甘肃省天水一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试卷（解析版）

甘肃省天水一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试卷（解析版）

天水一中高二级2018-2019学年第一学期第二学段考试 数学试题（文）‎ 一、单选题(每小题5分，共60分)‎ ‎1.已知复数其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为　　‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数及虚部的定义求解即可.‎ ‎【详解】， ， 则的共轭复数的虚部为，故选C．‎ ‎【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2.若命题p：∀x∈，tanx>sinx，则命题非p为(　　)‎ A. ∃x0∈，tanx0≥sinx0‎ B. ∃x0∈，tanx0>sinx0‎ C. ∃x0∈，tanx0≤sinx0‎ D. ∃x0∈，tanx0>sinx0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题“”的否定为特称命题“”可得结果.‎ ‎【详解】全称命题中“∀”改为“∃”，并否定结论，‎ 所以命题非p为：∃x0∈，tanx0≤sinx0，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎3.下列说法错误的是 A. 对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小 B. 在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位 C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1‎ D. 回归直线过样本点的中心（，）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ A．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；‎ B．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确； ‎ C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确； ‎ D．回归直线过样本点的中心（，），正确．‎ 综上可知：只有A不正确．‎ 故选：A．‎ ‎4.已知恒成立，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．‎ ‎【详解】由基本不等式可得≥2 ，‎ 若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立， ∴m2+2m＜8，求得-4＜m＜2 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎5.若变量满足，则的最小值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 作出可行域如下图，‎ 由得，平移直线，由图像可知当直线经过点B时，直线 截距最大，此时最小，由解得，B(-2,2)，‎ 故此时， 所以选D．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.“函数在区间上单调递增”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑函数在上为单调递增时实数的取值范围后可得两者的关系.‎ ‎【详解】若，则对称轴，所以在上为单调递增，‎ 取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增”是“ ”的必要不充分条件.‎ ‎【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.‎ ‎7.点到双曲线渐近线的距离为，则双曲线的离心率等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用点到直线的距离公式列出方程，然后根据a，b，c关系求解双曲线的离心率即可．‎ 详解：‎ ‎∵点到双曲线的渐近线的距离为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴双曲线的离心率．‎ 故选．‎ 点睛：本题考查的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎8.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若 ，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．‎ ‎【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，‎ 且b2+c2＝a2+bc．‎ 则：，‎ 由于：0＜A＜π，‎ 故：A．‎ 由于：sinBsinC＝sin2A，‎ 利用正弦定理得：bc＝a2，‎ 所以：b2+c2﹣2bc＝0，‎ 故：b＝c，‎ 所以：△ABC为等边三角形．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎9.(　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用裂项相消化简求和即可．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎=（1）= ，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．‎ ‎10.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F直线l与双曲线交于M，N两点，且MN的中点为，则双曲线的方程为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆锥曲线中点弦问题，用点差法。先把M，N两点坐标设出来，，代入双曲线方程，再做差，得到的式子，将中点及直线斜率代入，然后可以找出a、b的关系，从而解出双曲线方程。‎ ‎【详解】解：根据题意，是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在x轴上，‎ 设双曲线的方程为，且，，‎ 直线MN过焦点F，则，则有，变形可得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 又由，且，，‎ 变形可得：，‎ 又由，则，‎ 解可得：，，‎ 则要求双曲线的方程为：；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题是双曲线中点弦问题，利用设而不求的方法，学生在平常学习中要重点练习。‎ ‎11.已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R.类比三角形的面积可得四面体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面、面积与体积进行类比，利用类比推理，即可得到结论．‎ ‎【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，‎ 而面积与体积进行类比，则的面积为，‎ 对应于四面体的体积为，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了类比推理的应用，其中合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．‎ ‎12.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，大致画出g（x）的图象，而不等式f ‎（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．‎ ‎【详解】设g（x），则g（x）的导数为：g′（x），‎ ‎∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，‎ 即当x＞0时，g′（x）恒小于0，‎ ‎∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，‎ 又∵g（﹣x）g（x），‎ ‎∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）0，‎ ‎∴函数g（x）的图象大致如图：‎ 数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0‎ ‎⇔或，‎ ‎⇔0＜x＜1或x＜﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.等差数列中，，，则当取最大值时，的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件得到的数量关系，然后结合等差数列的通项公式求出结果 ‎【详解】，，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 解得 若取最大值，‎ 当时成立 故答案为4‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的前项和最值情况的求解，结合题意先求出的数量关系，要求数列和的最大，找出限制条件，从而求出结果。‎ ‎14.在中，分别是内角的对边，且，，，，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量垂直时数量积为0以及同角三角函数的商数关系，可求得，结合三角形的内角取值范围，即可确定，进而利用余弦定理求解.‎ ‎【详解】∵，且，‎ ‎∴，∴，则，‎ ‎ ∴，即.‎ 故填：‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了向量垂直的坐标表示；在解三角形中，已知两边和它们的夹角，或已知两边及一边的对角，或已知三边，都能直接利用余弦定理理解三角形.‎ ‎15.已知点为双曲线的右焦点，直线交于两点，若，，则的虚轴长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的左焦点为F1，则四边形AF1BF2是平行四边形，利用余弦定理和双曲线的性质化简求出b即可．‎ ‎【详解】由题意知点B与点A关于原点对称，设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，‎ 由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，‎ ‎∴∠F1AF2=，，‎ 设|AF2|=m，则|AF1|=2a+m，‎ 在△AF1F2中，由余弦定理可得：‎ ‎4c2=m2+（m+2a）2﹣m（m+2a），‎ 化简得：4c2﹣4a2=m2+2ma，即4b2=m（m+2a），‎ 又=m（m+2a）•=，‎ ‎∴b2=2．‎ ‎∴2b=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的定义及简单性质的运用，属于中档题．‎ ‎16.函数只有一个零点，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究函数的单调性与极值，由只有一个零点，结合函数的单调性可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 由得或，‎ 在上递增，在上递减，‎ 或在上递增，在上递减，‎ 函数有两个极值点，‎ 因为只有一个零点，所以，‎ 解得，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点 ；两个零点 ；三个零点.‎ 三、解答题（共70分.第17题10分，其余每题各12分，写出必要的解答过程）‎ ‎17.已知等比数列的前n项为和，且，，数列中，，．‎ 求数列，的通项和；‎ 设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由求得等比数列的公比，结合，求得数列的首项，从而求得；根据条件，得到数列是等差数列，从而求得；‎ ‎（2）由，得到，利用错位相减法求得．‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为， ‎ ‎∵，， ‎ ‎∴，， ‎ 解得，， ‎ ‎∴数列是等比数列， ‎ ‎∴． ‎ ‎∵，即数列是以2为公差的等差数列， ‎ 又， ‎ ‎∴； ‎ ‎（2）∵‎ ‎∵， ‎ ‎∴， ‎ 两式相减得：‎ ‎， ‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式的求解，等比数列通项公式的求解，以及利用错位相减法对数列求和，头脑清醒，思路清晰，知识点灵活应用是解题的关键.‎ ‎18.的内角所对的边分别为,且满足.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)若外接圆半径为,求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由及正弦定理得 从而 ,利用诱导公式结合,可求出的值；（Ⅱ）由正弦定理得 ，再由余弦定理及，配方化简可得，由三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由及正弦定理得 从而 即 又中, ∴. ‎ ‎（Ⅱ）外接圆半径为3,,由正弦定理得 ‎ 再由余弦定理,及 得 ‎∴的面积.‎ ‎【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.‎ ‎19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 违章驾驶员人数 ‎120‎ ‎105‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；‎ ‎（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？‎ 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过1年 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 驾龄1年以上 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 参考公式及数据：‎ ‎.‎ ‎（其中）‎ ‎【答案】（1）；（2）有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用所给数据计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；‎ ‎（2）由列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】（1）由表中数据知，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求回归直线方程为。‎ ‎（2）由表中数据得 ，‎ 根据统计有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，属于基础题．‎ ‎20.已知抛物线与直线 相交于、两点，点为坐标原点 .‎ ‎（1）当k=1时,求的值；‎ ‎（2）若的面积等于，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；‎ ‎（2）直接代入三角形面积公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）设，由题意可知：k=1，∴，‎ 联立y2＝x得：y2-y﹣1＝0显然：△＞0，‎ ‎∴，‎ ‎∴（y12）（y22）+y1y2＝（﹣1）2-1＝0，‎ ‎（2）联立直线 与y2＝x得ky2-y﹣k＝0显然：△＞0，‎ ‎∴，‎ ‎∵S△OAB1×|y1﹣y2|，‎ ‎ 解得：k＝±，‎ ‎∴直线l的方程为：2x+3y+2＝0或2x﹣3y+2＝0．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）（2）当时增区间，当时增区间，减区间 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，求得切点为，，求得斜率为，故切线方程为；（2）函数的定义域为，，当时，∵，∴恒成立，函数单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，∴，即 ‎，，‎ 由导数的几何意义可知所求切线的斜率，‎ 所以所求切线方程为，即.‎ ‎（2），‎ 当时，∵，∴恒成立，‎ ‎∴在定义域上单调递增；‎ 当时，令，得，‎ ‎∵，∴，得；得；‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增.‎ 考点：导数与切线、单调区间．‎ ‎22.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．‎ 求椭圆E的方程；‎ 过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】1； 2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出椭圆的方程，得到关于a，c的方程组，解出即可求出椭圆方程；‎ 假设存在符合条件的点，设，，求出，通过讨论当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ‎，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理求出m的值，当直线l的斜率不存在时，求出直线方程，代入检验即确定．‎ ‎【详解】设椭圆E的方程为，‎ 由已知得，解得：，‎ 所以．‎ 所以椭圆E的方程为．‎ 假设存在符合条件的点，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎，‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，‎ 由，得：，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 对于任意的k值，上式为定值，‎ 故，解得：，‎ 此时，为定值；‎ 当直线l的斜率不存在时，‎ 直线l：，，，，‎ 由，得为定值，‎ 综合知，符合条件的点M存在，其坐标为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及存在性问题、转化与划归思想的应用，属于难题．解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.‎