【数学】安徽省黄山市2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【数学】安徽省黄山市2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

安徽省黄山市2019-2020学年高二下学期期末考试（理）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1. 在复平面内，复数(其中为虚数单位)，则的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 ‎ C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2. 已知函数的导函数为，若，则的大小关系不可能为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3. 下列说法正确的是 ‎①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高；‎ ‎②在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大；‎ ‎③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加0.2个单位；‎ ‎④越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好。‎ A. ①②③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④‎ ‎4. 利用反证法证明命题“若，则”，以下假设正确的是 ‎ A. 都不为0 B. 不都为0‎ C. 都不为0，且     D. 至少有一个为0‎ ‎5. 正弦函数在上的图像与轴所围成曲边梯形的面积为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6. 袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙两人按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是 A. B. C. D. ‎7. 若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 A. 180 B. 120 C. 90 D. 45‎ ‎8. 在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A．72 B．60 C．36 D．30‎ ‎9. 求的值时，可采用如下方法：令，则，两边同时平方，得， 解得（负值已舍去），类比以上方法，可求得的值等于 A. B.    C.   D.   ‎10.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,502)．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为 ‎(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974)‎ A. 0.9544 B. 0.6826 C. 0.9974 D. 0.9772‎ ‎11.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为 A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎12.已知数列满足，则当时，下列判断一定正确的是 A． B． ‎ C． D．‎ 第II卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. )‎ ‎13.某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是，则 在这段时间内吊灯能照明的概率是 ．‎ ‎14.已知随机变量,则当时, = ．‎ ‎15.已知关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）有如下的统计资料：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ 由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用时，该设备必须报废，据此模型预报该设备最多可使用 年（取整数）.‎ ‎16.已知函数，若函数的图象与轴有且只有两个不同的交点，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时,发现以下三个式子均是正确的:①;②;③.‎ ‎（1）已知∈(1.41,1.42), ∈(1.73,1.74), ∈(2.23,2.24),请从以上三个式子中任选一个,结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算)；‎ ‎（2）请将此规律推广至一般情形,并加以证明.‎ ‎18.（本小题满分分）‎ 某单位组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下： ‎ 学习活跃的员工人数 学习不活跃的员工人数 甲 ‎18‎ ‎12‎ 乙 ‎32‎ ‎8‎ ‎（1）根据表中数据判断能否有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关； ‎ ‎（2）活动第二周，单位为检查学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？说明理由。‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：，，.‎ ‎19. （本小题满分分）‎ 已知函数在处取得极值.‎ ‎（1）求和的值以及函数的极大值和极小值;‎ ‎（2）过点作曲线的切线,求此切线的方程.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 为虚数单位，是虚数, 是实数,且,.‎ ‎（1）求及的取值范围；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎21.（本小题满分分）‎ ‎2019年10月，工信部颁发了国内首个无线电通信设备进网许可证，标志着基站设备将正式接入公用电信商用网络.某手机生产商拟升级设备生产手机，有两种方案可供选择，方案1：直接引进手机生产设备；方案2：对已有的手机生产设备进行技术改造，升级到手机生产设备.该生产商对未来手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟，得到如下统计表：‎ 市场销售状态 畅销 平销 滞销 市场销售状态概率 预期年利润数值（单位：亿元）‎ 方案1‎ ‎70‎ ‎40‎ ‎-40‎ 方案2‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎-10‎ ‎（1）以预期年利润的期望值为依据，就的取值范围，讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级？‎ ‎（2）设该生产商升级设备后生产的手机年产量为万部，通过大数据模拟核算，选择方案1所生产的手机年度总成本（亿元），选择方案2所生产的手机年度总成本为（亿元）.已知，当所生产的手机市场行情为畅销、平销和滞销时，每部手机销售单价分别为0.8万元，‎ ‎（万元），（万元），根据（1）的决策，假设生产的手机全部售尽，求该生产商所生产的手机年利润期望的最大值？并判断这个最大值能否超过预期年利润的数值.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（1）若，讨论的单调性；‎ ‎（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B D B A B A B B D A C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. )‎ ‎13. 14. 15. 9 16. ‎ 三、解答题（本大题共小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：（1）验证①式成立：∵<1.74，∴<2.74.‎ ‎∵>1.41，∴>2.82，∴. ……………………………………4分 说明：若用分析法证明（不用近似计算），也认为是对的。‎ ‎（2）一般结论为:若n∈N*，则. ………………………………6分 证明如下：‎ 要证，只需证，‎ 即证 ，即证，‎ 只需证，即证0<1，显然成立，‎ 故. ……………………………………………………………10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（1）， …………………………………………3分 因为，所以没有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关； …………6分 ‎ ‎（2）设事件为“第二周从乙部门随机抽取2人，这两人学习都不活跃”，若第二周保持第一周的活跃情况，则， ………………………………9分 因为很小,所以事件一般不容易发生,现在发生了,则说明学习不活跃的人数增加了,即活跃率降低了. ………………………………………………………………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：（1），由题意可知是方程的两根，可得， ………………………………………… ……………………………3分 所以，时，，时，，时，，在处取得极大值2，在处取得极小值-2； ………………………………………… ……………………………6分 ‎（2）易知点不在曲线上，设切点坐标为，则有 ‎，解得， ………………………………………9分 所以切线的斜率为9，切线的方程为 ………………………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（1），因为是实数,‎ 所以,又,所以,所以. …………………4分 因为,且,所以. ……………………………6分 ‎（2）由题意知, …………………………………………8分 所以 ‎,当且仅当时,等号成立,‎ 所以的最小值为1 ……………………………………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎（1）由，可得的取值范围为. …………………………2分 方案1的预期年利润期望值为 ‎.‎ 方案2的预期年利润期望值为 ‎. ………………………………4分 当时，，该手机生产商应该选择方案1；‎ 当时，，该手机生产商可以选择方案1，也可以以选择方案2；‎ 当时，，该手机生产商应该选择方案2； ……………………6分 ‎（2）因为，该手机生产商将选择方案1，此时生产的手机的年度总成本为（亿元）. …………………………………………7分 市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为，，（亿元），因为，所以手机生产商年销售额的分布列为 ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ 所以 ‎. ………………………………………………………………………9分 年利润期望值（亿元）.‎ 当时，年利润期望取得最大值40亿元. ……………………………11分 又方案1的预期年利润期望值为（亿元）.‎ 因为，因此这个年利润期望的最大值超过了预期年利润的数值. …………12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 解：（1）因为，所以．‎ 所以． ………………………………2分 当时，由得；由得．故在上单调递减，在上单调递增．‎ 当时，由得；由得．故在上单调递减，在上单调递增 综上可知，当时在上单调递减，在上单调递增；当时 在上单调递减，在上单调递增． ……………………………………5分 ‎（2）若，不等式转化为当时，恒成立．‎ 令，则．‎ 令，则．‎ ‎①当时，对任意，恒有，所以在上单调递增，所以，所以不合题意．……………………………7分 ‎②当时，因为，所以，所以，即，‎ 所以在上单调递减，所以，即，‎ 所以在上单调递减，所以，所以符合题意 …9分 ‎③当时，令，解得，令，解得．所以在上单调递增．所以，即，所以在上单调递增，所以当时，，‎ 故不合题意． ………………………………………………………………11分 综合①②③可知，实数的取值范围是． ……………………………12分