数学文卷·2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试（2017

数学文卷·2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试（2017

绝密★启用前 揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试 数学(文科)‎ 本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项： ‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.‎ ‎4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）设集合，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）复数z满足(1＋i)z＝i＋2，则z的虚部为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）设，则“”是“”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（4）已知等差数列的前n项和为，且,则数列的公差为 ‎（A）3 （B）4 （C）5 （D）6‎ ‎（5）已知，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）若空间四条直线a、b、c、d，两个平面、，满足，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D）b与d是异面直线 ‎（7）对于任意的非零实数，直线与双曲线有且只有一个 交点，则双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） 2 （D）‎ ‎（8）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，‎ 则的值为 ‎（A）1 （B）－4 （C） （D）－1‎ ‎（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是 ‎（A）242 （B）274 （C）275 （D）338 图1‎ ‎（10） 函数的大致图象是 π ‎-π ‎-π π x y O π ‎-π ‎-π π x y O π ‎-π ‎-π π x y O π ‎-π ‎-π π x y O ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外接圆的直径．如图2所示，中，已知，点在直线上从左到右运动（点不与、重合），对于的每一个位置，记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为，那么 ‎（A）先变小再变大 （B）仅当为线段的中点时，取得最大值 ‎ ‎（C）先变大再变小 （D）是一个定值 ‎ 图2‎ ‎（12）已知且，若为的最小值，则约束条件所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 ‎（A）9 （B）13 （C）16 （D）18‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．‎ ‎（13）已知向量，，若，则 ． ‎ ‎（14）偶函数的图象关于直线对称，，则= ． ‎ ‎（15）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的 榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）‎ 啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 ‎ 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 图3‎ 经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进 一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为 ．（容器壁的厚度忽略不计） ‎ ‎（16）直线与圆交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA 、‎ OB的倾斜角分别为、，则= ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（小题满分12分）‎ 已知递增数列的前项和为，且满足．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）设，求数列的前项和．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图4，在四棱锥中，，AD∥BC，AB⊥AD，‎ AO=AB=BC=1，PO=，．‎ ‎（I）证明：平面POC⊥平面PAD；‎ ‎（II）若CD=，三棱锥P-ABD与C-PBD的体积分别为、，‎ 求证． 图4‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某次数学测验后，数学老师统计了本班学生对选做题的选做情况，得到如下表数据：(单位：人)‎ 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 男同学 ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ 合计 ‎20‎ ‎（I）请完成题中的列联表；并根据表中的数据判断，是否有超过的把握认为选 做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关？‎ ‎（II）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程”所用的时间为区间 内一个随机值（单位：分钟），解答一道“不等式选讲”所用的时间为区间内一个随机值（单位：分钟），试求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率．‎ 附表及公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知圆Ｃ过点，且与直线相切，‎ ‎（I）求圆心C的轨迹方程；‎ ‎（II） O为原点，圆心C的轨迹上两点M、N（不同于点O）满足，已知，‎ ‎，证明直线PQ过定点，并求出该定点坐标和△APQ面积的最小值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数.()‎ ‎（I）试确定函数的零点个数；‎ ‎（II）设是函数的两个零点，证明：．‎ 参考公式：‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎（II）若，求直线的极坐标方程，以及直线l与曲线的交点的极坐标．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 设函数．‎ ‎（I）若，求函数的值域；‎ ‎（II）若，求不等式的解集．‎ 揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试 数学(文科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．‎ 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A C D B A D B C D C 解析：‎ ‎（12）由结合得 ‎（当且仅当时等号成立）‎ 故,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在区域内，‎ 在x轴上整点有7个，在直线x=1上有5个，在x=2上有3个， ‎ 在x=3上有1个，共16个.‎ 二、填空题：‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎4‎ 解析：‎ ‎（16）设，由三角函数的定义得：‎ 由消去y得：，则，即.‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：（Ⅰ）当时，，解得；--------------------------------------------1分 当时，由，得，‎ 两式相减，得，‎ 即，即 ‎∵数列为递增数列，∴，‎ ‎∴，------------------------------------------------------------------------------------------4分 ‎∴ 数列是首项为1、公差为1的等差数列，故；---------------------------------6分 ‎（Ⅱ），‎ ‎　，‎ ‎= ，-------------------------------------------8分 两式相减，得－‎ ‎ ‎ ‎，------------------------------------------------------------------------11分 ‎．-------------------------------------------------------12分 ‎（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC中，‎ ‎∵AO//BC，AO=BC，AB⊥AD，‎ ‎∴四边形OABC是正方形，得OC⊥AD，-----------------------2分 在△POC中，∵，∴OC⊥PO，-------4分 又，∴OC⊥平面PAD，‎ 又平面POC，∴平面POC⊥平面PAD；-------------6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,四边形ABCO为正方形，∴OC=AB=1, OC⊥OD-----------8分 ‎ ‎∴，从而, -----------------------------------------------------9分 设点P到平面的距离为，∵平行线BC与AD之间的距离为1，‎ ‎∴-------------------------------------------11分 ‎ 即．---------------------------------------------------------------------------------------------12分 ‎ 其它解法请参照给分．‎ ‎（19）解：（1）列联表如下 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎------------------------------------------3分 由表中数据得，‎ 查表可知，有超过的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关；-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 ‎（2）设甲解答一道“坐标系与参数方程”需要分钟，‎ 解答一道“不等式选讲”需要分钟，-------------------------------------------------------------7分 记“甲在考试中选做‘坐标系与参数方程’比选做‘不等式选讲’所用时间更长”为事件，‎ 则总的基本事件构成区域，--------------------------------------------------9分 而满足事件的基本事件构成区域为 ， ----------10分 即图中阴影部分，由几何概型知， ‎ 即甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做 ‎“不等式选讲”所用时间更长的概率为．……………12分 ‎（20）解：（Ⅰ）法一：由已知得圆心C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线， ‎ 由得，得圆心C的轨迹方程为；-------------------------3分 ‎【法二：设圆半径为R，圆心C(x, y)，则|AC|=R=，‎ 即=，化简得 即圆心C的轨迹方程为------------------------------------------------------------------3分】‎ ‎（Ⅱ）证明：依题意知OM的斜率k存在，且，设OM的方程为， ------------4分 ‎∵OM⊥ON，则ON的方程为，‎ 由得，得，------------------------------------------------------6分 同理得，‎ 由已知得，，∴，，----------------------------8‎ 分 ‎∴，直线PQ的方程为，‎ 即，∴直线PQ过定点（1，0），---------------------------------10分 设B（1，0），则，‎ ‎∴△APQ面积的最小值为．---------------------------------------------------------------------12分 ‎【证法二：设，的方程为 由 得，---------------------------------------------------------------------4分 则，且---------------------------------------------------5分 ‎∵，∴-----------------------------------------------------------------------6分 即，解得，所以，解得--------------------------- 7分 ‎∴的方程为，则直线过定点---------------------------------------------8分 设与轴相交于点 ‎，‎ ‎，可得，则，‎ 故过定点-------------------------------------------------------------------------------------10分 ‎∴△APQ面积的最小值为.-------------------------------------12分】‎ ‎（21）解：（I）由得，令，‎ 函数的零点个数即直线与曲线的交点个数，‎ ‎∵，-------------2分 由得，∴函数在单调递增，‎ 由得，∴函数在上单调递减，‎ ‎∴当时，函数有最大值，，----------------------------------------3分 又当时，>0，，当时，‎ ‎∴当时，函数没有零点；----------------------------------------------------------------4分 当或时，函数有一个零点；------------------------------------------------------5分 当时，函数有两个零点．------------------------------------------------------------6分 ‎（II）证明：函数的零点即直线与曲线的交点横坐标，‎ 不妨设，由（I）知，得，‎ ‎ ∵函数在上单调递增，‎ ‎∴函数在单调递减，‎ 要证，只需证， ------------------------------------------------------------7分 ‎∴只需证，又，即要证，---------------------8分 ‎∵由得，（）--------9分 令，则，------------------------------10分 当时，，，即函数在上单调递减，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴当时，，即．------------------------------------------------12分 ‎【证法二：由（Ⅰ）知，，不妨设，‎ 设，则，-----------------------------8分 ‎，易知是减函数，‎ 当x>1时，，又1-x<0， 得，‎ 所以在递增，，即>.---------------------------10分 由得>，又，所以，‎ ‎ 由在上单调递增，得在单调递减，‎ 又，∴，即，得证． ---------------------------------------12分】‎ 选做题：‎ ‎（22）解：（Ⅰ）直线l经过定点，----------------------------------------------------------------2分 由得，‎ 得曲线的普通方程为，化简得；---5分 ‎（Ⅱ）若，得，的普通方程为， --------------------------------6分 则直线的极坐标方程为，------------------------------------------------8分 联立曲线：．‎ 得，取，得，所以直线l与曲线的交点为． -----------10分 ‎（23）解：（Ⅰ）当时，------------------------------------------------1分 ‎∵， ------------------------------------------------3分 ‎，函数的值域为；-------------------------------5分 ‎（Ⅱ）当m=－1时，不等式即， ---------------------------------6分 ‎①当时，得，解得，；------------------------7‎ 分 ‎②当时，得，解得，；------------------8分 ‎③当时，得，解得，所以无解；--------------------------- 9分 综上所述，原不等式的解集为． --------------------------------------------------------10分