2018-2019学年江苏省盐城市伍佑中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年江苏省盐城市伍佑中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

盐城市伍佑中学 ‎2018-2019学年秋学期高二期中考试 数 学 理试 题 ‎ 考试时间：120分钟 分值：160分 ‎ 一． 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．命题“.”的否定是 ▲ ． ‎ ‎2．“”是“”的 ▲ 条件． （填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）‎ ‎3．已知向量，，若，则 ▲ ． ‎ ‎4．若实数满足，则的最大值为 ▲ ． ‎ ‎5．已知，，则 ▲ ．　‎ ‎6．在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线： 垂直，则实数 ▲ ．‎ ‎7．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为 ▲ ． ‎ ‎8．已知椭圆上一点到左焦点的距离是2，则到右准线的距离为 ‎ ▲ ． ‎ ‎9．已知正数满足，则的最小值为 ▲ ．‎ ‎10．设双曲线的左、右焦点分别为，过垂直于实轴的直线交双曲线右支不同两点M、N，若为正三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ． ‎ ‎11．若椭圆的离心率为，则 ▲ ． ‎ ‎12．已知，，满足，则的最小值为 ▲ ． ‎ ‎13．使得恒成立，则实数的取值范围为 ▲ ． ‎ ‎14．已知椭圆与直线相交于两点，若 ‎，且以AB为直径的圆经过坐标原点，则椭圆离心率的取值范围为 ‎ ▲ ． ‎ 二．解答题（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题14分）‎ 设命题：关于的方程有实数根；命题：关于的不等式的解集是．若“或”为真，“且”为假，求的取值范围．‎ ‎16．（本题14分）‎ 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎17．（本题15分）‎ 已知双曲线的中心在原点，离心率为，一个焦点 ‎（1）求双曲线标准方程；‎ ‎（2）抛物线的焦点是双曲线的右顶点，求抛物线的标准方程；‎ ‎（3）在（2）的条件下，为抛物线的焦点，过的直线与抛物线相交于两点．求证：是一个定值．‎ ‎18．（本题15分）‎ 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行 防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离（）的关系为：，若距离为时，宿舍建造费用为万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每千米成本为万元，设为建造宿舍与修路费用之和．‎ ‎（1）求的表达式，并写出其定义域；‎ ‎（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．‎ ‎19．（本题16分）‎ 已知函数，若不等式的解集为．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）解关于的不等式；‎ ‎（3）函数，若使得，求实数的取值范围．‎ ‎20．（本题16分）‎ 已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．[]‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知、（）是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，‎ ‎①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；‎ ‎②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．‎ 盐城市伍佑中学 ‎2018-2019学年秋学期高二期中考试 数 学 理 试 题 ‎ 考试时间：120分钟 分值：160分 命题人： ‎ 一． 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1． 2． 必要不充分 3． 4． 5 ‎ ‎5． 6　 6． 2 7． 8． ‎ ‎9． 9 10． 11． 或 12． ‎ ‎13． 14． ‎ 二．解答题（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题14分）‎ 解：真：或，………………3分 真： ………………6分 因为“或”为真，“且”为假，则一真一假。………………8分 若真假或，………………10分 若真假 ………………12分 综上：的范围是………………14分 ‎16．（本题14分）‎ ‎【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立 空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），‎ A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），………………4分 ‎∴， =（1，﹣1，﹣4），‎ ‎∴cos＜＞===，‎ ‎∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．………………7分 ‎（2）是平面ABA1的一个法向量，‎ 设平面ADC1的法向量为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，‎ ‎∴平面ADC1的法向量为，………………10分 设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，‎ ‎∴cosθ=|cos＜＞|=||=，………………12分 ‎∴sinθ==． ‎ ‎∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．………………14分 ‎17．（本题15分）‎ 解 (1)由题意可设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)　　‎ 则有e＝＝2，c＝2，∴a＝1，则b＝ ‎∴所求的双曲线方程为x2－＝1. ………………4分 ‎(2) 双曲线右顶点是，则抛物线的方程为y2＝4x………………7分 ‎(3)证明　设直线l的方程为x＝ky＋1，‎ 由得y2－4ky－4＝0，………………9分 ‎∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，………………10分 ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．‎ ‎∵·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2‎ ‎ ＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2‎ ‎ ＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.‎ ‎∴·是一个定值．………………15分 ‎（直线设成形式，与抛物线联立，算出答案，也可给分，但是不讨论斜率不存在时候扣2分）‎ ‎18．（本题15分）‎ 解：⑴根据题意，距离为1km时费用为100万元，即当x=1时，p＝100‎ ‎ ……………………………………3分 ‎ ， ………………………7分 ‎⑵ ………………………11分 ‎ 当且仅当即时取“＝”………………………14分 ‎ 答：宿舍距离工厂5km时，总费用最小为95万元 ……………………15分 ‎19．（本题16分）‎ 解：（1）不等式的解集为，‎ ‎1和是一元二次方程的根 则有，解得 ………………5分 ‎（2）由（1）知，‎ 即为 ‎ ………………7分 当即时，不等式的解集为；………………8分 当即时，不等式的解集为；………………9分 当即时，不等式的解集为.………………11分 ‎（3）若使得 ‎ ………………13分 在上单调递增，………………14分 ‎，………………15分 ‎，则 ………………16分 ‎20．（本题16分）‎ 解：（1）设C方程为，则，‎ 由，a2=b2+c2，得a=4，‎ ‎∴椭圆C的方程为．………………3分 ‎（2）①设A（x1， y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，‎ 代入，得x2+tx+t2﹣12=0，………………5分 由△＞0，解得﹣4＜t＜4， ………………7分 由韦达定理得x1+x2=﹣t，．‎ ‎∴，‎ 由此可得：四边形APBQ的面积，‎ ‎∴当t=0，．………………10分 ‎②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），‎ 由整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，‎ ‎∴，………………12分 同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），‎ 可得 ‎∴，，………………14分，‎ 所以直线AB的斜率为定值．………………16分