专题28+空间几何体的表面积与体积-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过

专题28+空间几何体的表面积与体积-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过

考点28空间几何体的表面积与体积 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.‎ 一、柱体、锥体、台体的表面积 ‎1．旋转体的表面积 圆柱（底面半径为r，母线长为l）‎ 圆锥（底面半径为r，母线长为l）‎ 圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）‎ 侧面展开图 底面面积 侧面面积 表面积 ‎2．多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.‎ 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：‎ 二、柱体、锥体、台体的体积 ‎1．柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 (S为底面面积，h为高),(r为底面半径，h为高)‎ 锥体 (S为底面面积，h为高)，(r为底面半径，h为高)‎ 台体 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，‎ (r′、r分别为上、下底面半径，h为高)‎ ‎2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系 ‎3．必记结论 ‎（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；‎ ‎（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.‎ 三、球的表面积和体积 ‎1．球的表面积和体积公式 设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为.‎ ‎2．球的切、接问题（常见结论）‎ ‎（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是．‎ ‎（2）若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是．‎ ‎（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是．‎ ‎（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．‎ ‎（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．‎ 考向一柱体、锥体、台体的表面积 ‎1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积． ‎ ‎2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.‎ ‎3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.‎ 典例1如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A．46 B．48‎ C．50 D．52‎ ‎【答案】B ‎【解析】该几何体是如图所示的一个四棱锥，所以表面积为 故选B.‎ 典例2正四棱台的两底面边长分别是6 cm和10 cm,高为4 cm,求它的表面积.‎ ‎【解析】如图,设上、下底面中心分别为O1,O,边A1D1,AD的中点分别为E1,E,连接O1O,O1E1,E1E,EO,作O1F∥E1E交OE于点F,‎ 所以4×(A1D1+AD)·EE1+A1D‎1‎‎2‎+AD2=4××(6+10)×2‎5‎+62+102‎ ‎=(64‎5‎+136)cm2.‎ ‎1．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A． B． C． D． ‎2．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为___________cm2.‎ 考向二柱体、锥体、台体的体积 空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题.求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：‎ ‎（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．‎ ‎①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.‎ ‎②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．‎ ‎（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.‎ 典例3如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为 A． B． C． D． ‎【答案】A 典例4如图，几何体EF-ABCD中，DE⊥‎平面ABCD，CDEF是正方形，ABCD为直角梯形，AB//CD，AD⊥DC，是腰长为‎2‎‎2‎的等腰直角三角形．‎ ‎（1）求证：BC⊥AF；‎ ‎（2）求几何体EF-ABCD的体积.‎ ‎【解析】（1）因为是腰长为‎2‎‎2‎的等腰直角三角形，所以AC⊥BC.‎ 因为DE⊥‎平面ABCD，所以DE⊥BC.‎ 又DE//CF，所以CF⊥BC.‎ 又AC∩CF=C，所以BC⊥‎平面ACF.‎ 所以BC⊥AF.‎ 由勾股定理得AE=AD‎2‎+DE‎2‎=2‎‎2‎，‎ 因为DE⊥‎平面ABCD，所以DE⊥AD.‎ 又AD⊥DC,DE∩DC=D，所以AD⊥‎平面CDEF.‎ 所以 .‎ ‎3．《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,AC⊥BC,若A‎1‎A=AB=2‎,当阳马B-A‎1‎ACC‎1‎体积最大时,则堑堵ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的体积为 A． B．‎‎2‎ C．‎2‎ D．‎‎2‎‎2‎ ‎4．如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面，点为的中点,连接.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ 考向三 球的表面积和体积 ‎1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.‎ ‎2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．‎ ‎3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.‎ ‎4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.‎ 典例5《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为 A． B． C． D． ‎【答案】C 典例6如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A．cm3 B．cm3‎ C．cm3 D．cm3‎ ‎【答案】A 则，，，，由，得，‎ 所以球的体积为(cm3)，故选A.‎ ‎5．已知三点都在体积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离为__________．‎ ‎6．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．‎ 考向四空间几何体表面积和体积的最值 求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：‎ 一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；‎ 二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决. ‎ 典例7如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2.‎ ‎（1）求证：BC⊥平面A1AC;‎ ‎（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.　　　　‎ 故V三棱锥A‎1‎-ABC‎=‎‎1‎‎3‎S△ABC×AA1=‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×AC×BC×AA1=x‎4-‎x‎2‎‎=‎1‎‎3‎x‎2‎‎(4-x‎2‎)‎=‎‎1‎‎3‎‎-(x‎2‎-2‎)‎‎2‎+4‎.‎ 因为00,y>0‎,x‎2‎‎+y‎2‎=4‎，当阳马B-A‎1‎ACC‎1‎的体积最大时，取最大值，由,当且仅当x=y=‎‎2‎时取等号，‎ 则当阳马B-A‎1‎ACC‎1‎体积最大时,AC=BC=‎‎2‎，‎ 此时堑堵ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的体积，故选C.‎ ‎4．【解析】（1）∵是等腰直角三角形，,点为的中点，∴.‎ ‎∵平面平面，平面平面，∴平面.‎ ‎∵平面,∴∥.‎ ‎∵平面,平面,∴∥平面.‎ ‎（2）由（1）知∥平面,∴点到平面的距离等于点到平面的距离.‎ ‎∵，是等边三角形，∴，‎ 连接,则,. ‎ 故=.‎ 则三棱锥的体积为.‎ ‎5．【答案】3‎ 则球心到平面的距离为.‎ ‎6．【答案】 ‎【解析】由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，设球的直径为，‎ 则，所以，故该球的表面积为.‎ ‎7．【答案】B ‎ ‎【解析】要使球的体积最大，必须使球的半径最大．由题意知球面与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．‎ 考点冲关 ‎1．【答案】C ‎【解析】由正方体体积为8可知边长为2，所以内切圆半径为1，球的表面积为 ‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】由三视图的俯视图可知四棱台的底分别是边长为1和2的正方形,故四棱台的底面积分别为,又由三视图的正视图可知四棱台的高为h=2,所以V=()h=(1+‎1×4‎+4)‎ ‎×2=.‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为12，底面周长为16，棱柱的高为3，故柱体的表面积S=2×12+16×3=72. ‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2,所以球的半径为‎1+4‎‎=‎‎5‎，所以表面积为4π⋅5=20π.故选A.‎ ‎5．【答案】A ，即，，所以该球的表面积为，故选A.‎ ‎6．【答案】 ‎【解析】由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，‎ 则表面积为．‎ ‎7．【答案】 ‎【解析】由球体的对称性可知圆柱的高即为球心到两底面圆心的距离，设圆柱的底面半径是，球心到底面的距离是，由球心距离、截面圆的半径、球半径之间的关系可得，由题设可得，则，故圆柱的体积.‎ ‎8．【答案】4‎‎3‎‎18‎ ‎【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为h cm,则水面圆的半径为htan30°=,则由π×42×8=×()2×‎ πh,解得h=4‎3‎‎18‎.‎ ‎9．【答案】‎‎6+1.5π ‎【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个底面直角边长为2的等腰直角三角形、高是3的直三棱柱，右边是一个底面半径为1、高是3的圆柱的一半，‎ 所以该几何体的体积为V=‎1‎‎2‎‎×2×2×3+‎1‎‎2‎×π×‎1‎‎2‎×3=6+1.5π(cm3).‎ ‎∴，∴的面积为.‎ 又，∴平面，∴，∴的面积为.‎ 又平面，∴，∴的面积为.‎ 又，∴的面积为8.‎ 而的面积与的面积相等，且三棱锥与三棱锥的公共面为，‎ ‎∴三棱锥与三棱锥的表面积之差为.‎ ‎11．【解析】（1）∵，，∴，‎ 又∵，∴，‎ 又，，，，∴，‎ 又∵，∴平面.‎ ‎（2）连接，过作于，‎ ‎∵平面，，∴，‎ 又，，，，∴，‎ ‎∵，，∴是等边三角形，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，又，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴该组合体的体积.‎ 直通高考 ‎1．【答案】A ‎2．【答案】A ‎【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为，选A．‎ ‎【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】该几何体是如下图所示的三棱锥.‎ 由图中数据可得该几何体的体积是，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:‎ 如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面三角形的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.‎ ‎4．【答案】A ‎ ‎5．【答案】C ‎ ‎【解析】由已知及三视图可得，半球的直径为，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为，选C.‎ ‎6．【答案】 ‎【解析】由三视图可知该几何体的底面积为，高为1，所以该几何体的体积为.‎ ‎7．【答案】80，40 ‎ ‎【解析】由三视图可知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，则 ，．‎ ‎8．【答案】 ‎【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.‎ ‎(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分部分,想整体；③综合起来,定整体．‎ ‎9．【答案】 ‎【解析】设正方体的边长为，则，其外接球直径为，故这个球的体积．‎ ‎【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．‎ ‎10．【答案】 ‎【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以 ‎【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎11．【答案】 ‎【解析】设球半径为，则．故答案为．‎ ‎【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎12．【答案】 ‎【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的各顶点的距离相等，然后用同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．‎ ‎13．【解析】（1）由已知，得，．‎ 由于，故，从而平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为．‎ 由（1）知，平面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得，．‎ 故四棱锥的体积．‎ 由题设得，故．‎ 从而，，．‎ 可得四棱锥的侧面积为．‎ ‎【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出． ‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM.‎ 设BC=x，则CM=x，CD=‎2‎x，PM=‎3‎x，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以PN=‎14‎‎2‎x.‎ 因为△PCD的面积为‎2‎‎7‎，所以‎1‎‎2‎‎×‎2‎x×‎14‎‎2‎x=2‎‎7‎，‎ 解得x=−2（舍去），或x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=‎2‎‎3‎，‎ 所以四棱锥P−ABCD的体积V=‎1‎‎3‎×‎2×(2+4)‎‎2‎×2‎3‎=4‎‎3‎.‎ ‎（2）连结EO.‎ 由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.‎ 在中，BO‎2‎‎+AO‎2‎=‎AB‎2‎.‎ 又AB=BD，所以BO‎2‎‎+DO‎2‎=BO‎2‎+‎AO‎2‎‎=AB‎2‎‎=BD‎2‎，故∠DOB=90°.‎ 由题设知为直角三角形，所以EO=‎1‎‎2‎AC.‎ 又是正三角形，且AB=BD，所以EO=‎1‎‎2‎BD.‎ 故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.‎ ‎ ‎