数学理卷·2018届山东省济南市高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届山东省济南市高三上学期期末考试（2018

‎2018年高三教学质量检测 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若复数（为虚数单位），则的共轭复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆面，中间有边长为的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.1，则在内取值的概率为（ ）‎ A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1‎ ‎5．已知直线的方程为，则“直线平分圆的周长”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．设和为双曲线的两个焦点，若点，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．记，则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C．129 D．2188‎ ‎8．定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设满足约束条件若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，，若则（ ）‎ A．有最小值-2，最大值2 B．有最大值2，无最小值 C．有最小值-2，无最大值 D．有最大值-2，无最小值 ‎11．某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．若关于的方程有三个不相等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值为 ．‎ ‎14．已知的内角的对边分别为，若，，，则的面积为 ．‎ ‎15．已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为 ．‎ ‎16．已知平面上的两个向量和满足，，且，，若向量，且，则的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17． 已知数列的前项和为，，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和.‎ ‎18． 如图，在三棱柱中，为边长为2的等边三角形，平面平面，四边形为菱形，，与相交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19． 基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验.某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：‎ 月份 ‎2017.8‎ ‎2017.9‎ ‎2017.10‎ ‎2017.11‎ ‎2017.12‎ ‎2018.1‎ 月份代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 市场占有率 ‎11‎ ‎13‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系；‎ ‎（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；‎ ‎（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的两款车型报废年限各不相同.考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：‎ 经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据.如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？‎ 参考数据：，，.‎ 参考公式：相关系数；‎ 回归直线方程为，其中，.‎ ‎20． 已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点.‎ ‎（1）求椭圆的方程和直线的斜率；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎21． 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数有两个零点，证明.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）曲线分别交直线和曲线于点，求的最大值及相应的值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数.若，使，求实数的取值范围.‎ ‎2018年济南市高三教学质量检测 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:BDBBB 6-10:CCDAC 11、12：AA 二、填空题 ‎13．0 14． 15．9 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由已知得，时，‎ 所以，‎ 又，∴，则，‎ ‎∴为等比数列，‎ 所以 ‎（2）有已知得，‎ 当为偶数时 当为奇数时，则为偶数 综上：‎ ‎18．解：（1）已知侧面是菱形，是的中点，‎ ‎∵，∴‎ 因为平面平面，且平面，‎ 平面平面，‎ ‎∴平面，∴‎ ‎（2）如图，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 由已知可得，，，‎ ‎∴，，，，‎ 设平面的一个法向量 ‎，，‎ 由，，得 ‎，可得 因为平面平面，，‎ ‎∴平面 所以平面的一个法向量是 ‎∴‎ 即二面角的余弦值是.‎ ‎19．解：（1）散点图如图所示 ‎，∴‎ ‎∴‎ ‎，‎ 所以两变量之间具有较强的线性相关关系，‎ 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.‎ ‎（2），‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴回归直线方程为.‎ ‎2018年2月的月份代码，∴，‎ 所以估计2018年2月的市场占有率为23%.‎ ‎（3）用频率估计概率，款单车的利润的分布列为 ‎∴（元）.‎ 款单车的利润的分布列为 ‎∴（元）‎ 以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择款车型.‎ ‎20．解：（1）将代入，得，‎ ‎，，‎ 椭圆方程为 设直线，，，的中点为 由得 ‎，，‎ 直线经过弦的中点，则，，‎ ‎，‎ ‎（2）当时，由得，，‎ 点到直线的距离，‎ 面积 设，‎ 则 求得，所以.‎ ‎21．解：（1）‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，得 都有，在上单调递减；‎ 都有，在上单调递增.‎ 综上：当时，在上单调递减，无单调递增区间；‎ 当时，在单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）函数有两个零点分别为，不妨设则 ‎，‎ 要证：‎ 只需证：只需证：‎ 只需证：‎ 只需证：‎ 只需证：‎ 令，即证 设，则，‎ 即函数在单调递减 则 即得 ‎22．解：（1）∵，∴直线的普通方程为：，‎ 直线的极坐标方程为.‎ 曲线的普通方程为，‎ ‎∵，，∴的参数方程为：‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，令，则 ‎，即；‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即时，取得最大值 ‎23．解：（1），‎ 即，∴或，‎ ‎∴或，故不等式的解集为 ‎（2）由题意可知：.‎ ‎∵‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴∴或.‎