数学文卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第五次月考（2018

数学文卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第五次月考（2018

衡阳市八中2018届高三第五次月考试题 文科数学 命题人 唐志军 审题人 孙艳红 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第4题图 ‎2．已知复数的实部与虚部和为，则实数的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4． 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米， 面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数图象的大致形状是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎6．已知双曲线关于直线对称的曲线为，若直线 与相切，则实数的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. 3‎ ‎7．已知无穷数列是各项均为正数的等差数列，则有（　　） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8． 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入,的值分别为,则输出的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 输入n,x 开始 v=1‎ i≥0？‎ 输出v 结束 v=vx+i i=i-1‎ i=n-1‎ 否 是 第8题图 ‎9．如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为 （ ）‎ A. 2 B. C. D.‎ ‎10．若，，则 （ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11．对函数f:[0,1]→[0,1],定义f1(x)= f(x),…. fn(x)= f(fn-1(x)),n=1,2,3,…满足fn(x)=x的点x[0,1]称为f的一个n—周期点，现设.问f的一个n—周期点的个数是（ ）个.‎ A．2n B．2n2 C．2n D．2(2n-1)‎ ‎12．已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量，若，则 ．‎ ‎14．满足不等式组的点组成的图形的面积是,则实数的值为 .‎ ‎15．下列命题是假命题的是 . ‎ ‎(1)命题“若,则”的逆否命题是“若,则”‎ ‎(2)若命题:,则 ‎(3)若为真命题,则均为真命题 ‎(4)“”是“”的充分不必要条件 ‎16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为．直线与在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形，则它绕轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 在中，角A，B，C的对边分别为．‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若，求方向上的投影．‎ ‎18．（12分）‎ 在三棱锥中, △是等边三角形, ∠∠.‎ ‎(1)求证: ⊥;‎ ‎(2)若，，求三棱锥的体积.‎ ‎19．（12分）‎ 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．‎ 质量指标值 频数 ‎(190,195]‎ ‎9‎ ‎(195,200]‎ ‎10‎ ‎(200,205]‎ ‎17‎ ‎(205,210]‎ ‎8‎ ‎(210,215]‎ ‎6‎ 图1：乙流水线样本频率分布直方图 表1：甲流水线样本的频数分布表 ‎（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两 ‎ 条流水线分别生产出不合格品约多少件？‎ ‎（Ⅲ）根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这 ‎ 种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？‎ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品 合计 ‎ 附：（其中为样本容量）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20．（12分）‎ 已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．‎ ‎（1）若，过点,的直线与抛物线相交于另一点，求的值；‎ ‎（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得 的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数恰有两个极值点.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]（10分）‎ 在直线坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）直线的普通方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，求的直角坐标.‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） ‎ 设函数 ，记的解集为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）当时,证明：.‎ 衡阳市八中2018届高三第五次月考 文科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C D B C A B B D D C A 二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎2‎ ‎3‎ ‎（3）‎ ‎3‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 在中，角A，B，C的对边分别为．‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若，求方向上的投影．‎ 解：(1)‎ ‎,‎ ‎,，或……………………………6分 ‎(2) ,,，‎ 方向上的投影为……………………………12分 ‎18．（12分）‎ 在三棱锥中, △是等边三角形, ∠∠.‎ ‎(1)求证: ⊥;‎ ‎(2)若，，求三棱锥的体积.‎ 解:‎ ‎（Ⅰ）因为是等边三角形, ∠∠,‎ 所以≌, 可得. …………1分 如图, 取中点, 连结,,‎ 则,, ……………………3分 因为 所以平面, ………………………………………………………………4分 因为平面,‎ 所以. ……………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）因为 ≌,‎ 所以, . ………………………………………………………6分 由已知，在Rt中, ,‎ ‎ ………………………………………………8分　‎ 因为, , , ‎ 所以. ……………………………………………………………9分 因为, ，‎ ‎ 所以的面积. ……………………10分 ‎ 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积,‎ ‎ 所以三棱锥的体积. ………………12分 ‎19．（12分）‎ 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．‎ 质量指标值 频数 ‎(190,195]‎ ‎9‎ ‎(195,200]‎ ‎10‎ ‎(200,205]‎ ‎17‎ ‎(205,210]‎ ‎8‎ ‎(210,215]‎ ‎6‎ 表1：甲流水线样本的频数分布表 图1：乙流水线样本频率分布直方图 ‎（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两 ‎ 条流水线分别生产出不合格品约多少件？‎ ‎（Ⅲ）根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这 ‎ 种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？‎ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品 合计 ‎ 附：（其中为样本容量）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为，因为 ‎ ，‎ ‎ ………………………………………1分 则 ……………………………3分 ‎ 解得． ………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件， ‎ ‎ 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 ………………………5分 ‎ 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为， ………6分 ‎ 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产 的不合格品件数分别为：‎ ‎ ． …………………………8分 ‎（Ⅲ）列联表:‎ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 ‎35‎ ‎40‎ ‎75‎ 不合格品 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎ …………………………10分 ‎ ‎ 则， ……………………………………………11分 ‎ 因为 ‎ 所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 ‎ 的选择有关”． ……………………………………………………12分 ‎20．（12分）‎ 已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．‎ ‎（1）若，过点,的直线与抛物线相交于另一点，求的值；‎ ‎（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）∵点，∴，解得，‎ 故抛物线的方程为：，当时，，‎ ‎∴的方程为，联立可得，，‎ 又∵，，∴． ...............................5分 ‎（2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，‎ 设 ，则，，①‎ 由得：，‎ 整理得，②‎ 将①代入②解得，∴直线，‎ ‎∵圆心到直线的距离，∴，‎ 显然当时，，‎ 的长为定值． ...............................12分 ‎21．（12分）‎ 已知函数恰有两个极值点.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]（10分）‎ 在直线坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）直线的普通方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，求的直角坐标.‎ 解：（1）由，得，‎ 消去得直线的普通方程为.‎ 由，‎ 得.将代入上式，‎ 曲线的直角坐标方程为，即.‎ 得曲线的直角坐标方程为（为参数，）‎ ‎（2）设曲线上的点为，‎ 由（1）知是以为圆心，半径为的圆.‎ 因为在处的切线与直线垂直，所以直线与的斜率相等，‎ 或者，‎ 故得直角坐标为或者.‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） ‎ 设函数 ，记的解集为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）当时,证明：.‎ 解：（Ⅰ）由已知，得 ，‎ 当时，由，解得，，此时.‎ 当时，由，解得，显然不成立，‎ 故的解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时， ，‎ 于是 ，‎ 函数在上是增函数，‎ ‎ ，‎ 故. ‎