数学理卷·2019届广东省深圳市耀华实验学校高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届广东省深圳市耀华实验学校高二上学期期末考试（2018-01）

绝密★启用前 ‎2017－2018学年第一学期期末考试 高二年级实验班(理科数学)试题卷 ‎ 2018.01‎ 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．‎ ‎1．下列说法正确的是 ‎(A) 命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ ‎(B) 若命题，则命题 ‎(C) 命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎(D) “”是“”的必要不充分条件 ‎2．已知向量，，且与互相垂直，则等于 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎3．设的内角，，所对边分别为，，，若，，，则=‎ ‎ (A) (B) (C) 或 (D)‎ ‎4．若公差为2的等差数列的前9项和为81，则=‎ ‎(A) 1 (B) 9 (C) 17 (D)19‎ ‎5．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎6．已知等比数列{}的前n项和，则…等于 ‎　　(A) 　 　(B) 　　(C) 　　　 (D)‎ ‎7．不等式的解集是，则等于 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎8．已知，且，则的最小值为 ‎ ‎ (A) 24 (B) 25 (C) 26 (D)27‎ ‎9．若中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎10．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎11．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎12．已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是 ‎ (A) (B) 4 (C) (D)5‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．已知向量，其中，若，则的值为__________．‎ ‎14．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则__________．‎ ‎15．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=__________．‎ ‎16．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是__________【来源：全,品…中&高*考+网】万元．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分． ‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知中，角的对边分别为，．‎ ‎（Ⅰ）若，求面积的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若，求.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 设是数列的前项和，已知，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知：如图所示，长方体中，棱，棱，连结，过点作的垂线交于点，交于点.‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面；‎ A1‎ D1‎ B1‎ C1‎ B C A E D F ‎ （Ⅱ）求点到平面的距离；‎ ‎ （Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面⊥底面．‎ ‎ （Ⅰ）证明⊥平面；‎ ‎ （Ⅱ）求面与面所成的二面角的余弦值．‎ V D C B A ‎21．(本小题满分12分) ‎ 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点，点，求证：为定值.‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点满足，，‎ ‎，，．‎ ‎（Ⅰ）当变化时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点的直线交曲线于两点，求证：直线 的斜率依次成等差数列．‎ ‎ ‎ ‎2017—2018学年第一学期期末考试 高二年级实验班(理科数学)试题 参考答案 一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C D A C D D A B B A C C 二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．‎ ‎13．. 14．. 15．．16．．‎ 三、解答题：‎ ‎17．( 本小题满分10分) ‎ 已知中，角的对边分别为，．‎ ‎（Ⅰ）若，求面积的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若，求.‎ 解:设（Ⅰ）由余弦定理得, ‎ ‎，当且仅当时取等号；解得，‎ 故，即面积的最大值为；………………………5分 ‎（Ⅱ）因为，由正弦定理得，又，故 ，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎. ………………………10分 ‎18．(本小题满分12分)‎ 设是数列的前项和，已知，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ 解：（Ⅰ）当时，由，得， （1分）‎ 两式相减，得，， （3分）‎ 当时，，，则.‎ 数列是以3为首项，3 为公比的等比数列 （5分）‎ ‎ （6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎ ‎ 错位相减得=‎ ‎ （12分）‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知：如图所示，长方体中，棱，棱，连结，过点作的垂线交于点，交于点.‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面；‎ ‎ （Ⅱ）求点到平面的距离；‎ A1‎ D1‎ B1‎ C1‎ B C A E D F ‎ （Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.‎ 解：（Ⅰ）以点为原点，分别以直线、和为轴、轴和轴，建立如图所示坐标系 则，‎ ‎ 并设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ , . ………………………4分 ‎ （Ⅱ）设面法向量为 ‎ ‎ ‎ 单位法向量 ‎ ∴点A到平面A1B1C距离为 .………………………8分 ‎ （Ⅲ）， 面法向量为 ‎ 夹角余弦 ‎ ‎ ∴ED与平面所成角正弦值为. ………………………12分 ‎20．(本小题满分12分)‎ 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面⊥底面．‎ ‎ （Ⅰ）证明⊥平面；‎ ‎ （Ⅱ）求面与面所成的二面角的余弦值．‎ V D C B A V D C B A x y z ‎8．证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………………………1分 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分 则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0， 0），V（0，0，），‎ ‎∴………………………………3分 由……………………………………4分 ‎……………………………………5分 又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………………………………6分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量………………………………8分 设是面VDB的法向量，则 ‎……10分 ‎∴，……………………………………11分 又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其余弦值为…………12分 ‎21．(本小题满分12分) ‎ 已知椭圆的离心率为 ‎，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点，点，求证：为定值.‎ 解：（Ⅰ）因为满足， ，…………2分 ‎。解得，则椭圆方程为 ……………4分 ‎（Ⅱ）（1）将代入中得 ‎……………………………………………………6分 ‎，‎ ‎∴，，……………9分 所以 ‎ ‎……………………………………………………12分 ‎22．(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点满足，，‎ ‎，，．‎ ‎（Ⅰ）当变化时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点的直线交曲线于两点，求证：直线 的斜率依次成等差数列．‎ 解：（Ⅰ）∵， ∴为线段的中点， （1分）‎ ‎ 又， ∴在线段的垂直平分线上， （2分）‎ ‎ ∴， （3分） ‎ 又， ∴等于点到直线的距离， （4分）‎ ‎∴点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， （5分）‎ 且方程为； （6分）‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线方程为， （7分）‎ 联立得，‎ 设则， （9分）‎ ‎∴， （10分）‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎∴，即直线的斜率依次成等差数列．………………………12分