数学理卷·2018届安徽省宣城市六校（郎溪中学、宣城二中、广德中学等）高二下学期期中联考（2017-04）

数学理卷·2018届安徽省宣城市六校（郎溪中学、宣城二中、广德中学等）高二下学期期中联考（2017-04）

高二下学期宣城六校联考 数学理科试题 ‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数满足，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．设函数的图像如左图，则导函数的图像可能是下图中的 （ ）‎ ‎ ‎ ‎3．由曲线，以及所围成的图形的面积等于 ( )‎ A．2 B． C． D．‎ ‎4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从n=k(k∈N*)到n=k+1时左边需增乘的代数式是 (　　)‎ A．2k+1 B．2(2k+1) C． D． ‎5．安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙排在甲的前面或者后面，则不同排法的种数是（ ）‎ A. 480 B. 360 C. 240 D. 180‎ ‎6．二项式的展开式中，第二、三、四项二项式系数成等差数列，则展开式中的常数项是 ( )‎ A．21 B．35 C．.56 D．28‎ ‎7． 设,函数的导函数是奇函数，若曲线 的一条切线的斜率为，则切点的横坐标是 （ ） ‎ A． 　 　 B． C. D．‎ ‎8．若，，，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知有下列各式：，‎ 成立，观察上面各式，按此规律若，则正数 ( )‎ A．4 B．5 C． D． ‎ ‎10．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为 ( )‎ ‎ A．70 B．140 C．280 D．840‎ ‎11．若点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为 （ ） ‎ A． B． 2 C． D．8‎ ‎12． 定义在R上函数，满足,若且,则有( )‎ A. B. C. D.不能确定 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在题后的横线上．‎ ‎13．已知（、R）,且满足，则复数在复平面内对应的点位于 第 象限．‎ ‎14．若则= ． ‎ ‎15．如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则 ． ‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎16.如图所示的数阵中,第20行第2个数字是　　　　. ‎ ‎1‎ 　 　　 　　　 　　　　 ‎…‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）已知△ABC的三边长为a、b、c,且其中任意两边长均不相等.若,, 成等差数列．‎ ‎ (1)比较与的大小,并证明你的结论; ‎ ‎ (2)求证：B不可能是钝角．‎ ‎18.（本小题满分12分）有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．‎ ‎（1）共有多少种放法？‎ ‎（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？‎ ‎（3）恰有两个盒不放球，有多少种放法？‎ ‎19．（本小题满分12分）由下列不等式：‎ ‎ ，…，‎ 你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明。‎ ‎20.（本小题满分12分）已知函数其中。‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间（－2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围。‎ ‎21.（本小题满分12分）如图，半径为30的圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设与矩形材料的边的夹角为，圆柱的体积为.‎ ‎（1）求关于的函数关系式？‎ ‎（2）求圆柱形罐子体积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求证：当时，；‎ ‎（3）若对恒成立，求实数的最大值. ‎ 数学理科试题 ‎ 参 考 答 案 ‎ 一、选择题（每小题5分，满分60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D D B A ‎ B C B C A D A 二、填空题（每小题5分，满分20分）‎ ‎13．四 14． 15． 16．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．解: (1)大小关系为< ,‎ 证明如下:要证<, 只需证<, 由题意知a、b、c>0,‎ 只需证b2>>0.‎ 这与cos B<0矛盾,故假设不成立. ∴B不可能是钝角. ……10分 ‎18.解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，‎ 放法共有：种． ……4分 ‎（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.‎ 由分步乘法计数原理，共有放法：种． ……8分 ‎（3）先从四个盒子中任意拿走两个有种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有种放法；第二类：有种放法.‎ 因此共有种.‎ 由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：种． ……12分 ‎19．解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：‎ ‎ ……3分 用数学归纳法证明如下：‎ ‎（1）当，猜想成立 ‎（2）假设当时，猜想成立，即，‎ 则当时，‎ ‎，‎ 即当时，猜想也正确，‎ 由（1），（2）知对任意的，不等式都成立． ……12分 ‎20．解：（1）‎ 由，得 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎(－)‎ ‎－1‎ ‎(－1，a)‎ a ‎(a)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎()‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 故函数的单调递增区间是(－)，(a)；单调递减区间是(－1，a)。 ……6分 ‎（2）由（1）知在区间(－2，－1)内单调递增，在区间（－1，0）内单调递减，‎ 从而函数在区间（－2，0）内恰有两个零点当且仅当，‎ 所以a的取值范围是． ……12分 ‎21．解：（1） ……5分 ‎（2）令， ……6分 ‎ ……9分 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ‎ 即当时，体积取得最大值. ……12分 第（2）问也可：（1）连接，在中，设，则 设圆柱底面半径为，则，即，‎ ‎，其中.‎ ‎（2）由，得 由解得；由解得．‎ 因此在上是增函数，在上是减函数．‎ 所以当时，有最大值．‎ ‎22．解：（1），．‎ 所以切线方程为． ……3分 ‎（2）令，则，‎ 当时，设，则，‎ 所以在单调递减，，即，所以．‎ 所以在单调递减，所以，所以． ……8分 ‎（3）原题等价于对恒成立，即对恒成立，‎ 令，则，易知，‎ 即在单调递增，所以，所以．‎ 故在单调递减，所以．‎ 综上所述，的最大值为. ……12分