2018-2019学年湖南省浏阳一中、醴陵一中高二12月联考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年湖南省浏阳一中、醴陵一中高二12月联考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 湖南省浏阳一中、醴陵一中2018-2019学年高二12月联考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设数列{an}的前n项和Sn=n3，则a4的值为（）‎ A． 15 B． 37 C． 27 D． 64‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，求得数列的通项公式，从而求得.‎ ‎【详解】‎ 当时，，故.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知数列的前项和公式求数列的通项公式.对于已知数列的前项和公式的表达式，求数列的通项公式的题目，往往有两个方向可以考虑，其中一个主要的方向是利用.另一个方向是如果题目给定的表达式中含有的话，可以考虑将转化为，先求得数列的表达式，再来求的表达式.‎ ‎2．椭圆的焦点为F1，F2，p为椭圆上一点，若，则（）‎ A． 3 B． 5 C． 7 D． 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义，由此可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 根据椭圆的方程可知，根据椭圆的定义，由此可求 ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程.解答时要主要椭圆的焦点是在轴上.属于基础题.‎ ‎3．等差数列{an}满足，则其前10项之和为(　　)‎ A． －9 B． －15 C． 15 D． ±15‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，从而a1＋a10＝±3.‎ 所以S10＝×10＝±15.‎ 故选D.‎ ‎4．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得.‎ 参照附表，得到的正确结论是（）‎ A． 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ B． 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ C． 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D． 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.‎ ‎【详解】‎ 由于计算得，根据独立性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查联表，考查独立性检验的知识，根据独立性检验的知识可直接得出结论，属于基础题.‎ ‎5．函数在区间上的最小值是（）‎ A． -9 B． -16 C． -12 D． 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得函数在上的单调区间、极值，比较区间端点的函数值和极值，由此求得最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，，故最小值为.所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求函数的最小值.首先利用函数的导数求得函数的单调区间，利用单调区间得到函数的极值点，然后计算函数在区间端点的函数值，以及函数在极值点的函数值，比较这几个函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.本小题属于基础题.‎ ‎6．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（　）‎ A．10　 　B．‎8　 ‎‎ 　 ‎ C．6　　 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设.则因为AB的中点的横坐标为3.即.又因为.因为p=2.所以2+6=8.故选B.本题关键是利用抛物线的定义.把过焦点弦长的转化为两端的坐标表示形式.‎ 考点：1.梯形的中位线定理.2.抛物线的焦点弦公式.3.抛物线的定义.‎ ‎7．如果数列的前n项和为，则这个数列的通项公式是（）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得，两式相减即可得，可证明数列为等比数列，从而写出通项公式.‎ ‎【详解】‎ 由an＝Sn－Sn－1＝(an－3)－(an－1－3)(n≥2)，得，又a1＝6，‎ 所以{an}是以a1＝6，q＝3的等比数列，所以an＝2·3n.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据递推关系求数列的通项公式，，属于中档题.‎ ‎8．已知实数，满足：，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：可行域为一个三角形ABC内部，其中；直线过点C取最小值，过点B取最大值，所以，选C.‎ 考点：线性规划 ‎【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎9．已知，下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，反之不成立，因此是的必要不充分条件 考点：充分条件与必要条件 点评：若命题成立，则是的充分条件，是的必要条件 ‎10．若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵，由于在区间上单调递减，则有在上恒成立，即，也即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，故选C．‎ 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性.‎ ‎11．若椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则的值为（）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法，用中点和斜率列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 设代入椭圆方程得，两式相减得，依题意可知，，即.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长的中点有关的问题的解决策略，即点差法.点差法用在与直线和圆锥曲线相交得到的弦的中点有关的问题，其基本步骤是：首先将点代入圆锥曲线的方程，作差后化为一边是中点，一边是斜率的形式，再代入已知条件求得所需要的结果.‎ ‎12．在正项等比数列中，存在两项，使得且则的最小值是（）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本元的思想，将题目所给已知条件转化为的形式，化简得出的关系式，将这个关系式乘以，再利用换元法求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 由于数列是等比数列，依题意有，解得.故.令，为正整数.由于在上递减，在上递增 ，而，故的最小值为.所以.所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用等比数列的通项公式，以及等比数列基本量的计算，还考查了最小值的求法.属于中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数 (e为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导得到导数f′(x)＝ex＋2，图像在点(0，1)处的切线斜率k＝e0＋2＝3，故得到切线方程为.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f(x)＝ex＋2x，∴导数f′(x)＝ex＋2，∴f(x)的图像在点(0，1)处的切线斜率k＝e0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y＝3x＋1.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.‎ ‎14．已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=_________________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点坐标代入之先后得到为等差数列，求出其前项和，利用裂项求和法求得数列前项和.‎ ‎【详解】‎ 将点坐标代入直线方程得，故数列是首项为，公差为的等差数列，故通项公式为，前项和.故 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查点和直线的位置关系，考查等差数列的定义以及等差数列的判断，考查等差数列的通项公式以及前项和公式，考查裂项求和法等知识，属于中档题.点在曲线上，那么点的坐标满足曲线方程.若一个数列满足，为常数，则这个数列是等差数列，为公差.‎ ‎15．若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_______________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将分成奇数和偶数两种情况分类讨论，利用数列的单调性，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当为偶数时，原不等式转化为，而单调递增，故，故.当为奇数时，原不等式转化为，而单调递增，故，故.综上所述，.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎16．椭圆C：的左右焦点分别为,焦距为2c. 若直线 与椭圆C的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线的方程可知直线的倾斜角为，且过椭圆的左焦点.根据可得三角形为直角三角形，根据三边的关系可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 由于直线方程为，故直线的倾斜角为，且过椭圆的左焦点.根据可得三角形为直角三角形，且.故三边的比值为.根据椭圆的定义，椭圆的离心率为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程过定点，以及椭圆离心率的求法，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题，命题方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：这类问题首先求得命题为真时的的范围，再根据含有逻辑连接词的命题的真假判断命题的真假，从而得的范围．‎ 试题解析：由得，即，由得 ‎，即．‎ ‎（1）命题为真， ；‎ ‎（2）由题意命题一真一假，因此有或，所以或．‎ 考点：复合命题的真假．‎ ‎18．已知函数，若其导函数的x的取值范围为（1，3）.‎ ‎（1）判断f(x)的单调性 ‎（2）若函数f(x)的极小值为－4，求f(x)的解析式与极大值 ‎【答案】（1）减区间，增区间；（2），极大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，根据导函数大于零的解集为，可求得函数的减区间.（2）由（1）知函数的极值点，由此列方程组，解方程组求得的值，同时求得极大值.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由题意知 因此在单调递减,单调递增单调递减.‎ ‎（2）由（1）可得处取得极小值－4，在x=3处取得极大值。 ,,解得.‎ ‎ ‎ 则 ‎【点睛】‎ 本小题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的解析式，还考查了函数与方程的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎19．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：‎ 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）通过（1）中的方程，求出关于的回归方程；‎ ‎（3）用所求回归方程预测到2010年年底，该地储蓄存款额可达多少？‎ ‎（附：对于线性回归方程，其中）‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）千亿元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用题目所给数据和回归直线方程计算公式，直接求得回归直线方程.（2）将代入（1）求得的方程，化简后可得关于的回归直线方程.（3）令代入（2）求得的回归直线方程，可求得预测值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），，，，‎ ‎，，‎ 所以.‎ ‎（2），，‎ 代入得到：，‎ 即，‎ ‎（3）当时，，‎ 所以预测到年年底，该地储蓄存款额可达千亿元 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测.要注意回归直线方程公式是，而不是.‎ ‎20．已知等比数列的公比q>1，且是的等差中项．数列满足，数列的前n项和为.‎ ‎（1）求q的值;（2）求数列{bn}的通项公式．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差中项的性质以及等比数列的通项公式，列方程，解方程求得的值.（2）由（1）求得的表达式，然后利用累加法以及错位相减法求得的通项公式.‎ ‎【详解】‎ 解.（1）由是的等差中项得，所以，‎ 解得.由得，因为，所以.‎ ‎（2）设，数列前n项和为.由解得.‎ 由（1）可知，所以，‎ 故， .设 ‎ 所以，‎ 因此，又，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，还考查了累加法求数列的通项公式，以及错位相减求和法.‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆经过点,且的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程;‎ ‎（2）设斜率为的直线与以原点为圆心,半径为的圆交于两点,与椭圆交于两点,且,当取得最小值时,求直线的方程并求此时的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线方程为，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面积和点坐标求得的值，然后将点坐标代入椭圆方程，列方程组求得的值，进而求得椭圆标准方程.（2）利用求得弦长，利用和椭圆相交所得弦长的弦长公式计算得弦长，由此求得的表达式以及直线的方程.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由的面积可得:①‎ 又椭圆过点,②‎ 由①②解得,所以椭圆标准方程为 ‎（2）设直线的方程为,则原点到直线的距离 所以 将代入椭圆方程,得 由判别式,解得 由直线直圆相交得,所以 设,则 所以 所以，因为,所以 则当时,取得最小值,此时直线方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和圆相交所得弦长的计算，考查直线和椭圆相交所得弦长的计算，还考查了椭圆标准方程的求法.属于中档题.‎ ‎22．已知函数，其中 ‎（1）求的单调区间 ‎（2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导后，对分成两类，讨论函数的单调区间.（2）将题目所给恒成立的不等式分离常数，构造函数后利用导数求得函数的最小值，由此求得的取值范围，再求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ 当时， 在单调递增 当时，在单调递增，单调递减 ‎（2）解：恒成立的不等式为：‎ ‎ ‎ 设 即 由（1）可得：在单调递减 ‎ ‎ ‎①若 则 即在上单调递增 ‎ ‎ ‎②若即 则 即在上单调递减 ‎，而 ‎③当时，‎ 在单调递减，在上单调递增 ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递减 综上所述：的最大值为 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，综合性很强，属于难题.‎