北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：数列

北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：数列

北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练 数列 一、选择、填空题 ‎1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知数列,,,则的值为 A． B． C． D． ‎ ‎2、（朝阳区2019届高三上学期期末）已知数列为等比数列，为其前项的和，若，，则_______；________.‎ ‎3、（大兴区2019届高三上学期期末）能说明“如果是等比数列，那么仍为等比数列”为假命题的的一个通项公式为_______．‎ ‎4、（东城区2019届高三上学期期末）若等差数列和等比数列满足，，试写出一组满足条件的数列和的通项公式: ， .‎ ‎5、（房山区2019届高三上学期期末）为数列的前项和,其中表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：‎ 的因数有，则；的因数有，则.那么 ‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎6、（海淀2019届高三上学期期末）已知等比数列满足，且成等差数列，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））已知等差数列的前项和为，能够说明“若数列是递减数列，则数列是递减数列”是假命题的数列的一个通项公式为____．‎ ‎8、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模））已知数列满足，且，则_____．‎ ‎9、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））等差数列满足，则_____;若则______时，的前项和取得最大值．‎ ‎10、（东城区2019届高三一模）在等差数列中，，则 . ‎ ‎11、（丰台区2019届高三一模）无穷数列的前项和为，若对任意，．‎ ‎①数列的前三项可以为____；‎ ‎②数列中不同的项最多有____个.‎ ‎12、（门头沟区2019届高三一模）等比数列中，则数列的通项公式 . ‎ 参考答案：‎ ‎1、A 　2、2，126 　 　3、（答案不唯一，满足公比为均可） ‎ ‎4、,（答案不唯一） 5、C ‎6、C 　　 7、满足,(答案不唯一) ‎ ‎8、24 　　9、4　，　6 ‎ ‎10、1　　　　11、1,1,0（答案不唯一）；　　　‎ ‎12、‎ 二、解答题 ‎1、（昌平区2019届高三上学期期末）设是各项均为正数的等比数列，且 ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎2、（朝阳区2019届高三上学期期末）已知数列的前项和是，若，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前n项和.‎ ‎3、（大兴区2019届高三上学期期末）已知数列满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求的前n项和．‎ ‎4、（东城区2019届高三上学期期末）已知等差数列满足 ‎ ‎ (Ⅰ) 求的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ) 若 ,求数列的前n项和.‎ ‎5、（房山区2019届高三上学期期末）已知等比数列满足公比，前项和. 等差数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设是的前项和，求的最大值.‎ ‎6、（丰台区2019届高三上学期期末）已知等差数列和等比数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎7、（海淀2019届高三上学期期末）已知数列满足，.‎ ‎(Ⅰ) 求的值和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和. ‎ ‎8、（石景山区2019届高三上学期期末） 已知为等差数列的前项和，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，为数列的前项和，是否存在，使得=？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎9、（通州区2019届高三上学期期末）已知数列的前4项依次成公比为的等比数列，从第3项开始依次成等差数列，且，. ‎ ‎（Ⅰ）求及的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎10、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模））在等差数列中，已知,.‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）求.‎ ‎11、（东城区2019届高三5月综合练习（二模））设数列满足：，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式及前项和；‎ ‎（Ⅱ）若等差数列满足， ，问：与的第几项相等？‎ ‎12、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））已知数列满足，是自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：当时，.‎ ‎13、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模）） 已知数列为等比数列，且．‎ ‎ (I)求公比和的值；‎ ‎ (Ⅱ)若的前项和为 ，求证：成等差数列．‎ ‎14、（门头沟区2019届高三一模）在等差数列中，为其前和，若。‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和；‎ ‎（2）若数列中，求数列的前和.‎ ‎15、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））已知是等差数列，是等比数列，且，，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎16、（西城区2019届高三一模）已知数列的前项和，其中.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎ （Ⅱ）若（）为等比数列的前三项，求数列的通项公式.‎ ‎17、（东城区2019届高三一模）已知等比数列的首项为2，等差数列的前项和为 ，且，，.‎ ‎（Ⅰ）求，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎18、（房山区2019届高三一模）记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？‎ ‎19、设是等差数列，且，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求．‎ ‎20、已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ 参考答案：‎ ‎1、解：(Ⅰ)设等比数列的公比为，‎ 因为，所以，‎ 又，所以. ‎ 即或（舍）.‎ 所以. …… 5分 ‎(Ⅱ)由（I）知，，‎ 因为，‎ 所以是以0为首项，公差为的等差数列.‎ 所以.‎ 所以. ……13分 ‎2、解：（Ⅰ）因为，‎ 所以数列是公差为1的等差数列.‎ ‎ 又因为，则，‎ ‎ 所以，. ……………7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,则 ‎ ‎ ‎……………13分 ‎3、解：（Ⅰ）由，， ‎ 是首项为，公比为的等比数列. ……1分 所以 ． ……2分 因为 ， ……3分 所以是首项为，公差为的等差数列． ‎ 可得． ……5分 ‎ 所以． ……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ．‎ ‎ 数列的前项和为 ‎ ‎ ‎ ‎ ……1分 ‎ ……2分 ‎ ……6分 ‎ ． ……7分 ‎4、解：（I）设的公差为,‎ 因为， 所以. ‎ 所以 解得.‎ 所以 ……………………………..7分 ‎（Ⅱ）由（I）知，，‎ ‎ 所以的前n项和为 ‎ ‎ = ‎ =. ……………………..13分 ‎5、‎ ‎6、解：（Ⅰ）因为 ……………….2分 所以 ……………….4分 从而 . ………………6分 ‎（Ⅱ）因为 ………………8分 所以 ………………10分 所以 ， ………………11分 所以. ………………13分 ‎7、解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，， ‎ 因为 ‎……‎ 把上面个等式叠加，得到 ‎ ‎ 所以 ‎ 又时，符合上式，所以 ‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ 所以 ‎ 所以是首项为，公差为的等差数列 ‎ 所以 ‎ ‎8、解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ 则， ‎ 又，所以，. ‎ ‎（Ⅱ）因为，所以为等比数列. ‎ ‎ 所以. ‎ ‎ 假设存在，使得=.‎ ‎ ， ‎ ‎ 所以，即，所以满足题意. ‎ ‎9、解：（Ⅰ）因为数列的前4项依次成等比数列， ‎ 所以，即．‎ 所以，从而．‎ 因为数列从第3项开始各项依次为等差数列，设公差为d，‎ 所以，从而．‎ 所以，； …………………………………………8分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．‎ 当时，，‎ 当时，， ‎ 当时，，此式对也成立．‎ ‎ 综上所述，…………………………………………13分 ‎10、解：（I）因为是等差数列，,所以 ‎ 解得.则,. ………….7分 ‎（II） 构成首项为,公差为的等差数列.‎ 则. ………….13分 ‎11、解: （Ⅰ）依题意，数列满足：，， ‎ 所以是首项为1，公比为的等比数列.‎ 则的通项公式为，‎ 前项和. ………………………. 7分 ‎（Ⅱ）由 (Ⅰ) 可知，， ，‎ 因为为等差数列， .‎ 所以的通项公式为.‎ 所以.‎ 令，解得.‎ 所以与数列的第项相等. …………………..13分 ‎12、解：（Ⅰ）因为，，‎ 所以数列是1为首项，为公比的等比数列， ‎ 所以. ………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ………………5分 所以 ， ………………7分 ‎ ‎ 所以 ‎ ………………10分 ‎. ………………11分 因为，所以.所以 即 ………………13分 ‎13、解：（Ⅰ）方法1：‎ 由题设得 ‎ ‎ 因为为等比数列，‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 又因为 ‎ 所以 ‎ 所以 经检验，此时成立，且为等比数列 ‎ 所以 ‎ 方法2： ‎ 因为 把上面个等式叠加，得到 ‎ ‎ 所以 ‎ 而也符合上式 ‎ 所以 ‎ 因为数列是等比数列，设公比为 ‎ 所以对于，有恒成立 所以 ‎ 即 所以，‎ 而显然不成立，所以 所以 所以 ‎ 方法3：‎ 由题设得： ，其中 ‎ ‎ 因为为等比数列，‎ 所以对于恒成立 所以 ‎ 所以 ‎ 又因为 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 方法4：‎ 因为为等比数列，‎ ‎ 所以，对于，有恒成立 ‎ ‎ 由 ，‎ 得， ‎ ‎ 所以 所以 ‎ 所以， ‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 所以成等差数列 ‎ ‎14、解：（1）由题意可知，‎ 得：‎ ‎（2），‎ ‎15、解（Ⅰ）设的公比为.‎ 因为，，所以,‎ 所以., ------------------------------------------2分 所以 . ------------------------------------------4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.‎ 设等差数列的公差为.‎ 因为,‎ 所以 ,‎ 所以. ------------------------------------------6分 所以. ------------------------------------------8分 因此. --------------------------------------9分 ‎ 从而数列的前项和 ‎ ‎ ‎ = ------------------------------------------12分 ‎ =. ------------------------------------------13分 ‎16、解：（Ⅰ）当时，， ……………… 2分 ‎ 当时，由题意，得， ， ‎ ‎ 由-，得，其中. ……………… 5分 ‎ 所以数列的通项公式 ……………… 7分 ‎ （Ⅱ）由题意，得. ……………… 9分 ‎ 即. ‎ ‎ 解得（舍）或. ……………… 10分 所以公比. ……………… 11分 ‎ 所以. ……………… 13分 ‎17、解:（Ⅰ）设数列的公比为，数列的公差为.‎ ‎ 由，得 .因为，所以 .‎ ‎ 所以.‎ 由 得 解得 ‎ ‎ 所以. ………..8分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， .‎ 所以.‎ 从而数列的前项和 ‎ ‎ ‎ …………..13分 ‎18、（Ⅰ） 由得 ……………2分 又 ， 所以 ……………4分 ‎ 由等差数列的通项公式 ‎ ‎ 得到 ……………6分 ‎ ‎（Ⅱ） ， ‎ ‎ ‎ ‎ ……………8分 ‎ ‎ 又 ， 即 ，得 ……………9分 ‎ ‎ 所以 ……………11分 ‎ ‎ ‎ ‎ 若 ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 得 ‎ ‎ 于是 与数列的第43项相等 ……………13分 ‎ ‎19、 解：（1）设等差数列公差为，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎20、【解析】（I）设公差为， ,所以，所以.‎ ‎（Ⅱ）设的公比为，.=，所以 所以是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以.‎