化能力，难度较大.‎ ‎19．已知函数，若在处取得极值.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值及的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若方程有且只有一个根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调递增区间为和，单调递减区间为；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）,则，在处取得极值得到，从而作出的增减表，从而得到单调区间；‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知的极大值和极小值，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） 由已知， ‎ 经检验符合题意 令得或 ‎ 当变化时，的变化如下表：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 由上表知，的单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知的极大值为，‎ 的极小值为， ‎ 要使方程有且只有一个根，等价于或，‎ 所以实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调区间的计算，极值的计算及理解，使方程有且只有一个根，转化为或是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力和分析能力.‎ ‎20．“绿水青山就是金山银山”。随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，2018年起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭。一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）。假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为元、‎ 元（单位：kg）；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买3kg鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋.‎ ‎（Ⅰ）若，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格；‎ ‎（Ⅱ）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）因此甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为；‎ ‎（Ⅱ）证法一：（比较法）：直接作差与0比较大小即可；‎ 证法二（分析法）：依题意，且，‎ 要证： 等价于证明，再转化为即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） ‎ 甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为，‎ ‎（Ⅱ）甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为，‎ 由（Ⅰ）知，时，乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的 平均价格低，猜测乙的购买方式更实惠。 ‎ 证法一（比较法）：依题意，且，‎ ‎，，‎ 所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，‎ 即乙的购买方式更实惠。‎ 证法二（分析法）：依题意，且，‎ 要证： ，‎ 只需证：‎ 只需证：‎ 只需证：（已知）。 ‎ 所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，‎ 即乙的购买方式更实惠。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的实际应用，意在考查学生的分析能力和逻辑推理能力，只要熟练掌握不等式的相关性质，在处理中还是比较轻松.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）显然，，可分和分别讨论函数的单调性;‎ ‎（Ⅱ）当时，要证：，‎ 只需证：，由（Ⅰ）易知， ‎ 所以即证：，从而设求最小值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）显然，，‎ ‎ （1）当时，，在上单调递减；‎ ‎（2）当时，由得 ‎ ‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增。‎ ‎（Ⅱ）当时，要证：，‎ 只需证：，由（Ⅰ）易知， ‎ 所以即证：，‎ 设，则，令得得， ‎ 当时，，在上单调递减；当时，，‎ 在上单调递增。，即，即，所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数与导数的应用，意在考查学生的计算能力和逻辑分析能力，具有较高的思维技巧，对学生分类讨论的能力要求较高.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，曲线与的交点为，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由消去即可得到曲线的普通方程，由可得的直角坐标方程;‎ ‎（Ⅱ）将的参数方程代入,从而即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由消去得：，‎ 整理得的普通方程为：； 在两边同乘以得：，‎ 由得的直角坐标方程为：，即．‎ ‎（Ⅱ）将的参数方程代入整理得：，‎ 设，对应的参数分别为，则 ，‎ 由（Ⅰ）知是圆心为，半径为的圆．易检验知点在该圆内，‎ 所以异号，由参数的几何意义知.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程之间的互化，直线参数方程t的几何意义，意在考查学生的转化能力及计算能力，难度不大.‎ ‎23．已知．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值定义分类求解，求得解集；‎ ‎（2）根据绝对值三角不等式以及均值不等式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，不等式可化为：，或，或解得：‎ 或，故不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎ ‎ ‎（当且仅当即即时取等号）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的应用，题目较灵活，技巧性较强，意在考查学生对于绝对值不等式的相关理解，难度中等.‎