2017-2018学年河北省邯郸市永年县第二中学高二上学期10月月考数学（文）试题 解析版
2017-2018 学年河北省邯郸市永年县第二中学高二上
学期 10 月月考文科数学试题
一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列 1,3,7,15，…的通项 an可能是( )
A．2n B．2n＋1 C．2n－1
D．2n－1
2．若 a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )
A.1
a
>1
b
B.b
a
>1 C．a2
0恒成立，则 m>1
4
；命题 q：在△ABC中，
A>B是 sin A>sin B的充要条件， 则( )
A．p假 q B．“p且 q”为真 C．“p或 q”为假
D． p假 q真
11．不等式组
x＋y≥1，
x－2y≤4
的解集记为 D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
12、我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步
为：
第一步：构造数列 1，1
2
，
1
3
，
1
4
，…，
1
n
。①
第二步：将数列①的各项乘以 n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an。则 a1a2＋a2a3＋…
＋an－1an等于( )
A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)
二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，将答案填在题中的横线上)
13.命题“设 a，b，c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真
命题共有________个。
14.已知 0＜x＜1
3
，则 x(1－3x)取最大值时 x的值是________．
15.在△ABC中，B＝120°，AB＝ 2，A的角平分线 AD＝ 3，则 AC＝________
16.已知实数 x，y满足条件
x≥0，
y≤1，
2x－2y＋1≤0，
若目标函数 z＝mx－y(m≠0)取得
最大值时的最优解有无穷多个，则实数 m的值为________。
三、解答题（共 70分）
17．(本小题满分 10分) 已知数列{an}中，a1＝
3
5
，an＝2－ 1
an－1
(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足
bn＝
1
an－1
(n∈N*)。
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的通项公式 an。
18．(本小题满分 12分) 设命题 p：实数 x满足 x2－4ax＋3a2＜0，其中 a＞0，命题 q：实数
x满足
x2－x－6≤0，
x2＋2x－8＞0.
(1)若 a＝1，且 p∧q为真，求实数 x的取值范围；
(2) p是 q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
19．(本小题满分 12 分)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一
个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量
AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16， ∠C＝∠D.
(1)求 AB的长度；
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因
素，小李、小王谁的设计建造费用最低？请说明理由．
20．(本小题满分 12分)已知函数 y＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R.
(1)求 a的取值范围；(2)解关于 x的不等式 x2－x－a2＋a<0.
21．(本小题满分 12分)在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.
已知 2(tan A＋tan B)＝tan A
cos B
＋
tan B
cos A
.
(1)证明： a＋b＝2c； (2)求 cos C的最小值．
22。(本小题满分 12分)设数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，λ
≠－1)，且 a1,2a2，a3＋3为等差数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前 n项和．
永年二中高二 10 月份月考文科数学试题答案
1．【解析】 取 n＝1时，a1＝1，排除 A、B，取 n＝2时，a2＝3，排除 D.【答
案】 C
2．【解析】 利用特值法，令 a＝－2，b＝2.
则
1
a
<1
b
，A错；
b
a
<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D
3．解析：选 C 全称命题的否定为特称命题．
4．【解析】 由题意易知选 A.
5．【解析】∵{an}是等比数列且由题意得 a1·a19＝16＝a210(an>0)，∴a8·a10·a12＝a310
＝64.答案 C
6．【解析】 ∵a＝3bsin A，∴由正弦定理得 sin A＝3sin Bsin A，∴sin B＝1
3
.
∵ac＝3，∴△ABC的面积 S＝1
2
acsin B＝1
2
×3×1
3
＝
1
2
，故选 A.[]
7．【7.【答案】 A
8．解析：选 B
9．【解析】 由正弦定理得：
a
sin A
＝
b
sin B
，∵B＝2A，a＝1，b＝ 3，∴
1
sin A
＝
3
2sin Acos A
.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝ 3
2
.又 0＜A＜ð，∴A＝π
6
，
∴B＝2A＝π
3
.∴C＝ð－A－B＝π
2
，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得 c＝
12＋ 32＝2.【答案】 B
10．选 B 易判断出命题 p为真命题，命题 q为真命题，所以 p为假， q为
假．结合各选项知 B正确．
11[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数 z
＝x＋2y经过可行域内的点 A(2，－1)时，取得最小值 0，故 x＋2y≥0，
因此 p1，p2是真命题，选 C.
12、【解析】 a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n
1
·n
2
＋
n
2
·n
3
＋…＋
n
n－1
·n
n
＝
n2
1
1·2
＋
1
2·3
＋…＋
1
n－1n ＝n2
1－1
2
＋
1
2
－
1
3
＋…＋
1
n－1
－
1
n ＝n2·n－1
n
＝n(n－1)，
故选 C。
二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，将答案填在题中的横线上)
13．2解析：若 c＝0，则 ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真
同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设 a，b，c΅ΚR，若 ac2>bc2，则 a>b”
为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有 2
个真命题.
14．1/6【解析】
15解析 如图，在΅χABD中，由正弦定理，得 sin΅ΟADB＝ABsinB
AD
＝
2× 3
2
3
＝
2
2
。
由题意知 0°<΅ΟADB<60°，所以΅ΟADB＝45°，则΅ΟBAD＝180°－΅ΟB－΅
ΟADB＝15°，所以΅ΟBAC＝2΅ΟBAD＝30°，所以΅ΟC＝180°－΅ΟBAC－΅
Ο B＝ 30° ， 所 以 BC＝ AB＝ 2， 于 是 由 余 弦 定 理 ， 得 AC＝
AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝ 22＋ 22－2 2× 2×
－
1
2 ＝ 6。
16 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图
可知当直线 y＝mx－z(m≠0)与直线 2x－2y＋1＝0重合，即 m＝1时，目标函数 z
＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选 A.
三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
17．【解析】(1)证明：因为 an＝2－ 1
an－1
(n≥2，n΅ΚN*)，bn＝
1
an－1
。
所以 n≥2 时，bn－bn－1＝
1
an－1
－
1
an－1－1
＝
1
2－ 1
an－1 －1
－
1
an－1－1
＝
an－1
an－1－1
－
1
an－1－1
＝1。
又 b1＝
1
a1－1
＝－
5
2
，所以数列{bn}是以－
5
2
为首项，1为公差的等差数列。
(2)由(1)知，bn＝n－7
2
，则 an＝1＋ 1
bn
＝1＋ 2
2n－7
。
18．解析：(1)由 x2－4ax＋3a2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又 a＞0，所以 a＜x＜3a.
当 a＝1时，1＜x＜3，即 p为真命题时，1＜x＜3.
由
x2－x－6≤0，
x2＋2x－8＞0，
解得
－2≤x≤3，
x＜－4或 x＞2，
即 2＜x≤3.所以 q为真时，2
＜x≤3.
若 p∧q为真，则
1＜x＜3，
2＜x≤3
⇔2＜x＜3，所以实数 x的取值范围是(2,3)．
(2)设 A＝{x|x≤a，或 x≥3a}，B＝{x|x≤2，或 x＞3}，
因为綈 p是綈 q的充分不必要条件，所以 A B.
所以 0＜a≤2且 3a＞3，即 1＜a≤2.所以实数 a的取值范围是(1,2]．
19．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC
＝162＋102－2×16×10cosC，①在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D，
整理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2×142cosC.②
由①②得：142＋142－2×142cosC＝162＋102－2×16×10×cosC，整理得
cosC＝1
2
.[]
∵∠C为三角形的内角，∴∠C＝60°.又∠C＝∠D，AD＝BD，∴△ABD是
等边三角形，
故 AB＝14，即 A、B两点的距离为 14.
(2)小李的设计使建造费用最低．
理由如下：S△ABD＝
1
2
AD·BDsinD，S△ABC＝
1
2
AC·BCsinC.
∵AD·BD＞AC·BC，且 sinD＝sinC，∴S△ABD＞S△ABC.
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建造费用最
低．
20．【解】(1)∵函数 y＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当 a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
②当 a≠0时，则
a>0，
Δ＝4a2－4a≤0，
解得 0a，即 0≤a<1
2
时，a
查看更多
