数学卷·2018届黑龙江省七台河市高二上学期期末数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届黑龙江省七台河市高二上学期期末数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017 学年黑龙江省七台河市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．若甲、乙、丙三组人数分别为 18，24，30，现用分层抽样方法从甲、乙、丙三 组中共抽取 12 人，则在乙组中抽取的人数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在区间（﹣1，2）中任取一个数 x，则使 2x＞3 的概率为（ ） A． B． C． D． 3．设函数 f（x）=cosx+2sinx，则 f′（ ）=（ ） A．﹣ B． C． D．﹣ 4．某公司 13 个部门接受的快递的数量如茎叶图所示，则这 13 个部门接受的快递 的数量的中位数为 ． 5．“﹣1≤x≤2”是“x2﹣x﹣2=0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．冲要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若过椭圆 + =1 的上顶点与右焦点的直线 l，则该椭圆的左焦点到直线 l 的 距离为（ ） A．1 B． C． D．2 7．若椭圆 +y2=1 的左、右焦点恰好是双曲线 ﹣y2=1 的左、右顶点，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．抛物线 y2=2x 的焦点为 F，点 P 在抛物线上，点 O 为坐标系原点，若|PF|=3， 则|PO|等于（ ） A． B．3 C． D．4 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A．10 B．17 C．24 D．26 10．设命题 p： ∃ x0 ∈ （0，+∞），lnx0=﹣1． 命题 q：若 m＞1，则方程 x2+my2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆． 那么，下列命题为真命题的是（ ） A．￢q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧q D．p∧（￢q） 11．已知某 8 个数的平均数为 5，方差为 2，现又加入一个新数据 5，此时这 9 个 数的平均数为 ，方差为 S2，则（ ） A． B． C． D． 12．若函数 f（x）=lnx+ （a ∈ N）在（1，3）上只有一个极值点，则 a 的取值个 数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．命题“ ∀ x ∈ R，x2≤1”的否定是 ． 14．某商品在 5 家商场的售价 x（元）和销售量 y（件）之间的一组数据如下表所 示： 价格 x（元） 9 9.5 10 10.5 11 销售量 y（件） 11 a 8 6 5 由散点图可知，销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是 =﹣3.2x+4a，则 a= ． 15．函数 y=（x2﹣3）ex 的单调减区间为 ． 16．已知点 F 是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，且过点 F 的直线 y=2x ﹣4 与此双曲线只有一个交点，则双曲线的方程为 ． 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10 分）已知 p：（x+2）（x﹣2）≤0．q：x2﹣3x﹣4≤0，若 p∧q 为假，p ∨q 为真．求实数 x 的取值范围． 18．（12 分）某工厂对 200 个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单 位：h）可以把这一批电子元件分成第一组[100，200]，第二组（200，300]，第 三组（300，400]，第四组（400，500]，第五组（500，600]，第六组（600，700]， 由于工作不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表： 分组 [100， 200] （200， 300] （300， 400] （400， 500] （500， 600] （600， 700] 频数 B 30 E F 20 H 频率 C D 0.2 0.4 G I （1）求图 2 中的 A 及表格中的 B，C，D，E，F，G，H，I 的值； （2）求图中阴影部分的面积． 19．（12 分）已知双曲线 M： ﹣ =1 的一个焦点是抛物线 N：y=2px（p＞0） 的焦点 F． （1）求抛物线 N 的标准方程； （2）设双曲线 M 的左右顶点为 C，D，过 F 且与 x 轴垂直的直线与抛物线交于 A， B 两点，求 • 的值． 20．（12 分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度 t 满足：27℃≤t ≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试 验．现有关于该地区 10 月份历年 10 月份日平均最高温度和日平均最低温度（单 位：℃）的记录如下： （Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期． （Ⅱ）设该地区今年 10 月上旬（10 月 1 日至 10 月 10 日）的最高温度的方差和最 低温度的方差分别为 D1，D2，估计 D1，D2 的大小？（直接写出结论即可）． （Ⅲ）从 10 月份 31 天中随机选择连续三天，求所选 3 天每天日平均最高温度值 都在[27，30]之间的概率． 21．（12 分）已知椭圆 M： + =1（a＞b＞0）的离心率 e= ，点（ ， ） 在椭圆上． （1）求椭圆 M 的标准方程； （2）斜率为 1 的直线 l，交椭圆 M 于不同的点 A，B 两点，若以线段 AB 为直径的 圆经过原点 O．求直线 l 的方程． 22．（12 分）已知函数 f（x）=alnx+x2 （a 为实常数）． （1）当 a=﹣4 时，求函数 f（x）在[1，e]上的最大值及相应的 x 值； （2）当 x ∈ [1，e]时，讨论方程 f（x）=0 根的个数． 2016-2017 学年黑龙江省七台河市高二（上）期末数学试 卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．若甲、乙、丙三组人数分别为 18，24，30，现用分层抽样方法从甲、乙、丙三 组中共抽取 12 人，则在乙组中抽取的人数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】分层抽样方法． 【分析】用样本容量乘以乙组所占的比例，即得乙组中应抽取的人数． 【解答】解：乙组人数所占的比例为 = ，样本容量为 12， 故乙组中应抽取的人数为 12× =4， 故选：B 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应 的样本数之比，属于基础题 2．在区间（﹣1，2）中任取一个数 x，则使 2x＞3 的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】几何概型． 【分析】本题是几何概型的考查，只要利用区间长度的比即可求概率． 【解答】解：由 2x＞3，解得：x＞ ， 故满足条件的概率是： p= = ， 故选：A． 【点评】本题考查了几何概型的概率求法，是一道基础题． 3．设函数 f（x）=cosx+2sinx，则 f′（ ）=（ ） A．﹣ B． C． D．﹣ 【考点】导数的运算． 【分析】求函数的导数，利用代入法进行求解即可． 【解答】解：∵f（x）=cosx+2sinx， ∴f′（x）=﹣sinx+2cosx， 则 f′（ ）=﹣sin +2cos =﹣ +2× = ， 故选：B 【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据条件求函数的导数是解决本题的 关键． 4．某公司 13 个部门接受的快递的数量如茎叶图所示，则这 13 个部门接受的快递 的数量的中位数为 10 ． 【考点】茎叶图． 【分析】利用茎图的性质和中位数的定义直接求解． 【解答】解：由茎叶图的性质得： 某公司 13 个部门接受的快递的数量按从小到大的顺序排的第 7 个数为中位数， ∵第 7 个数是 10， ∴这 13 个部门接收的快递的数量的中位数为 10． 故答案为：10． 【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的 性质和中位数的定义的合理运用． 5．“﹣1≤x≤2”是“x2﹣x﹣2=0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．冲要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】解方程，求出方程的根，根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由 x2﹣x﹣2=0，解得：x=2 或 x=﹣1， 故“﹣1≤x≤2”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件， 故选：B． 【点评】本题考查了充分必要条件的定义，考查集合的包含关系，是一道基础题． 6．若过椭圆 + =1 的上顶点与右焦点的直线 l，则该椭圆的左焦点到直线 l 的 距离为（ ） A．1 B． C． D．2 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由椭圆 + =1，可得 a，b，c．可得：上顶点，右焦点，则可得直线 l 的方程，利用点到直线的距离公式即可得出． 【解答】解：由椭圆 + =1，可得 a=2，b= ，c= =1． 可得：上顶点（0， ），右焦点（1，0）， 则直线 l 的方程为：x+ =1，即 x+y﹣ =0． 该椭圆的左焦点（﹣1，0）到直线 l 的距离= = ． 故选：C． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题． 7．若椭圆 +y2=1 的左、右焦点恰好是双曲线 ﹣y2=1 的左、右顶点，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由椭圆 +y2=1，可得半焦距=2，可得椭圆 +y2=1 的左、右焦点，即双 曲线 ﹣y2=1（不妨设 a＞0）的左、右顶点，进而得出离心率． 【解答】解：由椭圆 +y2=1，可得半焦距= =2， ∵椭圆 +y2=1 的左、右焦点恰好是双曲线 ﹣y2=1（不妨设 a＞0）的左、右顶 点， ∴a=2，其半焦距 c= = ． ∴双曲线的离心率= ． 故选：D． 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题． 8．抛物线 y2=2x 的焦点为 F，点 P 在抛物线上，点 O 为坐标系原点，若|PF|=3， 则|PO|等于（ ） A． B．3 C． D．4 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，设出 P 的坐标，运用抛物线的定义，可 得|PF|=d（d 为 P 到准线的距离），求出 P 的坐标，即可得到所求值． 【解答】解：抛物线 y2=2x 的焦点 F（ ，0），准线 l 为 x=﹣ ， 设抛物线的点 P（m，n）， 则由抛物线的定义，可得|PF|=d（d 为 P 到准线的距离）， 即有 m+ =3， 解得，m= ， ∴P ， ）， ∴|PO|= 故选 A． 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查运算能力，属于基础题． 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A．10 B．17 C．24 D．26 【考点】程序框图． 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可得到结论． 【解答】解：第一次，S=2， i=3， ⇒ S=5， i=5， ⇒ S=10， i=7， ⇒ S=17， i=9， ⇒ S=26， i=11＞10，程序终止， 输出 S=26， 故选：D 【点评】本题主要考查程序框图的计算，根据查询进行模拟计算是解决本题的关 键． 10．设命题 p： ∃ x0 ∈ （0，+∞），lnx0=﹣1． 命题 q：若 m＞1，则方程 x2+my2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆． 那么，下列命题为真命题的是（ ） A．￢q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧q D．p∧（￢q） 【考点】复合命题的真假． 【分析】分别判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假的关系进行判断即可． 【解答】解：当 x0= 时，lnx0=﹣1 即： ∃ x0 ∈ （0，+∞），lnx0=﹣1，故命题 p 是真 命题， 方程 x2+my2=1 的标准方程为 x2+ =1， 当 m＞1，则 0＜ ＜1，则方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，故命题 q 是真命题， 则 p∧q 为真命题， 故选：C 【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据条件判断 p，q 的真假是解决本题 的关键． 11．已知某 8 个数的平均数为 5，方差为 2，现又加入一个新数据 5，此时这 9 个 数的平均数为 ，方差为 S2，则（ ） A． B． C． D． 【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数． 【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解． 【解答】解：∵某 8 个数的平均数为 5，方差为 2，现又加入一个新数据 5， 此时这 9 个数的平均数为 ，方差为 S2， ∴ = =5， = ， 故选 A． 【点评】本题考查平均数和方差的计算公式的应用，是基础题．解题时要认真审 题，仔细解答． 12．若函数 f（x）=lnx+ （a ∈ N）在（1，3）上只有一个极值点，则 a 的取值个 数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】求出函数的导数，由函数的零点存在定理可得 f′（1）f′（3）＜0，进而验 证 a=4 与 a= 时是否符合题意，即可求答案． 【解答】解：f（x）的导数为 f′（x）= ﹣ ， 当 f′（1）f′（3）＜0 时，函数 f（x）在区间（1，3）上只有一个极值点， 即为（1﹣ a）（ ﹣ a）＜0， 解得 4＜a＜ ； 当 a=4 时，f′（x）= ﹣ =0，解得 x=1 ∉ （1，3）， 当 a= 时，f′（x）= ﹣ =0 在（1，3）上无实根， 则 a 的取值范围是 4＜a＜ ，且 a ∈ N，即为 a=5． 故选：A． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法的运用， 考查运算能力，属于中档题． 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．命题“ ∀ x ∈ R，x2≤1”的否定是 ∃ x ∈ R，x2＞1 ． 【考点】命题的否定． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可． 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即 ∃ x ∈ R，x2＞1， 故答案为： ∃ x ∈ R，x2＞1 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 14．某商品在 5 家商场的售价 x（元）和销售量 y（件）之间的一组数据如下表所 示： 价格 x（元） 9 9.5 10 10.5 11 销售量 y（件） 11 a 8 6 5 由散点图可知，销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是 =﹣3.2x+4a，则 a= 10 ． 【考点】两个变量的线性相关． 【分析】根据回归直线过样本中心点（ ， ），求出平均数，代入回归直线方程 求出 a 的值即可． 【解答】解：根据题意得， = =10， = = +6， 因为回归直线过样本中心点（ ， ）， 所以 +6=﹣3.2 +4a， 解得 a=10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了平均数的计算问题，也考查了回归直线过样本中心点的应用 问题，是基础题目． 15．函数 y=（x2﹣3）ex 的单调减区间为 （﹣3，1） ． 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可． 【解答】解：y′=（x+3）（x﹣1）ex， 令 y′＜0，解得：﹣3＜x＜1， 故函数在（﹣3，1）递减， 故答案为：（﹣3，1）． 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题． 16．已知点 F 是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，且过点 F 的直线 y=2x ﹣4 与此双曲线只有一个交点，则双曲线的方程为 ﹣ =1 ． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意可知，F（2，0），直线 y=2x﹣4 与双曲线的其中一条渐近线平行， 根据斜率之间的关系，即可求出 a，b 的值，即可求出答案． 【解答】解：由 2x﹣4=0，解得 x=2， ∴F（2，0）， ∵过点 F 的直线 y=2x﹣4 与此双曲线只有一个交点， ∴此直线与渐近线平行，渐近线方程为 y=± x， ∴ =2， 即 b=2a， 由 a2+b2=c2， 得 a2= ，b2= ， ∴双曲线的方程为 ﹣ =1， 故答案为： ﹣ =1 【点评】本题主要考查双曲线方程的计算，根据双曲线渐近线的性质建立条件关 系是解决本题的关键． 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10 分）（2016 秋•黑龙江期末）已知 p：（x+2）（x﹣2）≤0．q：x2﹣3x ﹣4≤0，若 p∧q 为假，p∨q 为真．求实数 x 的取值范围． 【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用． 【分析】若 p∧q 为假，p∨q 为真．则命题 p，q 一真一假，进而可得实数 x 的取 值范围． 【解答】解：解（x+2）（x﹣2）≤0 得：x ∈ [﹣2，2]， 故命题 p：x ∈ [﹣2，2]． 解 x2﹣3x﹣4≤0 得：x ∈ [﹣1，4]， 故命题 q：x ∈ [﹣1，4]， 若 p∧q 为假，p∨q 为真． 则命题 p，q 一真一假， 当 p 真 q 假时，x ∈ [﹣2，﹣1）， 当 p 假 q 真时，x ∈ （2，4]， 综上可得实数 x 的取值范围为：[﹣2，﹣1）∪（2，4]． 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次不等式的 解法等知识点，难度中档． 18．（12 分）（2016 秋•黑龙江期末）某工厂对 200 个电子元件的使用寿命进行 检查，按照使用寿命（单位：h）可以把这一批电子元件分成第一组[100，200]， 第二组（200，300]，第三组（300，400]，第四组（400，500]，第五组（500， 600]，第六组（600，700]，由于工作不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表： 分组 [100， 200] （200， 300] （300， 400] （400， 500] （500， 600] （600， 700] 频数 B 30 E F 20 H 频率 C D 0.2 0.4 G I （1）求图 2 中的 A 及表格中的 B，C，D，E，F，G，H，I 的值； （2）求图中阴影部分的面积． 【考点】频率分布表． 【分析】（1）根据频率=频数/总数，利用图中第一组的数据即得； （2）根据：“图中阴影部分的面积”即为 400～600 之间的概率值，从而解决问题 【解答】解：（1）由题意可知 0.1=A•100，∴A=0.001， ∵频率=频数/总数，∴0.1= ，∴B=20， ∴C=0.1，D=0.15，E=40，F=80，G=0.1， ∴H=10，I=0.05． （2）阴影部分的面积 0.4+0.1=0.5 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用 统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和 解决问题． 19．（12 分）（2016 秋•黑龙江期末）已知双曲线 M： ﹣ =1 的一个焦点是 抛物线 N：y=2px（p＞0）的焦点 F． （1）求抛物线 N 的标准方程； （2）设双曲线 M 的左右顶点为 C，D，过 F 且与 x 轴垂直的直线与抛物线交于 A， B 两点，求 • 的值． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】（1）先求出双曲线的右焦点为（4，0），再根据抛物线的定义求出 p 的 值， （2）根据（1）求出 C，D 的坐标，再根据 x=4 与抛物线求出 A，B 的坐标，根据 向量的数量积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵双曲线 M： ﹣ =1 中，a=3，c2=a2+b2=16， ∴c=4， ∴双曲线的右焦点为（4，0）， 由 =4，解得 p=8， ∴抛物线的方程为 y2=16x， （2）由（1）可得 C（﹣3，0），D（3，0）， 直线 x=4 与抛物线 y2=16x 交于点 A（4，8），B（4，﹣8）， ∴ =（﹣7，﹣8）， =（﹣1，8）， ∴ • =﹣7×（﹣1）﹣8×8=﹣57． 【点评】本题考查了抛物线和双曲线的性质和定义，以及向量的数量积公式，属 于基础题． 20．（12 分）（2016•宁城县一模）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高 温度 t 满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为 期十天的连续观察试验．现有关于该地区 10 月份历年 10 月份日平均最高温度和 日平均最低温度（单位：℃）的记录如下： （Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期． （Ⅱ）设该地区今年 10 月上旬（10 月 1 日至 10 月 10 日）的最高温度的方差和最 低温度的方差分别为 D1，D2，估计 D1，D2 的大小？（直接写出结论即可）． （Ⅲ）从 10 月份 31 天中随机选择连续三天，求所选 3 天每天日平均最高温度值 都在[27，30]之间的概率． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；收集数据的方法． 【分析】（Ⅰ）由关于该地区 10 月份历年 10 月份日平均最高温度和日平均最低 温度（单位：℃）的记录，得到农学家观察试验的起始日期为 7 日或 8 日． （Ⅱ）由图表得到 D1＞D2． （Ⅲ）基本事件空间可以设为Ω={（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…， （29，20，31）}，共计 29 个基本事件，由图表可以看出，事件 A 中包含 10 个基 本事件，由此能求出所选 3 天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率． 【解答】解：（Ⅰ）研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度 t 满足：27℃≤ t≤30℃）的生长状况， 由关于该地区 10 月份历年 10 月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃） 的记录， 得到农学家观察试验的起始日期为 7 日或 8 日．…． （Ⅱ）最高温度的方差大，即 D1＞D2． …． （Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件 A，…．（7 分） 则基本事件空间可以设为Ω={（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，（29， 20，31）}，共计 29 个基本事件…．（9 分） 由图表可以看出，事件 A 中包含 10 个基本事件，…．（11 分） 所以 ，…．（13 分） 所选 3 天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为 ． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意统计图表的性质、列举 法的合理运用． 21．（12 分）（2016 秋•黑龙江期末）已知椭圆 M： + =1（a＞b＞0）的离 心率 e= ，点（ ， ）在椭圆上． （1）求椭圆 M 的标准方程； （2）斜率为 1 的直线 l，交椭圆 M 于不同的点 A，B 两点，若以线段 AB 为直径的 圆经过原点 O．求直线 l 的方程． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）根据斜率公式以及点在椭圆上，即可求出 a2=3，b2= ，得到椭圆的 方程， （2）设直线 l 的方程为 y=x+m，将 y=x+m 代入 x2+4y2=3，并整理得 5x2+8xm+4m2 ﹣3=0，根据韦达定理以及由题意可得 ，即可得到关于 m 的方程，解得即 可． 【解答】解：（1）由 e2= =1﹣ ， ∴a=2b， 又点（ ， ）在椭圆上， ∴ + =1， ∴a2=3，b2= ， ∴椭圆的方程为 =1， （2）设直线 l 的方程为 y=x+m，将 y=x+m 代入 x2+4y2=3，并整理得 5x2+8xm+4m2 ﹣3=0， 则△=（8m）2﹣20（4m2﹣3）＞0，解得﹣ ＜m＜ ， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1+x2=﹣ ，x1x2= ， ∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2， 由题意可得 ， ∴ • =0， ∴x1x2+y1y2=0， ∴2x1x2+m（x1+x2）+m2=0， ∴2• +m•（﹣ ）+m2=0， 解得 m=± ，此时 m（﹣ ， ）， ∴直线 l 的方程为 y=x± 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解 题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量垂直的合理运用． 22．（12 分）（2016 秋•黑龙江期末）已知函数 f（x）=alnx+x2 （a 为实常数）． （1）当 a=﹣4 时，求函数 f（x）在[1，e]上的最大值及相应的 x 值； （2）当 x ∈ [1，e]时，讨论方程 f（x）=0 根的个数． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断． 【分析】（1）把 a=﹣4 代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把 给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最 大值及相应的 x 值； （2）把原函数 f（x）=alnx+x2 求导，分 a≥0 和 a＜0 讨论函数的单调性，特别是 当 a＜0 时，求出函数 f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最 小值和 F（e）的值的符号讨论在 x ∈ [1，e]时，方程 f（x）=0 根的个数． 【解答】解：（1）当 a=﹣4 时，f（x）=﹣4lnx+x2， 函数的定义域为（0，+∞）． ∴ 令 f'（x）=0 得， 或 舍去． ∵ 时，f'（x）＜0． ∴函数 f（x）在 上为减函数，在 上为增函数， 由 f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4， ∴函数 f（x）在[1，e]上的最大值为 e2﹣4，相应的 x 值为 e； （2）由 f（x）=alnx+x2，得 若 a≥0，则在[1，e]上 f′（x）＞0，函数 f（x）=alnx+x2 在[1，e]上为增函数， 由 f（1）=1＞0 知，方程 f（x）=0 的根的个数是 0； 若 a＜0，由 f′（x）=0，得 x= 或 x=﹣ （舍去） 若 ≤1，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2 在[1，e]上为增函数， 由 f（1）=1＞0 知，方程 f（x）=0 的根的个数是 0； 若 ≥e，即 a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2 在[1，e]上为减函数， 由 f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0， ∴方程 f（x）=0 在[1，e]上有 1 个实数根； 若 1＜ ＜e，即﹣2e2＜x＜﹣2， f（x）在[1， ）上为减函数，在[ ，e]上为增函数， 由 f（1）=1＞0，f（e）=e2+a． f（x）min=f（ ） =aln +（ ）2 = ． 当 ＜e，即﹣2e＜a＜﹣2 时，f（ ）＞0，方程 f（x）=0 的根的个数是 0； 当 a=﹣2e 时，方程 f（x）=0 在[1，e]上的根的个数是 1； 当﹣e2≤a＜﹣2e 时，f（ ）＜0，f（e）=a+e2≥0，方程 f（x）=0 的根的个 数是 2； 当﹣2e2＜a＜﹣e2 时 f（ ）＜0，f（e）=a+e2＜0，方程 f（x）=0 在[1，e]上 的根的个数是 1． 【点评】本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数 的判断，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数 求变量的取值范围，此题是有一定难度题目．