专题08+函数与方程-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题08+函数与方程-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题08 函数与方程-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 ‎【高频考点解读】‎ ‎1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。‎ ‎2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。‎ ‎【热点题型】‎ 热点题型一 判断函数零点所在的区间 例1、【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C 设 ，当时，函数取得最小值 ，‎ ‎【提分秘籍】确定函数零点所在区间的方法 ‎(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上。‎ ‎(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0。若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点。‎ ‎(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。‎ ‎【举一反三】 【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间是(　　)‎ A.　 　B. C．(1,2) D．(2,3)‎ 热点题型二 判断函数零点的个数 例2、函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　) ‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点即2x|log0.5x|－1＝0的解，即|log0.5x|＝x的解，作出函数g(x)＝|log0.5x|和函数h(x)＝x的图象，由图象可知，两函数图象共有两个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点，故选B。‎ 答案：B ‎【提分秘籍】 判断函数零点个数的方法 ‎(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。‎ ‎(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质。‎ ‎(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。‎ ‎【举一反三】 ‎ 函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：令f(x)＝xcos2x＝0，得x＝0或cos2x＝0，故x＝0或2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝0或x＝＋，k∈Z。又x∈[0,2π]，故k可取0,1,2,3，故零点的个数有5个。‎ 答案：D 热点题型三 函数零点的应用 例3．4.【2017课标1，理21】已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎（2）（ⅰ）若，由（1）知， 至多有一个零点.‎ ‎（ⅱ）若，由（1）知，当时， 取得最小值，最小值为.‎ ‎①当时，由于，故只有一个零点；‎ ‎②当时，由于，即，故没有零点；‎ ‎③当时， ，即.‎ 又，故在有一个零点.‎ 设正整数满足，则.‎ 由于，因此在有一个零点.‎ 综上， 的取值范围为.‎ ‎【提分秘籍】函数零点的应用问题类型及解题思路 ‎(1)已知函数零点情况求参数。根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：‎ ‎①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；‎ ‎③解不等式，即得参数的取值范围。‎ ‎(2)已知函数零点的个数求参数，常利用数形结合法。‎ ‎(3)借助函数零点比较大小。要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)‎ A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)‎ 解析：由题意知f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，当a＝0时，不满足题意．当a≠0时，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝，当a＞0时，f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减．又f(0)＝1，此时f(x)在(－∞，0)上存在零点，不满足题意；当a＜0时，f(x)在，(0，＋∞)上单调递减，在上单调递增，要使f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则需f＞0，即a×3－3×2＋1＞0，解得a＜－2，故选C。‎ 答案：C ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【解析】函数的零点满足，‎ 设，则，‎ 当时，，当时，，函数 单调递减，‎ 当时，，函数 单调递增，‎ 当时，函数取得最小值，‎ 设 ，当时，函数取得最小值 ，‎ ‎2.【2017课标1，理21】已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）的定义域为， ，‎ ‎（ⅰ）若，则，所以在单调递减.‎ ‎（ⅱ）若，则由得.‎ 当时， ；当时， ，所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）（ⅰ）若，由（1）知， 至多有一个零点.‎ ‎（ⅱ）若，由（1）知，当时， 取得最小值，最小值为.‎ ‎①当时，由于，故只有一个零点；‎ ‎②当时，由于，即，故没有零点；‎ ‎③当时， ，即.‎ 又，故在有一个零点.‎ 设正整数满足，则 ‎.‎ 由于，因此在有一个零点.‎ 综上， 的取值范围为.‎ ‎3.【2017江苏，14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上, 其中集 合，则方程的解的个数是 ▲ .‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由于 ，则需考虑 的情况在此范围内， 且 时，设 ，且 互质若 ，则由 ，可设 ，且 互质因此 ，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此。因此 不可能与每个周期内 对应的部分相等，只需考虑与每个周期 的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8．‎ ‎1..【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为 ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎【答案】D ‎2.【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得． ‎ ‎3.【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}‎ ‎【答案】C ‎【解析】由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是 ‎，故选C.‎ ‎4.【2016年高考北京理数】设函数.‎ ①若，则的最大值为______________；‎ ②若无最大值，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【2015高考湖南，理15】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，‎ 若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，∴，从而；‎ 若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而 ‎，综上，实数的取值范围是.‎ ‎【2015高考江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为 ‎ ‎【答案】4‎ ‎（2014·湖南卷）已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，) B．(－∞，)‎ C. D. ‎【答案】B　‎ ‎【解析】依题意，设存在P(－m，n)在f(x)的图像上，则Q(m，n)在g(x)的图像上，则有m2＋e－m－＝m2＋ln(m＋a)，解得m＋a＝ee－m－，即a＝ee－m－－m(m＞0)，可得a∈(－∞，)．‎ ‎（2014·天津卷）已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【答案】(0，1)∪(9，＋∞)　‎ ‎【解析】在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x－1|的图像如图所示．当y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像相切时，由整理得x2＋(3－a)x＋a＝0，则Δ＝(3－a)2－‎4a＝a2－‎10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.故当y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像有四个交点时，09.‎ ‎（2014·浙江卷）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且09‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得⇒‎ ⇒则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，而00，‎ ‎∴x0∈(2,3)，故选C.‎ 答案：C ‎2．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：(数形结合法)‎ ‎∵a>0，∴a2＋1>1.‎ 而y＝|x2－2x|的图象如图，‎ ‎∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．‎ 答案：B ‎3．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则(　　)‎ A．a0，‎ ‎∴01，故选A.‎ 答案：A ‎4．已知函数f(x)＝()x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：函数f(x)＝()x－cosx的零点个数为()x－cosx＝0⇒()x＝cosx的根的个数，即函数h(x)＝()x与g(x)＝cosx的图象的交点个数，如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.‎ 答案：C ‎5．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，00，则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．5 D．8‎ 答案：B ‎6．函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内(　　)‎ A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 解析：原函数f(x)＝－cosx可理解为幂函数x与余弦函数的差，其中幂函数在区间[0，＋∞)上单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图象，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x＝2π，且>1＝cos2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.‎ 答案：B ‎7．已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x<1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是(　　)‎ A.∪(5，＋∞) B.∪[5，＋∞)‎ C.∪(5,7) D.∪[5,7)‎ 解析：由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋1)＝－f(x＋2)，因此f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是以2为周期的周期函数．函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点可转化成y＝f(x)与h(x)＝loga|x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a进行分类讨论．若a>1，则需h(5)＝loga5<1，即a>5.‎ 若00‎ C．f(x1)>0，f(x2)<0‎ D．f(x1)>0，f(x2)>0‎ ‎11．函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析　借助余弦函数的图象求解。f(x)＝xcos2x＝0⇒x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0,2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点。故选D。‎ 答案　D ‎12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x。则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为 (　　)‎ A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}‎ C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}‎ 解析　当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；‎ 当x<0时，由f(x)是奇函数，得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x。由f(x)＝x－3，得x＝－2－(正根舍去)。故选D。‎ 答案　D ‎13．若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点(　　)‎ A．y＝f(－x)ex－1 B．y＝f(x)e－x＋1‎ C．y＝exf(x)－1 D．y＝exf(x)＋1‎ 解析　由已知可得f(x0)＝－ex0，e－x0f(－x0)＝1，故－x0一定是y＝exf(x)－1的零点。故选C。‎ 答案　C ‎14．已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________。‎ 解析　令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)。‎ 答案　(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ ‎15．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________。‎ 解析　设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)<0，即4＋2m－6<0，解得m<1。‎ 答案　(－∞，1) ‎ ‎16．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为________．‎ 解析：当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0.‎ 得x＝0或x＝1，∵f(x＋2)＝f(x)，‎ ‎∴y＝f(x)在[0,6)上有6个零点．‎ 又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0.‎ ‎∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.‎ 答案：7‎ ‎17．函数f(x)＝ax＋1－‎2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.根据零点存在性定理可得f(－1)f(1)<0，即(－‎3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(‎3a－1)<0，解得0时，分两种情况：①当x>1时，log2x>0，y＝f[f(x)]－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，令log2(log2x)－1＝0，即log2(log2x)＝1，log2x＝2，解得x＝4；②当00，则g(t)＝t2＋mt＋1＝0仅有一正根，而g(0)＝1>0，‎ 故 ‎∴m＝－2.‎ ‎∴m＝－2，零点是x＝0.‎ 方法2：令2x＝t，则t>0.‎ 原函数的零点，即方程t2＋mt＋1＝0的根．‎ ‎∴t2＋1＝－mt，∴－m＝＝t＋(t>0)．‎ 有一个零点，即方程只有一根．‎ ‎∵t＋≥2(当且仅当t＝即t＝1时等号成立)，‎ ‎∴－m＝2即m＝－2时，只有一根．‎ ‎∴m＝－2，零点是x＝0‎ ‎21．已知二次函数f(x)＝x2＋(‎2a－1)x＋1－‎2a.‎ ‎(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程．‎ ‎(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．‎ 依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(‎2a－1)x－‎2a＝0有实根，‎ ‎∵Δ＝(‎2a－1)2＋‎8a＝(‎2a＋1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立，即x2＋(‎2a－1)x－‎2a＝0必有实数根，从而f(x)＝1必有实数根．‎ ‎(2)依题意：要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，‎ 只需即 解得

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