2020版高考数学大一轮复习（讲义·理·新人教A版） 第十一章 数学建模与数学探究(自主阅读)

2020版高考数学大一轮复习（讲义·理·新人教A版） 第十一章 数学建模与数学探究(自主阅读)

第1节　数学建模与数学探究 ‎【内容要求】‎ 数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容.‎ ‎【基本过程】‎ 数学建模活动的基本过程如下：‎ 数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容.‎ ‎【过程解读】‎ 掌握建模基本过程，会对实际问题进行问题分析，善于合理假设.‎ ‎·问题分析也常称为模型准备或问题重述.由于数学模型是建立数学与实际现象之间的桥梁，因此，首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象.所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述.为此，要充分了解问题的实际背景，明确建模的目的，尽可能弄清对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据.要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出.至此，我们便有了一个很好的开端，而有了这个良好的开端，不仅可以决定建模方向，初步确定用哪一类模型，而且对下面的各个步骤都将产生影响.‎ ‎·模型假设(即合理假设)是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤.根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设，这是建模至关重要的一步.这是因为，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难于转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败.当然，假设作得不合理或过分简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.一般地，作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素.‎ ‎【实际意义】‎ 数学建模的实际意义 ‎1.在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地.‎ 在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题(如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等)迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段.‎ ‎2.在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具.‎ 无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段.数学建模、数值计算和计算机图形等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一.‎ ‎3.数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地.‎ 随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生.在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地.马克思说过，一门科学只有成功运用数学时，才算达到了完善的地步.展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期.‎ ‎【课题研究】‎ 课题研究的过程包括选题、开题、做题、结题四个环节.学生需要撰写开题报告，教师要组织开展开题交流活动，开题报告应包括选题意义、文献综述、解决问题思路、研究计划、预期结果等.做题是解决问题的过程，包括描述问题、数学表达、建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等.结果包括撰写研究报告和报告研究结果，开展结题答辩.根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物、研究报告或小论文等多种形式.‎ ‎【课题引例】‎ 测量学校内、外建筑物的高度 ‎[目的]　运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程.组织学生通过分组、合作等形式，完成选题、开题、做题、结题四个环节.‎ ‎[情境]　给出下面的测量任务；‎ ‎(1)测量本校的一座教学楼的高度；‎ ‎(2)测量本校的旗杆的高度；‎ ‎(3)测量学校院墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看到见的物体的高度.‎ 可以每2～3个学生组成一个测量小组，以小组为单位完成；各人填写测量课题报告表，一周后上交.‎ 测量课题报告表 项目名称：______________　完成时间：______________‎ ‎1.成员与分工 姓名 分工 ‎2.测量对象 例如，某小组选择的测量对象是：旗杆、教学楼、校外的××大厦.‎ ‎3.测量方法(请说明测量的原理、测量工具、创新点等)‎ ‎4.测量数据、计算过程和结果(可以另外附图或附页)‎ ‎5.研究结果(包括误差分析)‎ ‎6.简述工作感受 ‎[要求]　(1)成立项目小组，确定工作目标，准备测量工具.‎ ‎(2)小组成员查阅有关资料，进行讨论交流，寻求测量效率高的方法，设计测量方案(最好设计两套测量方案).‎ ‎(3)分工合作，明确责任.例如，测量、记录数据、计算求解、撰写报告的分工等.‎ ‎(4)撰写报告，讨论交流.可以用照片、模型、PPT等形式展现获得的成果.‎ 根据上述要求，每个小组要完成以下工作.‎ ‎(1)选题 本案例活动的选题步骤略去.‎ ‎(2)开题 可以在课堂上组织开题交流，让每一个项目小组陈述初步测量方案，教师和其他同学可以提出质疑.在讨论的基础上，项目小组最终形成各自的测量方案.‎ ‎(3)做题 依据小组的测量方案实施测量.尽量安排各个小组在同一时间进行测量，这样有利于教师的现场观察和管理.要有分工、合作、责任落实到个人.‎ ‎(4)结题 在每一位学生都完成“测量报告”后，安排一次交流讲评活动.遴选的交流报告最好有鲜明的特点，如测量结果准确，过程完整清晰，方法有创意，误差处理得当，报告书写规范等；或者测量的结果出现明显误差，使用的方法不当.‎ ‎[分析]　测量高度是传统的数学应用问题，这样的问题有助于培养学生分析解决问题、动手实践、误差分析等方面的能力.测量模型可以用平面几何的方法，例如，比例线段、相似形等；也可以用三角的方法，甚至可以用物理的方法，例如，考虑自由落体的时间；等等.‎ ‎[拓展]　欢迎提出新的问题，积累数学建模资源.例如：‎ ‎1.本市的电视塔的高度是多少米？‎ ‎2.一座高度为H m的电视塔，信号传播半径是多少？信号覆盖面积有多大？‎ ‎3.找一张本市的地图，看一看本市的地域面积有多少平方千米？电视塔的位置在地图上的什么地方？按照计算得到的数据，这座电视塔发出的电视信号是否能覆盖本市？‎ ‎4.本市(外地)到省会的距离有多少千米？要用一座电视塔把信号从省会直接发送到本市，这座电视台的高度至少要多少米？‎ ‎5.如果采用多个中继站的方式，用100 m高的塔接力传输电视信号，从省会到本地至少要建多少座100 m高的中继传送塔？‎ ‎6.考虑地球大气层和电离层对电磁波的反射作用，重新考虑问题2，4，5.‎ ‎7.如果一座电视塔(例如300 m高)不能覆盖本市，请设计一个多塔覆盖方案.‎ ‎8.至少发射几颗地球定点的通讯卫星，可以使其信号覆盖地球？‎ ‎9.如果我国要发射一颗气象监测卫星，监测我国的气象情况，请你设计一个合理的卫星定点位置或卫星轨道.‎ ‎10.在网上收集资料，了解有关“北斗卫星导航系统”的内容，在班里做一个相关内容的综述，并发表对这件事的看法.‎