2017-2018学年北京101中学高二年级下学期期中考试数学（理科）试题（Word版）
北京101中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）
本试卷满分120分，考试时间100分钟
一、选择题共8小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 下列导数公式正确的是（ ）
A. （xn）'=nxn B. （）'= C. （sinx） '=-cosx D. （ex） '=ex
2. 下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为（ ）
X
0
1
2
3
P
a
A. B. C. D.
3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P（B|A）=（ ）
A. B. C. D.
4. 若dx=1-ln3，且a>1，则a的值为（ ）
A. -3 B. 1n3 C. D. 3
5. 用数学归纳法证明“l+2+3+…+n3=，n∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式左边加上（ ）
A. k3+1 B. （k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3
C. （k+1）3 D.
6. 函数y=ex（x2-3）的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
7. ①已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，可假设p+q≥2；②设a为实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于．用反证法证明时可假设|f（1）|>或|f（2）|>．以下说法正确的是（ ）
A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确
C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确
8. 若函数y=f（x）对任意x∈（-，）满足f'（x）cosx-f（x）sinx>0，则下列不等式成立的是（ ）
A. f（-）
f（-）
C. f（-）>f（-） D. f（-）0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是_________.
三、解答题共4小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. 已知函数f（x）=（1-2x）（x2-2）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若直线y=4x+b是函数y=f（x）图象的一条切线，求b的值．
16. 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．
（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率：
（2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．
17. 已知点Pn（an,bn）满足an+1=an·bn+l ，bn+l =（nN*）且点P1的坐标为（1,-1）.
（1）求过点P1，P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在（1）中的直线l上．
18. 已知函数f（x）=-a2 lnx+x2-ax（a∈R）．
（1）试讨论函数f（x）的单调性：
（2）若函数f（x）在区间（1，e）中有两个零点，求a的取值范围．
参考答案
1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．0．
10．． 11．15． 12．e2-2．
13．820．14．（，）．
15．（1）因为f'（x）=-2（x2-2）+（1-2x）·2x=-6x2+2x+4．
令f'（x）=0，得3x2-x-2=0，解得x=-或x=1．
x
（-,-）
-
（-,1）
1
（1,+）
f'（x）
-
0
+
0
-
g（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f（x）的单调递增区间为（-，1），单调递减区间为（-，-），（1，+），
极小值为f（-）=-，极大值为f（1）=1．
（2）因为f'（x）=-6x2+2x+4，
直线y=4x+b是f（x）的切线，设切点为（x0，f（x0）），
贝f'（x0）=-6x+2x0+4=4，
解得x0=0或x0=．
当x0=0时，f（x0）=-2，代入直线方程得b=-2，
当x0=时，f（x0）=-，代入直线方程得b=-．
所以b=-2或-．
16. （1）设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，
则P（A）=1-P（）=1-=．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，且P（X=k）=，
则P（X=0）=，P（X=1）= ，
P（X=2）=，P（X=3）=.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E（X）=0×+l×+2×+3×=．
17. （1）由点P1的坐标为（1，-1）知，a1=1，b1=-1，
所以b2=，a2=a1·b2=，
所以点P2的坐标为（，），
所以直线l的方程为2x+y-1=0．
（2）①当n=1时，2a1+b1=2×1+（-1）=1，命题成立．
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时命题成立，则2ak+bk=1，
所以2ak+1+bk+1=2ak·bk+1 +bn+l ==，
所以当n=k+1时，命题也成立．
由①②知，对n∈N*，都有2an+bn=1，
即点Pn都在直线l上．
18．（1）f（x）的定义域为（0，+）．
由f（x）=-a2lnx+x2-ax（a∈R）
可知f'（x）=，
所以若a>0，则当x∈（0，a）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，
当x∈（a，+）时，f'（x）>0，则函数f（x）单调递增；
若a=0，则当f'（x）=2x>0在（0，+）内恒成立，函数f（x）单调递增；
若a<0，则当x∈（0，-）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-，+）时，f'（x）>0，则函数f（x）单调递增．
（2）若a>0，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增．
若a<0，f（x）在（0，-）单调递减，在（-，+）单调递增．
由题意，若f（x）在区间（1，e）中有两个零点，则有或
得a无解或a∈（-e，-2）.
综上，a∈（-e，-2）．