新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（十九） 函数的图象与性质
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新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（十九） 函数的图象与性质
[全国卷 考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
函数图象的识别·T5
函数解析式、函数图象与性质的综合问题·T12
函数图象的识别·T7
函数的奇偶性·T14
函数的奇偶性与单调性的综合问题·T11
2018
函数图象的识别·T3
抽象函数的奇偶性及周期性·T11
2017
利用函数的单调性、奇偶性解不等式·T5
分段函数、解不等式·T15
(1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等．
(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．
[大稳定]
1.函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是( )
A．(2，3) B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(2，3)∪(3，＋∞)
解析：选D 由题意得解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．故选D.
2.已知f(x)＝(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )
A．－2 B.2
C．3 D.－3
解析：选B 由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，① f(－1)＝a－1＋b＝3，②
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联立①②，结合0＜a＜1，得a＝，b＝1， 所以f(x)＝
则f(－3)＝＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.故选B.
3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)
0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)0，∴排除C；∵f(1)＝，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B.故选D.
2.某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是( )
解析：选A 若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，排除D.故选A.
3．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选B 当－1＜x≤0时，0＜x＋1≤1，则f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)x；当1＜x≤2时，0＜x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)·(x－2)；当2＜x≤3时，0＜x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)
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，……由此可得f(x)＝
由此作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知当2＜x≤3时，令22(x－2)(x－3)＝－，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是.故选B.
[例3] (1)定义在R上的奇函数f(x)，满足在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，则f(x＋1)＞0的解集为
A．(－∞，－2)∪(－1，0) B．(0，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－2，－1)∪(0，＋∞)
(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B.0
C．2 D.50
(3)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________．
[解析] (1)由f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，可得f(1)＝0，作出函数f(x)的示意图如图所示，由f(x＋1)＞0，可得－1＜x＋1＜0或x＋1＞1，解得－2＜x＜－1或x＞0，所以f(x＋1)＞0的解集为(－2，－1)∪(0，＋∞)．故选D.
(2)法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
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∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.
法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.故选C.
(3)设x>0，则－x<0.∵ 当x<0时，f(x)＝－eax，∴ f(－x)＝－e－ax.
∵ f(x)是奇函数，∴ f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴ f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a.
又∵ f(ln 2)＝8，∴ 2－a＝8，∴ a＝－3. [答案] (1)D (2)C (3)－3
[解题方略]
1．函数3个性质及应用
奇偶性
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)
单调性
可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性
周期性
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解
2.函数性质综合应用的注意点
(1)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．
(2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
[多练强化]
1．函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，记a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为( )
A．a>b>c B.b>a>c
C．c>b>a D.a>c>b
解析：选B 因为对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，所以>，得函数g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，又c＝－f(－3)＝f(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c.故选B.
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2．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B.2
C．4 D.8
解析： f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，
所以 g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，
所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.故选C.
3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )
A．f(x－1)＋1是偶函数 B.f(x－1)－1是奇函数
C．f(x＋1)＋1是偶函数 D.f(x＋1)－1是奇函数
解析：选D 法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数．故选D.法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数．故选D.
数学抽象——抽象函数与函数的三大性质
[典例] 定义在R上的奇函数f(x)满足f ＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log (1－x)，则f(x)在区间上是( )
A．减函数且f(x)>0 B.减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0
[解析] 当x∈时，由f(x)＝log (1－x)可知f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数f(x)也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数f(x)的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.故选D.[答案] D
[素养通路]数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征．本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由f ＝f(x)得知f(x)的周期，进而得出f(x)在区间上的性质．考查了数学抽象这一核心素养．
A组——“12＋4”满分练
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一、选择题
1．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．4 B.3
C．2 D.1
2．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B.y＝－x2＋1
C．y＝2x D.y＝log2|x|
3．已知函数f(x)＝4|x|，g(x)＝2x2－ax(a∈R)．若f(g(1))＝2，则a＝( )
A．1或 B.或
C．2或 D.1或
4．设 f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B.e－x＋1
C．－e－x－1 D.－e－x＋1
5．(2019·安徽五校联盟第二次质检)函数y＝的图象大致为( )
6.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－ B.－
C．－1 D.－2
7．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)
8．(2019·武汉市调研测试)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝在R上单调递增，那么实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.(0，1)
C．(1，2) D.(1，2]
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9．(2019·湖南省五市十校联考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)>－e2的x的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B.(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D.(3，＋∞)
10．(2019·洛阳市统考)已知函数f(x)＝若f(a－1)≥f(－a2＋1)，则实数a的取值范围是( )
A．[－2，1] B．[－1，2]
C．(－∞，－2]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
11.如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0，1)，一动点M从点A开始逆时针绕圆运动一周，记＝x，直线AM与x轴交于点N(t，0)，则函数t＝f(x)的图象大致为( )
12．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )
A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值
二、填空题
13．已知函数f(x)在(－1，1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f(1－x)＋f(3x－2)＜0的x的取值范围是________．
14．(2019·山东济宁期末改编)已知函数f(x)＝若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________．
15．设函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a>0且a≠1)是偶函数，则实数m的值为________．
16．已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，f 为偶函数，当0＜x≤时，f(x)＝－x，则f(19)＋f(20)＝________．
B组——“5＋3”提速练
1．设函数f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，2) B.[－1，0]
C．[1，2] D.[1，＋∞)
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2．定义在R上的函数f(x)对任意00的解集是( )
A．(－2，0)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，2) D．(－2，0)∪(2，＋∞)
3．(2019·福州市第一学期抽测)如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)≥x2－x－a的解集中有且仅有1个整数，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－20，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D.
5解析：选C 因为函数y＝为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x>0时，y＝ ＝ ，所以函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B、D；又当x＝1时，y＝
<1，所以排除选项A.故选C.
6解析：选C 由图象可得a×(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，∴a＝2，b＝5，∴f(x)＝
故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.故选C.
7解析：选B 函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.
8解析：选D 依题意，解得1－e2＝f(－2)，所以x－1>－2，解得x>－1.故选B.
10解析：选A 因为f(x)＝在区间(－∞，＋∞)上单调递减，所以不等式f(a－1)≥f(－a2＋1)同解于不等式a－1≤－a2＋1，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，故选A.
11解析：选D 当x由0→时，t从－∞→0，且单调递增，当x由→1时，t从0→＋∞，且单调递增，所以排除A、B、C.故选D.
12解析：选C 作出函数g(x)＝1－x2和函数|f(x)|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值．故选C.
13解析：由已知得f(3x－2)1时，y＝ln x＋2>2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．
答案：2 (－2，e－2]∪(2，＋∞)
15解析：法一：因为函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以－x3(a－x＋m·ax)＝x3(ax＋m·a－x)，即x3(1＋m)(ax＋a－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以1＋m＝0，即m＝－1.
法二：因为f(x)＝x3(ax＋m·a－x)是偶函数，所以g(x)＝ax＋m·a－x是奇函数，且g(x)在x＝0处有意义，所以g(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1.
答案：－1
16解析：依题意，f(－x)＝－f(x)，
F ＝f ，
所以f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝f(x)，
所以f(19)＝f(1)＝－1，
f(20)＝f(2)＝f ＝f ＝f(1)＝－1，所以f(19)＋f(20)＝－2.
答案：－2
1解析：选C 法一：∵f(1)是f(x)的最小值，
∴y＝2|x－a|在(－∞，1]上单调递减，∴
即∴
∴1≤a≤2.故选C.
法二：当a＝0时，函数f(x)的最小值是f(0)，不符合题意，排除选项A、B；当a＝3时，函数f(x)无最小值，排除选项D.故选C.
1解析：选C 由<1，
可得<0.
令F(x)＝f(x)－x，由题意知F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F(2)＝0，F(－2)＝0，令F(x)>0，得x<－2或00)，此时对应的曲线为双曲线的一部分，渐近线为y＝－x，若B在双曲线上，则∠BOy的范围是0<∠BOy<，当x≥0时，f(x)＝x2＋1，过原点的直线和f(x)的图象相切时，设切点为，因为f′(x)＝x，所以切线的斜率k＝f′(a)＝a，则对应的切线方程为y－＝a(x－a)，即y＝a(x－a)＋a2＋1，∵切线过原点，∴－a2＋a2＋1＝0，得a＝，此时切线的斜率k＝，倾斜角为，则∠AOy的最大值为－＝，即0≤∠AOy≤，则0<∠AOy＋∠BOy<＋＝，即0<∠AOB<，所以∠AOB的取值范围是.故选A.
5解析：选C 对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f(x)＝x★＝1＋x＋，当x>0时，f(x)＝1＋x＋≥1＋2 ＝3，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f(x)＝1＋x＋不是周期函数，故⑤正确．
综上所述，所有正确说法的个数为3.故选C.
6解析：函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f(x)的图象关于点(－3，2)对称，所以函数h(x)的图象的对称中心为(－4，－1)．
答案：(－4，－1)
7解析：易知函数f(x)＝在x∈R上单调递减，又f(2m－x)x＋m，即2x
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