数学·【全国百强校】山西省山西大学附属中学2017届高三第二次模拟测试数学试题解析（解析版）Word版含解斩

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全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，所以.‎ 考点：一元二次不等式，集合交集．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.‎ ‎2.已知的终边过点，则等于（ ）‎ A． B． C．-5 D．5‎ ‎【答案】B 考点：三角恒等变换．‎ ‎3.某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为（ ）‎ A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：茎叶图，频率分布直方图．‎ ‎4.已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）‎ A．-2 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，对应点在第四象限，故，A选项正确.‎ 考点：复数运算．‎ ‎5.阅读如图所示的程序如图，运行相应的程序，若输出的为，则判断框中填写的内容可以是【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：算法与程序框图．‎ ‎6.，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，由于为增函数，所以.应为为增函数，所以，故.‎ 考点：比较大小．‎ ‎7.（文科）要得到的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D ‎．向下平移1个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故向上平移个单位.‎ 考点：图象平移．‎ ‎7.（理科）的展开式中，的系数为（ ）‎ A．15 B．-15 C．60 D．-60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：依题意有，故系数为.‎ 考点：二项式．‎ ‎8.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：三视图．‎ ‎9.下列函数中，与函数的奇偶性、单调性相同的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：所以函数为奇函数，且为增函数.B为偶函数，C定义域与不相同，D为非奇非偶函数，故选A.‎ 考点：函数的单调性与奇偶性．‎ ‎10.已知等差数列的前项和为，且，在区间内任取一个实数作为数列 的公差，则的最小值仅为的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：等差数列．‎ ‎11.双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于 两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设，则，因为，所以，解得，所以，在直角三角形中，由勾股定理得，因为，所以，所以.‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系．‎ ‎【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，考查双曲线的定义，考查解三角形.由于题目给定的条件是等腰直角三角形，就可以利用等腰直角三角形的几何性质来解题.对于圆锥曲线的小题，往往要考查圆锥曲线的定义，本题考查双曲线的定义：动点到两个定点距离之差的绝对值为常数.利用定义和解直角三角形建立方程，从而求出离心率的平方.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎12.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的 取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：函数导数与不等式．1‎ ‎【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令将函数变为两个函数，将题意中的“存在唯一整数，使得在直线的下方”，转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得的取值范围.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.（文科）与直线垂直的直线的倾斜角为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意可知所求直线的斜率为，故倾斜角为.‎ 考点：直线方程与倾斜角．‎ ‎13.（理科）曲线与直线围成的封闭图形的面积为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：定积分．‎ ‎14.设满足约束条件，则的最大值是____________．　‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最大值为.‎ 考点：线性规划．‎ ‎15.已知是函数两个相邻的两个极值点，且在 处的导数，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和，再结合极值点的导数等于零，可求出.在求的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用来验证.求出表达式后，就可以求出.1‎ ‎16.在直角梯形分别为的中点，‎ 点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中，‎ 则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：向量运算．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在等比数列中，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且为递增数列，若，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将化为，联立方程组，求出，可得；（2）由于为递增数列，所以取，化简得，，其前项和为.‎ 考点：数列与裂项求和法．1‎ ‎18.（文科）（本小题满分12分）‎ 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟 确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分 按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），‎ 将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）万；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：‎ ‎；‎ 月均用水量低于3吨的频率为：‎ ‎；‎ 则吨．1‎ 考点：频率分布直方图．‎ ‎18.（理科）（本小题满分12分）‎ 在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在处每投进一球得3分；在处每投进一球得2‎ 分，如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第3次，某同学在处的抽中率，在 处的抽中率为，该同学选择现在处投第一球，以后都在处投，且每次投篮都互不影响，用表示 该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：‎ ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.03‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求随机变量的数学期望；‎ ‎（3）试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在处投篮得分超过3分的概率的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）该同学选择上述方式投篮得分超过分的概率大于选择都在处投篮得分超过分的概率.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可知，对应的事件为“三次投篮没有一次投中”，‎ ‎∴，‎ ‎∵，解得；‎ ‎（2）根据题意，，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎（3）用表示事件“该同学在处投第一球，以后都在处投，得分超过3分”，用表示事件“该同学都在处投，得分超过3分”，‎ ‎，∴，‎ 即该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率的大于该同学在处投第一球，以后都在处投，得分超过3分的概率．‎ 考点：二项分布．‎ ‎19.如图，四棱锥中，，‎ 为线段上一点，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（2）在三角形中，由，得 ‎，‎ ‎，则，‎ ‎∵底面平面，‎ ‎∴平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，则平面平面，‎ 在平面内，过作，交于，连结，则为直线与平面所成角。‎ 在中，由，得，∴，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．1‎ 考点：立体几何证明垂直与平行．‎ ‎20.已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线 交轴于，且为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率 分别为，且，证明：直线过定点．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（1），∴，∴，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 即；‎ ‎（2）设方程为代入椭圆方程 ‎，，‎ ‎，∴，‎ ‎∴代入得：所以， 直线必过．1‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系．‎ ‎【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）令，讨论的单调区间；‎ ‎（2）若，正实数满足，证明．‎ ‎【答案】（1）当时，函数单调递增区间为，无递减区间，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（2）当时，，‎ 由可得，‎ 即，‎ 令，则，‎ 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以，所以，‎ 又，故，‎ 由可知．1‎ 考点：函数导数与不等式．‎ ‎【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．‎ 请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 已知曲线的极坐标方程为，将曲线，（为参数），经过伸缩变 换后得到曲线．‎ ‎（1）求曲线的参数方程；‎ ‎（2）若点的在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值．‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（1）将曲线（为参数），化为 ‎，由伸缩变换化为，‎ 代入圆的方程，得到，‎ 可得参数方程为；‎ 考点：坐标系与参数方程．‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为；（2）等价于，即在上恒成立，即.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，即或或，‎ 解得或，不等式的解集为；‎ 考点：不等式选讲．‎