河南省信阳高中、商丘一高2018-2019学年高二上学期第一次联考(1月)数学(理)试题

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河南省信阳高中、商丘一高2018-2019学年高二上学期第一次联考(1月)数学(理)试题

信阳高中 商丘一高 ‎2018—2019学年度上学期联考试卷 高二数学(理科)试卷 ‎ ‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟,满分150分.‎ 第I卷(选择题,共60分)‎ 注意事项:‎ 1. 答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上.‎ 2. 每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干  ‎ 净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎(1)命题“对”的否定是( )‎ ‎ (A)不 (B) ‎ ‎ (C) (D)对 ‎(2)在等差数列中,已知,,则有(  ) (A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)在中,角的对边分别为,若,则 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(4)已知,,则的最小值为( )‎ ‎ (A)4 (B) (C)2 (D)1‎ ‎(5)已知向量,,且与互相垂直,则 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)在中,角的对边分别为,若,则的最小值为(   )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)设等比数列的公比为 ,且 , 为数列 前 项和,记 ,则( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎(8)设双曲线()的渐近线与抛物线 相切,则双曲线的离心率为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(9)点的坐标满足条件,若 ,,且,则的最大值为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(10)用数学归纳法证明时,到时,不等式左边应添加的项为( )‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D)‎ ‎(11)若点为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,,分别是它们的左右焦点,设椭圆的离心率为,设双曲线的离心率为,若,则( )‎ ‎ (A)4 (B) (C)2 (D)1‎ ‎(12)设直线交于抛物线:相交于两点,与圆:相切于点,且为线段的中点。若这样的直线恰有4条,则的取值范围为 (   )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎ 第II卷(非选择题,共90分)‎ 注意事项:1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚;‎ ‎2.考生做答时,用黑色签字笔将答案答在答题卷上,答在试题卷上的答案无效.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分 ‎(13)不等式的解集为 .‎ ‎(14)已知,,若是的充分不必要条件,‎ ‎ 则的取值范围为__________.‎ ‎(15)函数的最大值为__________.‎ ‎(16)已知等差数列的首项为,公差为-4,前项和为,若存在,使得,‎ ‎ 则实数的最小值为 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎(17)(本小题满分10分)‎ ‎ 在中,角的对边分别为,已知,,.‎ ‎ (Ⅰ)求的值;‎ ‎ (Ⅱ)若为锐角,求的值及的面积.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数;‎ ‎ (Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎ (Ⅱ)若的解集包含,求的取值范围.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,, ‎ ‎,平面,,. ‎ ‎ (Ⅰ)求证:平面;‎ ‎ (Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知数列的前 项和,是等差数列,且.‎ ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)令,求数列的前 项和.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知抛物线;‎ ‎ (Ⅰ)过点作直线与抛物线交于两点,弦恰被平分,求弦所在 ‎ 直线方程.‎ ‎ (Ⅱ)过点作一条直线与抛物线交于两点,求弦的中点 ‎ 的轨迹方程.‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ 设椭圆的离心率是,过点的动直线于椭圆相交于两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得弦长为。‎ ‎(Ⅰ)求的方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在与点不同的定点使得恒成立?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由。‎ ‎2018—2019学年度上学期联考试卷 高二数学(理科)试卷参考答案 ‎ 一、选择题 ‎1. C 2.A 3.C 4. A 5. D 6. C 7. D 8. B 9. D 10. C 11. C 12. B 二.填空题 ‎13. 14. 15. 16. 15‎ 三、解答题:‎ ‎17.(Ⅰ)正弦定理…………………………2分 ‎ 得…………………………4分 ‎(Ⅱ)因为,且 ‎ 所以,…………………………5分 ‎ 由余弦定理得…………………………7分 ‎ 所以…………………………10分 ‎18.(Ⅰ)当时,得,则…………………………2分 ‎ 当时,无解…………………………4分 ‎ 当时,得,则 综上…………………………6分 ‎(Ⅱ).…………………………7分 当时,‎ ‎…………………………9分 则,所以…………………………12分 ‎19. (Ⅰ)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,所以∠ADC=∠BCD=120°.‎ 又CB=CD,所以∠CDB=30°.因此∠ADB=90°,即AD⊥BD. …………………………3分 又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE,AD⊂平面AED,‎ 所以BD⊥平面AED. …………………………6分 ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AD⊥BD,所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD,‎ 因此CA,CB,CF两两垂直.‎ 以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴, ‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CB=1,‎ 则C(0,0,0),B(0,1,0),D(,-,0),F(0,0,1) …………………………8分 因此=(,-,0),=(0,-1,1).‎ 设平面BDF的一个法向量为=(x,y,z),‎ 则·=0,·=0.‎ 所以x=y=z 取z=1,则=(,1,1) …………………………10分 由于=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量,‎ 则cos〈,〉==.‎ 所以二面角F-BD-C的余弦值为…………………………12分 ‎(20)(Ⅰ)当时,…………………………2分 当时,符合上式 所以.…………………………3分 则,得 所以…………………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得…………………………8分 两式作差…………………………12分 ‎21、(Ⅰ)由题知,当轴时,不满足题意…………………………1分 设,,直线 ‎,…………………………3分 所以,又,所以 所以直线方程为…………………………6分 ‎(Ⅱ) 设,,弦中点为 则,当直线的斜率存在时,…………………8分 所以,又…………………………9分 即…………………………11分 当轴时,满足题意,‎ 所以弦的中点的轨迹方程…………………………12分 ‎22. (Ⅰ)由已知可得,椭圆经过点,‎ 因此,,解得,‎ 所以椭圆方程为;…………………………4分 ‎(Ⅱ)当直线平行于轴时,设直线与椭圆相交于两点,如果存在点满足条件,则有,即,‎ 所以点在轴上,可设点的坐标为;…………………………5分 当直线与轴垂直时,设直线与椭圆相交于两点,‎ 则的坐标分别为,,‎ 由,有,解得或。‎ 所以,若存在不同于点的定点满足条件,则点坐标只可能为……………6分 下面证明:对任意直线,均有。‎ 当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立。‎ 当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,,,‎ 联立,得,‎ 其判别式,‎ 所以,,,…………………………8分 因此。‎ 又因为点关于轴对称的点的坐标为,‎ 又,‎ ‎,‎ 所以,即三点共线,…………………………9分 所以,‎ 故存在与点不同的定点,使得恒成立。……………………12分
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