数学理卷·2017届湖北省荆州市高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届湖北省荆州市高三上学期期末考试（2017

‎2016-2017学年度上学期期末考试 高中三年级数学试题（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分为试题卷［含选择题和非选择题］和答题卡［含填涂卡和答题框］两大部分。满分共150分。考试时间120分钟。‎ ‎２．考生在答题前，请先将自已的姓名．班级．学号及考号填在答题卡密封线内的指定的地方。‎ ‎３．选择题的答案选出后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标涂黑。非选择题请在答题卡指定的地方做答，本试卷上作答无效。‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若集合，，则等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．计算 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则的值为 ‎ A．1/2 B．2 C． D．-2‎ ‎4．设命题，则为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎5．已知实数，满足，其中，则实数的最小值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．设向量若与不共线，且，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数，把函数的图象向右平移个单位得函数的图象，则下面结论正确的是 ‎ A．函数是奇函数 B．函数在区间上是增函数 ‎ C．函数的最小正周期是 D．函数的图象关于直线对称 ‎8．在一球面上有三点，如果，球心O到平面ABC的距离为3，则球O的表面积为 ‎ A． B． C． D．‎ 输入 开 始 输入的值 是 输出 结 束 否 ‎9．右边程序框图的算法思路，源于我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的秦九韶算法，执行该程序框图，若输入的分别为，且，则输出的=‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎10．某三棱锥的三视图如上图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．已知分别为双曲线的中心和右焦点，点分别在的渐近线和右支，，轴，且，则的离心率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设定义在的函数的导函数是，且，，则时，‎ ‎ A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 ‎ ‎ C．既无极大值，又无极小值 D．既有极大值，又有极小值 ‎第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．正中，在方向上的投影为，且,则________.‎ ‎14．已知数列的前项和为，且满足，设，则数列的通项公式为________.‎ ‎15．在三棱锥中，与都是边长为6的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的面积为________.‎ ‎16．若函数为奇函数，则________.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分12分）‎ ‎ 已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC ‎ （Ⅰ）求∠A的大小；‎ ‎ （Ⅱ）若f（x）＝，求f（B）的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分分）‎ 已知等差数列的前项和为，且，数列满足 ‎ .‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，且数列的前项和为，求.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝3，AA1＝3，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；‎ ‎（Ⅱ）若OC＝OA，求二面角A1－AC－B的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分分）‎ 已知抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的准线与轴交于点，的面积为，以点为圆心的圆过点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线和圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若斜率为的直线与圆相切，且与抛物线交于两点，求的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知，函数，曲线与轴相切．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的极坐标方程是．记射线：与分别交于点，，与交于点，求的长．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎2016-2017学年度上学期期末考试 高三数学试题（理）答案 评分说明：‎ ‎1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：每小题5分，满分60分． ‎ ‎1.A 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.C 10.C 11.D 12.C ‎12.简解： ，设，‎ ‎ 则 ‎，所以，‎ 即，因此在既无极大值，又无极小值.‎ 二、填空题：每小题5分，满分20分． ‎ ‎ 13. 14. 15. 60π 16. 1 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．解：（1）因为 由正弦定理有 即有.‎ 由余弦定理得， …………6分 ‎（2）由题，，‎ 且在锐角中，，，，‎ 的取值范围是.…………12分 ‎18. 本小题满分12分 解：（Ⅰ）设数列的公差为，‎ 则 由（1）得， 2分 由（2）得，联立得， 3分 所以. 4分 易知， 5分 当时，又，‎ 两式相除得， 7分 满足上式，所以. 8分 ‎（Ⅱ），， 10分 ‎， 11分 因此. 12分 ‎19.（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）证明：由题意tan∠ABD＝＝，tan ∠AB1B＝＝，‎ ‎0<∠ABD，∠AB1B<，∠ABD＝∠AB1B，‎ ‎∠ABD＋∠BAB1＝∠AB1B＋∠BAB1＝，AB1⊥BD …………………2分 又CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊥CO． …………………3分 又BD与CO交于点O，AB1⊥平面CBD， …………………4分 又BC⊂平面CBD，BC⊥AB1． …………………5分 ‎（Ⅱ）如图，以O为原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，． ‎ ‎，，． …………………7分 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则，即， ‎ 令x＝1，可得n＝(1，，－)是平面ABC的 一个法向量． …………………9分 设平面A1AC的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则，即， ‎ 令x＝2，可得m＝(2，－，)是平面A1AC的一个法向量．…………………10分 设二面角A1－AC－B的平面角为α，则 二面角A1－AC－B的余弦值为． …………………12分 ‎20. 本小题满分12分 解法一：（Ⅰ）如图，, 1分 由得，圆半径， 3分 所以抛物线，圆. 4分 ‎（Ⅱ）解法一：设直线，‎ 则，即，①‎ 联立得，， 5分 由①知，即 6分 所以方程有两个实数根，且 7分 点，‎ ‎ 11分 因为，所以的取值范围是. 12分 解法二：设直线，则，即，①‎ 联立得，， 5分 由①知，即 6分 所以方程有两个实数根，且 7分 点，‎ ‎ 11分 因为，所以的取值范围是. 12分 ‎21. 本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）设切点为，， 依题意即 解得 3分 所以，． 当变化时，与的变化情况如下表： 所以在上单调递增，在上单调递减． 5分 （Ⅱ）存在，理由如下： 6分 等价于或 令，， 则，， ①若， 当时，，，所以； 当时，，，所以， 所以在单调递减区间为，单调递增为， 又，所以，当且仅当时，， 从而在上单调递增，又 ‎， 所以或即成立． 9分 ②若，因为， ， 所以存在，使得，因为在单调递增， 所以当时，，在上递增， 又，所以当时，， 从而在上递减，又，所以当时，， 此时不恒成立； 11分 ③若，同理可得不恒成立． 综上所述，存在实数． 12分本小题满分12分 请考生在第（22）,（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．‎ ‎22. 选修；坐标系与参数方程 本小题考查极坐标方程和参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．‎ 解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为，‎ 令代入的普通方程，‎ 得的极坐标方程为，即． 5分 ‎（Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以．‎ 在的极坐标方程中令，得，所以．‎ 所以． 10分 ‎23. 选修：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解：（Ⅰ），‎ 当时，，即，所以；‎ 当时，，即，所以；‎ 当时，，即，所以；‎ 综上，不等式的解集为． 5分 ‎（Ⅱ）‎ 令，当直线经过点时，，‎ 所以当即时成立；‎ 当即时，令，得，‎ 所以，即，‎ 综上或． 10分 解法二：（Ⅰ）同解法一． 5分 ‎（Ⅱ）设 因为对任意，都有成立，所以．‎ ① 当时，，‎ ② 所以 所以，符合．‎ ③ ‎②当时，，‎ ④ 所以 所以，符合．‎ ⑤ 综上，实数的取值范围是． 10分