2018-2019学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用复数的除法运算求出Z，进而求出z的模即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵（3﹣i）z＝1﹣i，‎ ‎∴zi，‎ 故|z|，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题．‎ ‎2．已知是虚数单位，若复数为纯虚数（， ），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得为纯虚数，所以，故。所以。选A。‎ ‎3．设为可导函数，，则在点（1，）处的切线斜率为（ ）‎ A．2 B．– 1 C．1 D．– 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据导数几何意义求切线斜率.‎ ‎【详解】‎ 函数在点处的切线的斜率为．选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.‎ ‎4．①已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设且；②设为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且.则（ ）‎ A．①的假设正确，②的假设错误 B．①的假设错误，②的假设正确 C．①与②的假设都错误 D．①与②的假设都正确 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据反证法的概念判断正误即可.‎ 详解：‎ 已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设或，故选项不合题意；‎ ‎②设为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且，是正确的.‎ 故答案为：B.‎ 点睛：这个题目考查了反证法的原理，反证法即将原命题的结论完全推翻，假设时取原命题结论的补集即可，注意在假设时将或变为且，且变为或，不都变为全都.‎ ‎5．若函数满足，则的值为( )‎ A．3 B．1 C．0 D．－1‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出 ，令x=1，求出后，导函数即可确定，再求．‎ ‎【详解】‎ ‎，令x=1，得 ，解得，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数公式的应用及函数值求解，属于基础题．‎ ‎6．下列积分值最大的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】对各个选项计算出被积函数的原函数，再将上下限代入即可得到结果，进行比较即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ A：，函数y=为奇函数，故，，‎ B:，‎ C:表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的，故，‎ D:，‎ 通过比较可知选项A的积分值最大，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 计算定积分的步骤：①先将被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式；②根据定积分的基本性质，变形；③分别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原函数；④利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数和(差)。‎ ‎7．设,则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意将替换为，然后和比较即可.‎ 详解：由题意将替换为，据此可得：‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查数学归纳法中由k到k+1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 （ ）‎ A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 ‎【答案】C ‎【解析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；‎ 若一名学生物理和历史都选，则有种组合；‎ 因此共有种组合.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.‎ ‎9．已知点在函数的图象上，则过点的曲线的切线方程是(　　)‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】由于点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上，‎ 则a=2,即y=2x3，‎ y′=6x2，‎ 设切点为(m,2m3),则切线的斜率为k=6m2，‎ 由点斜式得：y-2m3=6m2(x- m).‎ 代入点A（l，2）得,2-2m3=6m2(1-m).‎ 即有，.‎ 解得或，即斜率为6或 则过点A的曲线C:y=f(x)的切线方程是：‎ y−2=6(x−1)或y−2=(x−1)，‎ 即6x−y−4=0或3x−2y+1=0.‎ 故选D.‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎10．对于问题“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出一种解法：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为．思考上述解法，若关于的不等式的解集为 ，则关于的不等式的解集为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】关于的不等式的解集为，所以由可得，关于的不等式的解集与的解集相同，为，故选A.‎ ‎11．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，可得在上为减函数，可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，原不等式等价于或,从而可得的值范围.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设，‎ 其导数 ，‎ 又由当时，，‎ 则有 ，‎ 即函数在 上为减函数，‎ 又由，‎ 则在区间上，，‎ 又由，则，‎ 在区间上，，‎ 又由，则，‎ 则在和上，，‎ 又由为奇函数，则在区间和上，都有，‎ 或，‎ 解可得或，‎ 则的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.‎ ‎12．已知函数，若曲线上存在两点，这两点关于直线的对称点都在曲线上，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为与图像关于直线对称，所以只需与有两个交点，即方程有两个根，显然是其一个根，所以只需要在或上有一个根即可，即只需一解，令，则，令，则，当时， ， 时，所以当，‎ ‎，所以，所以时是减函数， 时是减函数，当，所以，故，选D．‎ 二、填空题 ‎13．曲线与曲线所围成的区域的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】联立方程组求出积分的上限和下限，结合积分的几何意义即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 由曲线y＝x与y＝2-x2，得2-x2=x，解得x＝-2或x＝1，‎ 则根据积分的几何意义可知所求的几何面积（2x-）‎ ‎＝== ；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定积分在求面积中的应用，属于基础题．‎ ‎14．已知，一元二次方程的一个根z是纯虚数，则 ‎___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设复数z＝bi，把z代入中求出b和m的值，再计算．‎ ‎【详解】‎ 由题意可设复数z＝bi，b∈R且b≠0，i是虚数单位，‎ 由z是的复数根，‎ 可得（bi）2﹣（2m-1）bi+＝0，‎ 即（﹣b2+1+）﹣（2m-1）bi＝0，‎ ‎∴ ，‎ 解得，，‎ ‎∴z＝i，z+m＝i ‎∴|z+m|＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数相等的概念和复数模长的计算，属于基础题．‎ ‎15．对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件，函数，计算=____‎ ‎【答案】2012‎ ‎【解析】求出二阶导数f″（x），再求出的拐点，即对称点，利用对称性可求值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴f′（x）＝3x2-3x+3，f″（x）＝6x-3，‎ 由f″（x）＝0得x＝，f（）＝＝1；‎ ‎∴它的对称中心为(,1)，则有f（x）+f（1﹣x）＝2．‎ ‎=[]+[]+…+[]‎ ‎＝2×1006＝2012．‎ 故答案为：2012．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的计算，考查新定义，解题关键是正确理解新概念，转化新定义．通过求出函数的拐点，得出对称中心，从而利用配对法求得函数值的和．‎ ‎16．如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，若数字195在第m行从左至右算第n个数字，则为_______.‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，每行中相邻的数字为连续正整数，由此结合等差数列的求和公式可得结果．‎ ‎【详解】‎ 由网格可知每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，由等差数列的求和公式可得前19行共有 个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第5个数字为195，‎ 故数字195在第20行从左至右第5个数字，即m=20,n=5,可得m+n=25,‎ 故答案为：25．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查合情推理、等差数列的前n项和，考查逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数（其中），且曲线在点处的切线垂直于直线.‎ ‎（1）求的值及此时的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间与极值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）a= ,； （Ⅱ）减区间为，增区间为；极小值为，无极大值..‎ ‎【解析】（Ⅰ）先求导函数，根据切线与直线垂直可得切线的斜率为k=-2.由导函数的意义代入即可求得a的值；代入函数后可求得，进而利用点斜式可求得切线方程。‎ ‎（Ⅱ）将a代入导函数中，令，结合定义域求得x的值；列出表格，根据表格即可判断单调区间和极值。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由于，所以， ‎ 由于 在点 处的切线垂直于直线，‎ 则 ，解得. ‎ 此时，‎ 切点为，所以切线方程为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则,‎ 令，解得或（舍），‎ 则的变化情况如下表，‎ ‎ ‎ ‎5‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 所以函数的减区间为，增区间为.‎ 函数的极小值为，无极大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像上点切线方程的求法，利用导函数研究函数的单调性与极值，属于基础题。‎ ‎18．已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若常数，求函数在区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）当时,；当时,.‎ ‎【解析】试题分析：（1）第一步：根据图形分析出两个重要的信息，过原点，并且在原点处的导数等于0，第二步，计算出图形与轴的令一个交点，求出被积区间，利用定积分求面积的公式写出定积分，最后计算出；（2）根据（1）求出，第一步：求函数的导数，第二步：求函数的极值点，和判断单调区间，第三步，根据区间，并极大值，并求出，因为，，所以分或两种情况进行讨论，得出最大值.‎ 试题解析：（1）由得， 2分 ‎.由得， 4分 ‎∴，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为从而得，∴. 8分 ‎（2）由（1）知.的取值变化情况如下：‎ ‎2‎ 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增 ‎ ‎ 又,①当时,；‎ ‎②当时,11分 综上可知：当时,；‎ 当时,12分 ‎【考点】1.待定系数法求解析式；2.导数与图像；3.导数与极值；4.导数求最值.‎ ‎19．（1）a、b、c、d∈R+,求证: ‎ ‎（2）已知a、b、c都是实数，求证：‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）运用分析法证明，要证原不等式成立，可两边平方，化简整理，再结合重要不等式即可得证.（2）根据重要不等式列出式子，将所列式子相加即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）要证不等式成立,‎ 只需证成立.‎ 即 即证成立.‎ ‎,只需证 即 即证成立.‎ ‎,‎ 即.‎ ‎（2）证明:，①‎ ‎，②‎ ‎，③‎ ‎，④‎ 由①＋②＋③＋④得：‎ ‎，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的证明，以及重要不等式的运用，证明常用方法有分析法，综合法和比较法，熟练掌握各种证明方法的解题步骤是解题的关键.‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）当时，若存在，使得对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性；（2）存在，使得对任意的都有恒成立，等价于，分别利用导数研究函数的单调性，并求出的最小值，解不等式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为的定义域为， .‎ ‎①当时，因为，，所以在上为增函数，；‎ ‎②当时，在上为减函数，在上为增函数，；‎ ‎③当时，在上为减函数， .‎ ‎（2）当时，若存在，使得对任意的都有恒成立，‎ 则.‎ 由（1）知，当时， .‎ 因为，令，则，‎ 令，得；令，得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，，所以在上单调递增.‎ 所以，则，‎ 解得，又，，‎ 所以，即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数最值，以及转化思想与分类讨论思想的应用，属于综合题. 分类讨论思想的常见类型 ‎ ‎⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ‎ ‎⑵问题中的条件是分类给出的； ‎ ‎⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ‎ ‎⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在，上的最大值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的零点的个数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）f（x）max＝9﹣4e-2.‎ ‎（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝（x﹣1）（ex+2），利用导数研究函数的单调性即可得出最值．‎ ‎（Ⅱ）令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex，讨论f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零点个数，即转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）ex的图象交点个数．画出函数g（x）＝（2﹣x）ex的图象大致如图．对a分类讨论即可得出a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有两个零点，当a<0时，对a分类讨论研究f(x)的图象的变化趋势得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，‎ 可得f′（x）＝2（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2），‎ 由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，‎ 即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，‎ 所以f（x）在[﹣2，1]单调递减，在[1，2]上单调递增，‎ 所以f（x）min＝f（1）＝﹣e，又f（﹣2）＝9﹣4e-2＞f（2）＝1‎ 所以f（x）max＝9﹣4e-2.‎ ‎（Ⅱ）讨论f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零点个数，令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex,转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与g（x）＝（2﹣x）ex的图象交点个数，由g（x）＝（2﹣x）ex，可得g′（x）＝（1﹣x）ex．由单调性可得：g（x）图象大致如右图：‎ 所以当a=0时，y＝a（x﹣1）2=0与g（x）＝（2﹣x）ex图象只有一个交点，‎ a＞0时，y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）ex有两个交点，‎ 当a<0时，f′（x）＝2a（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2a），‎ 当a=-时，f′（x）恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）递增，又f（1）=-e<0,‎ f（3）=-e3=-e3>0，此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.‎ 当a-时，f′（x）＝0的两根为1，ln(-2a),‎ 当10,‎ 此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.‎ 当1>ln(-2a)时，f（x）在（﹣∞， ln(-2a)）递增；在（ln(-2a),1）上递减，在（1，+∞）递增，又f(ln(-2a))= a[(ln(-2a)﹣1]2-2a[(ln(-2a)﹣2]=a[-4(ln(-2a)+5]<0,‎ 又f（1）=-e<0,同样有f（）>0,‎ 所以此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.‎ 综上当a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有两个零点 a≤0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数形结合方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎22．已知函数 （为常数）．‎ ‎（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若存在两个极值点，且，求的最大值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 。‎ ‎【解析】（1）根据在定义域上恒成立并结合二次函数的图象求解即可．（2）由（1）得极值点满足，且在上是减函数，去掉绝对值后可得，分别求出后进行化简可得，然后利用换元法可求得所求的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，，‎ ‎∴．‎ 设，，‎ ‎∵是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，‎ ‎∴在定义域上恒成立，即在上恒成立．‎ 又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，‎ ‎∴，或，‎ 解得.‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎（2）由（1）知函数的两个极值点满足，‎ ‎∴．‎ 不妨设，‎ 则在上是减函数，故，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 令，则，‎ 又，即，解得，‎ 故，‎ ‎∴．‎ 设，则，‎ ‎∴在上为增函数．‎ ‎∴，‎ 即．‎ 所以的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题时注意两点：（1）函数单调递增（减）等价于导函数大于（小于）等于零在给定区间上恒成立，解题时不要忘了等于零．（2）证明含有两个变量的不等式时，可考虑通过代换的方法将不等式转为只含有一个变量的不等式进行证明，证明不等式时通过构造函数并求出函数的最值来证是常用的方法．‎