2018-2019学年河南省新乡市高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年河南省新乡市高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 河南省新乡市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“若，则”的逆命题为（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题与逆命题的关系，可得逆命题。‎ ‎【详解】‎ 根据原命题与逆命题的关系，可得逆命题为 若，则 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了命题与逆命题的关系，属于基础题。‎ ‎2．在等差数列中，，，则　　‎ A．8 B．9 C．11 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合等差数列的性质即可求解的值．‎ ‎【详解】‎ 在等差数列中，由，得，‎ 又，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．‎ ‎3．在中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若，，，则　　‎ A． B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用三角形内角和定理可求B的值，根据余弦定理可得b的值．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 由余弦定理可得：．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎4．已知双曲线 的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线定义及a、b、c关系，求出值即可得到双曲线方程。‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线 的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10‎ 所以 ，解方程组得 且焦点在x轴上，所以双曲线标准方程为 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了利用a、b、c的关系求双曲线标准方程，属于基础题。‎ ‎5．在三棱柱中，若，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可画出三棱柱，结合图形即可求出，这样根据向量加法的平行四边形法则即可求出．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ ‎∵；‎ ‎，；‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相等向量、相反向量的概念，向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，数形结合的解题方法．‎ ‎6．设，，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求得x的取值范围，根据充分不必要条件可求出a、b的范围即可。‎ ‎【详解】‎ 解不等式得 因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，且 所以 ‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件的判断，注意边界问题，属于基础题。‎ ‎7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，，则使成立的是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，验证，得到，进而得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，只有B中，所以，故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用空间向量判定点、线、面的位置关系的应用，其中熟记空间向量与线面位置关系的判定方法，熟练使用平面的法向量是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎8．设x，y满足约束条件，则的最小值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 画出表示的可行域，如图，‎ 由可得，可得，‎ 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，‎ 直线在轴上的截距最小，‎ 最小值为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）‎ 作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎9．已知点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第四象限的点，若，则的面积为　　‎ A．42 B．30 C．18 D．14‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用焦半径公式可得，得到抛物线方程，求得的坐标，得到方程，求出与轴交点，再由面积公式求解．‎ ‎【详解】‎ 因为到焦点的距离，等于到准线的距离，‎ 所以，，‎ 则抛物线的方程为，‎ 把代入方程，得舍去，即．‎ 同理可得，则：，即．‎ 设直线与轴交于点，已知，‎ ‎，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程、定义与简单性质，是中档题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)‎ 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ ‎10．已知在长方体中，，，，是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得利用向量垂直数量积为零列方程求出的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果 ‎【详解】‎ 在长方体中，，，，是侧棱的中点，‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎0，，，，，‎ ‎0，，‎ ‎，0，，1，，‎ 设平面的法向量为，，‎ 则，取，得，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则．‎ 直线与平面所成角的正弦值为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面角的正弦值的求法，以及空间向量夹角余弦公式的应用，是中档题．利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：‎ 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；‎ 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；‎ 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；‎ 第四，破“应用公式关”.‎ ‎11．在直角坐标系中，是椭圆：的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率。‎ ‎【详解】‎ 如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF，∠EAB=∠EBA，所以∠EAB=∠QBF，所以ME//BQ.‎ 因为△PME∽△PQB，所以，‎ 因为△PBF∽△EBO，所以，从而有，‎ 又因为M是线段PF的中点，所以.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎12．设是数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可由题设中的递推关系得到，将其变形为后用累加法求可得．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以且，所以，‎ 整理得到，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，选A．‎ ‎【点睛】‎ 数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设命题：，，则为______ .‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由全称命题的否定即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 根据全称命题的否定，可得 为，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含有量词的命题否定，属于基础题。‎ ‎14．已知，则的最小值为______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式即可求出最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当，即时取等号，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用余弦定理可求，又，可求b，c的值，根据余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由余弦定理可得：，整理可得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：，，‎ ‎，可得：，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎16．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交C的右支于A、B两点，，，则C的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设，，由可得，运用双曲线的定义和勾股定理求得，再由勾股定理和离心率公式，计算可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 可设，，‎ 由可得，‎ 由双曲线的定义可得，‎ ‎，‎ 由双曲线的定义可得，‎ 在直角三角形中，可得，‎ 即，‎ 在直角三角形中，可得，‎ 即为，即，‎ 可得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用直角三角形的勾股定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知表示焦点在x轴上的双曲线，q：方程表示一个圆．‎ 若p是真命题，求m的取值范围；‎ 若是真命题，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合双曲线的定义进行求解即可 根据复合命题真假关系，得到p，q都是真命题进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：若表示焦点在x轴上的双曲线为真命题，‎ 则，得，得，‎ 由得，‎ 若方程表示圆，则得，即q：，‎ 若是真命题，则p，q都是真命题，‎ 则，得，‎ 即实数m的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题真假的应用，以及复合命题真假关系，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎18．已知数列满足，．‎ 证明：数列是等比数列；‎ 设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对数列的递推式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；‎ 由对数的运算性质可得，再由裂项相消求和，化简可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：证明：数列满足，，‎ 可得，‎ 即有数列是首项为2，公比为3的等比数列；‎ 由可得，‎ 即有 ‎，‎ 数列的前n项和．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ Ⅰ求A；‎ Ⅱ若，，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ【方法一】利用正弦定理与三角形内角和定理，结合题意求得的值，从而求出角A的值；【方法二】利用余弦定理结合题意求得，从而求得A的值；Ⅱ由同角的三角函数关系求得，再利用三角恒等变换求得，利用正弦定理求得b，计算的面积．‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ【方法一】由已知得，‎ ‎，‎ ‎；‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由，得；‎ ‎【方法二】‎ 由已知得，‎ 化简得，‎ ‎，‎ 由，得；‎ Ⅱ由，，‎ 得，‎ 在中，，‎ 由正弦定理，得，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，考查了三角形面积公式，属于中档题．‎ ‎20．如图，在直三棱柱中，，，，，点在线段上，且．‎ 求的长；‎ 求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，先证明平面,可得，利用三角形与三角形相似，‎ 可得，利用直角三角形的性质求得；连接，结合（1），由线面垂直的性质可得，即为所求角，由等腰直角三角形的性质可得结果．‎ ‎【详解】‎ 为直三棱柱，‎ 平面平面，‎ ‎，‎ 平面，所以 ‎，所以平面,‎ ‎，‎ 三角形与三角形相似，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎；‎ 设，连接BD，‎ ‎，‎ 即为二面角的平面角，‎ 在中求得，‎ 为等腰直角三角形，‎ 故．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直证明线线垂直、二面角的求法，属于难题.‎ 求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.‎ ‎21．已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为.‎ ‎（1）求的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线交于，两点，且线段的中点的坐标为，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，可判断出圆心C的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得E的轨迹方程。‎ ‎（2）设出直线斜率，两个交点P、Q的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线方程；联立抛物线方程，利用弦长公式即可求得。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题设知，点到点的距离等于它到直线的距离，‎ 所以点的轨迹是以为焦点为准线的抛物线， ‎ 所以所求的轨迹方程为 ‎ ‎（2）由题意已知，直线的斜率显然存在，设直线的斜率为，‎ 则有，两式作差可得 ‎，即得， ‎ 因为线段的中点的坐标为，所以，‎ 则直线的方程为，即，‎ 与联立得，‎ 得， ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义，涉及中点问题的点差法的应用及弦长公式，属于中档题。‎ ‎22．已知椭圆C：的离心率为，长半轴长为短轴长的b倍，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点．‎ 求椭圆C的方程；‎ 若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，解出a、b即可．‎ 点易知，，则直线MA的方程为，直线MB的方程为分别与椭圆联立方程组，解得，，可得，，Q坐标结合对称性可知定点在y轴上，设为N，令直线PN，QN的斜率相等，即可得到定点．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，解得，‎ 所以椭圆C的方程为．‎ 易知，，‎ 则直线MA的方程为，直线MB的方程为．‎ 联立，得，‎ 于是，，‎ 同理可得，，又由点及椭圆的对称性可知定点在y轴上，设为N（0，n）‎ 则直线PN的斜率，直线QN的斜率，‎ 令，则，化简得，解得n=，‎ 所以直线PQ过定点 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎