2020学年高二数学下学期6月月考（期末模拟）试题 文（含解析）人教 新版

2020学年高二数学下学期6月月考（期末模拟）试题 文（含解析）人教 新版

‎2019学年下期期末适应考试 高二数学（文科）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据不等式，求解出集合，再利用集合的交集运算，即可求解.‎ 详解：由题意或，‎ 所以 ，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中正确的求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎2. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为，即，所以，故选A．‎ 考点：1．复数的运算；2．复数相关的概念．‎ ‎3. 已知，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：结合指数函数的图象，利用指数函数的单调性，即可求解.‎ 详解：由指数函数的图象与性质可得，此指数函数在是减函数，‎ 又，所以，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了实数指数幂的比较大小问题，通常利用指数函数的图象与性质中的单调性求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎4. 若，，则的值为（ ）‎ - 16 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用同角三角函数的基本关系式的值，再利用两角差的正弦函数公式即可求解的值.‎ 详解：因为，‎ 则，且，‎ 则，‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及两角差的正弦函数公式的应用，其中熟记三角恒等变换的公式是化简求值的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎5. 设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A. 1 B. 9 C. -9 D. -15‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：现根据条件画出约束条件所表示的平面区域，再将最小值转化为直线在轴上的截距，结合图象，即可求解目标函数的最小值.‎ 详解：由题意，画出约束条件所表示的平面区域，‎ 如图所示，‎ 又由目标函数，即，‎ 结合图象可知，当点时，在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，‎ 由，解得，‎ 所以目标函数的最小值为，故选D.‎ - 16 -‎ ‎..................‎ 点睛：本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键． ‎ ‎6. 在区间上随机取两个实数，，使得的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：分别求出在上随机取两个实数对应的区域，利用面积之比求解即可.‎ 详解：由题意，在区间上随机取两个实数对应的区域的面积为，‎ 在区间上随机取两个实数，‎ 则对应的区域的面积为，‎ 所以事件的概率为，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了面积比的几何概型的应用，其中根据题意作出相应的平面区域，求得区域的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.‎ - 16 -‎ ‎ 一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧面积是（ ）‎ A. B. C. 8 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱锥，侧面是底边长为2，高为2的等腰三角形，所以该几何体的侧面积为．‎ 故选C.‎ ‎8. 函数的导函数的图象如图所示，函数图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据导数与函数单调性的关键，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据函数的图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数的极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数的图象的大致形状.‎ 详解：由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增 则由到函数的图象可知：‎ - 16 -‎ 现单调递减，在单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A、C；‎ 且第二个拐点（即函数的额极大值点）在轴的右侧，排除B，‎ 所以函数的打字图象，应为D，故选D.‎ 点睛：本题主要考查了导数函数的图象与原函数的单调性与极值之间的关系的应用，其中熟记导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了数形结合思想、以及分析问题和解答问题的能力.‎ ‎9. 过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意得曲线表示单位圆在轴上方的部分，设过点的直线 为，即，又由，所以圆心到直线的距离等于，列出方程即可求解.‎ 详解：由，得，‎ 所以曲线表示单位圆在轴上方的部分，‎ 则过点的直线与曲线由两个交点，则，‎ 设直线的方程为，即，‎ 又由，所以圆心到直线的距离等于，即，‎ 解得，又因为，所以，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，其中把转化为圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理与运算能力.‎ ‎10. 阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ）‎ - 16 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】前6步的执行结果如下：；；；；；；观察可知，的值以3为周期循环出现，所以判断条件为？时，，输出的结果不为0．‎ 故选A.‎ ‎11. 已知数列为等比数列，其前项和，则的值为（ ）‎ A. 30 B. 35 C. 40 D. 45‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意求得数列的通项公式为，在根据对数的运算性质和等差数列的求和公式，即可求解.‎ 详解：由题意数列是等比数列，且其前项和，‎ 则由等比数列的前项和公式可得，即，‎ 则，，则公比，‎ 所以数列的通项公式为，‎ 则，‎ 故选D.‎ - 16 -‎ 点睛：本题主要考查了等差、等比数列的通项公式和求和公式的应用，同时涉及到对数的运算性质的应用，其中熟记数列和对数的运算公式，正确作出化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎12. 已知定义在上的函数对任意的满足，当，.函数，若函数在上恰有6个零点，实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据函数在上恰有6个零点，即函数和的图象有6个不同的焦点，分别作出两个函数的图象，由此可求解实数的取值范围.‎ 详解：由题意，对任意的满足，所以，‎ 即函数是以2为最小周期的函数，画出函数在上的图象，‎ 如图所示，‎ 由图象可知，在中的右侧有2个交点，只要在左侧由4个交点即可，‎ 则，解得或，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的周期性，对数函数的图象与性质等知识点，解答的关键是正确合理的作出两个函数的图象，由图象分析两个函数交点的个数，着重考查了数形结合法思想和转化思想方法的应用，属于中档试题.‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.答案写在答题卡相应横线上.‎ ‎13. 的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：在中，利用正弦定理，即可求解边长的值.‎ 详解：在中，由正弦定理得知，所以.‎ - 16 -‎ 点睛：本题主要考查了正弦定理解三角形问题，其中熟记三角形的正弦定理、且合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎14. 从某大学随机抽取的5名女大学生的身高（厘米）和体重（公斤）数据如下表：‎ ‎165‎ ‎160‎ ‎175‎ ‎155‎ ‎170‎ ‎58‎ ‎52‎ ‎62‎ ‎43‎ 根据上表可得回归直线方程为，则表格中的值为__________．‎ ‎【答案】60.‎ ‎【解析】由表中数据知.‎ 代入，得.‎ 则表格中空白处的值为.‎ 故答案为：60.‎ 点睛：求解回归方程问题的三个易误点：‎ ‎①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．‎ ‎②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上．‎ ‎③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．‎ ‎15. 直线与椭圆分别交于点，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：设点，代入椭圆的方程，利用点差法，结合线段的中点的坐标，即可得到答案.‎ 详解：设，中点，则，‎ 把点代入椭圆的方程，‎ 整理得，‎ - 16 -‎ 两式相减得，整理得，‎ 即.‎ 点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中合理应用直线与圆锥曲线的点差法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎16. 已知函数，在区间内任取两个实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：由于表示点与点连线的斜率，因实数p，q在区间内，故和在区间内．∵不等式恒成立，∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在内恒成立．由函数的定义域知，，∴f′（x）=﹣2x＞1 在内恒成立．即在内恒成立．由于二次函数在上是单调增函数，故时，在上取最大值为15，∴，故答案为．‎ 考点：不等式；函数恒成立问题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知函数在处有极值，且其图象在处的切线与直线平行.‎ ‎（Ⅰ）求实数，的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极大值与极小值的差.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)4.‎ ‎【解析】分析：(1)先对函数进行求导，根据函数在取得极值，说明导函数在时的值为0，再根据其图象在处的切线斜率为，列出方程组即可求出的值；‎ ‎（2）令，可求出函数的单调递增区间，令，可求出函数的单调递减区间.‎ 详解：（Ⅰ）由题知，则 ‎，所以；‎ - 16 -‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知；‎ 令，∴或；令，∴；‎ 所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.‎ 当变化时，，的变换情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以，；‎ 所以 .‎ 点睛：本题主要考查了函数在某点处取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数求解函数的单调区间，其中熟记导函数与原函数的关系是解答此类问题的关键，着重考查了分问题和解答问题的能力.‎ ‎18. 为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉字听写大会》的活动.为响应学校号召，高二（1）班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图，如图所示，甲的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用表示.（把频率当作概率）‎ ‎（Ⅰ）假设，现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？‎ ‎（Ⅱ）假设数字的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率.‎ ‎【答案】(1) 派甲参加比较合适.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据 茎叶图得到，‎ - 16 -‎ ‎，故得两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适；（2）根据，可得的取值可能为，由古典概型概率公式可得所求概率为。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由茎叶图可知甲、乙两人成绩的平均数为 ‎，‎ ‎，‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ ‎∵，，‎ ‎∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 又为整数，‎ ‎∴，‎ 又的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，‎ ‎∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为．‎ 点睛：（1）茎叶图保留了原始数据的所有特征，概率经常和统计图表结合在一起考查，解题时要从统计图表中找到所需的数据，然后根据概率公式求解。‎ ‎（2）比较两个样本优劣的时候，要看样本的平均数和方差，当平均数相等时，再比较方差的大小，并在此基础上作出选择。‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，，且.‎ - 16 -‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）推导出，，从而，进而平面，由此能证明平面平面；（2）设，则四棱锥的体积，解得，可得所求侧面积.‎ ‎（1）∵在四棱锥中，，∴，，‎ 又，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为．‎ 由（1）知，平面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得，．‎ 故四棱锥的体积．‎ 由题设得，故． ‎ 从而，，．‎ - 16 -‎ 可得四棱锥的侧面积为．‎ ‎20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，它的离心率是双曲线的离心率的倒数.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，抛物线方程为，其焦点为，根据题意求得，进而根据离心率求得，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，，，设直线的方程为，代入椭圆的方程，利用韦达定理，得，进而得到向量的坐标，根据，，即可求解的值.‎ 详解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，抛物线方程为，其焦点为，‎ 则椭圆的一个顶点为，即，由，‎ ‎∴，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：易求出椭圆的右焦点，‎ 设，，，显然直线的斜率存在，‎ 设直线的方程为，代入方程，‎ 整理得，∴，，‎ 又，，，，‎ 而，，‎ - 16 -‎ 即，，‎ ‎∴，，所以 .‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎21. 设，函数，（为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若在区间内恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）求得函数的导数，分和或讨论，即可求得函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）令，由，得，令，求得，当时，，从而单调递减，求得，考虑的情况和的情况，分别通过函数的单调性以及函数的最值，推出的取值范围即可.‎ 详解：（Ⅰ），‎ 当即时，，从而函数在定义域内单调递增，‎ 当即或时，，此时 若，，则函数单调递增；‎ 若，，则函数单调递减；‎ 若，，则函数单调递增.‎ ‎（Ⅱ）令，则.‎ 因为，令，则.‎ 当时，，从而单调递减，令，得.‎ - 16 -‎ 先考虑的情况，此时；‎ 又当时，，所以在单调递增；‎ 又因为，故当时，，从而函数在区间内单调递减；‎ 又因为，所以在区间恒成立.‎ 接下来考虑的情况，此时，令，则.‎ 由零点存在定理，存在使得，‎ 当时，由单调递减可知，所以单调递减，‎ 又因为，故当时，从而函数在区间单调递增；‎ 又因为，所以当，.‎ 综上所述，若在区间恒成立，则的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式恒成立问题的的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线交曲线于，两点.‎ ‎（Ⅰ）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的直角坐标为，求点到，两点的距离之积.‎ ‎【答案】(1) ,.‎ ‎(2)40.‎ ‎【解析】分析：（1）由直线的参数方程消去参数，得到的普通方程，由此能求出直线的极坐标方程，由曲线的极坐标方程，能求出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求出直线的参数方程，并代入，得，由此能求出的值.‎ 详解：（Ⅰ）由直线的参数方程可以得到普通方程为：，所以直线的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程为.‎ - 16 -‎ ‎（Ⅱ）因为直线：经过点，所以直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，化简得到：.‎ 设，两点对应的参数分别为，，所以.‎ 点睛：本题主要考查了极坐标方程和曲线的直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中熟记极坐标、直角坐标和参数方程之间的互化是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及转化思想方法的应用.‎ - 16 -‎