数学理卷·2017届湖南省岳阳县一中高三下学期开学考试（2017

数学理卷·2017届湖南省岳阳县一中高三下学期开学考试（2017

‎2017年上学期岳阳县一中高三开学考试理科数学试题 命题人：周军才 审题人：李红霞 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).‎ ‎1．已知全集={1,2,3,4,5,6,7}，集合={1,3,7}，={，}，则=（ ）‎ ‎　 （A）{1,3} （B） {5,6} （C）{4,5,6} （D）{4,5,6,7}‎ ‎2．已知命题是简单命题，则“是假命题”是“是真命题”的（ ） ‎ ‎ （A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件 ‎（C） 充要条件 （D） 既不充分又不必要条件 ‎ ‎3．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 ，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎4．已知，则的大小关系是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5．函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） 2 （D） ‎ ‎6．已知成等差数列，成等比数列，则的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．已知实数，满足，其中，则实数的最小值为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎8．若满足，则关于的函数图象大致是（ 　　）‎ ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出v的值为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎10．如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线 画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） 4‎ ‎11．已知椭圆：的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎12．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D） （ ）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,满分20分．‎ ‎13．若函数为奇函数，则________.‎ ‎14．在△中，，，是边上的一点，且，‎ 则的值为_________.‎ ‎15．在平面直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积圆锥. 据此类比：将曲线与直线及轴、轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积________．‎ ‎16．已知数列的前项和为，，，数列 的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是__________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC ‎ （Ⅰ）求∠A的大小；‎ ‎ （Ⅱ）若f（x）＝，求f（B）的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分分）‎ 某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.‎ ‎（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；‎ ‎（Ⅱ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为.若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率；‎ ‎（III）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望.‎ ‎19．（本小题满分分）‎ 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE＝ 2BF＝2，平面BFED⊥平面ABCD.‎ ‎（Ⅰ）求证： AD⊥平面BFED；‎ ‎（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎20．（本小题满分分）‎ 已知椭圆C1：＋＝1 (a>b>0)的离心率为,P(－2,1)是C1上一点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A、B、Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点,平行于AB的直线l与C1相交于不同于P、Q的两点C、D,点C关于原点的对称点为E. 证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．‎ ‎21．（本小题满分分）‎ 已知，函数，曲线与轴相切．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号．‎ ‎22．（本小题满分分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），‎ 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ‎.‎ ‎（Ⅰ）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设是直线上任意一点，过作圆切线，切点为，求四边形面积的最小值. ‎ ‎23．（本小题满分分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x的不等式|x－3|＋|x－m|≥2m的解集为R．‎ ‎（Ⅰ）求m的最大值；‎ ‎（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝m, 求4a2＋9b2＋c2的最小值及此时a，b，c的值．‎ ‎2017年上学期岳阳县一中高三开学考试理科数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).‎ ‎1．已知全集={1,2,3,4,5,6,7}，集合={1,3,7}，={，}，则=（ A ）‎ ‎　 （A）{1,3} （B） {5,6} （C）{4,5,6} （D）{4,5,6,7}‎ ‎2．已知命题是简单命题，则“是假命题”是“是真命题”的（A ） ‎ ‎ （A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件 ‎（C） 充要条件 （D） 既不充分又不必要条件 ‎ ‎3．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 ，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎4．已知，则的大小关系是（ A ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5．函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ C ）‎ ‎（A） （B） （C） 2 （D） ‎ ‎6．已知成等差数列，成等比数列，则的值为（B）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎7．已知实数，满足，其中，则实数的最小值为（ D ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎8．若满足，则关于的函数图象大致是（B　　）‎ ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出v的值为（D ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎10．如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线 画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（B ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） 4‎ ‎11．已知椭圆：的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（D ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎12．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ B ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若函数为奇函数，则________.‎ 答案：1 ‎ ‎14．在△中，，，是边上的一点，且，‎ 则的值为_________.‎ 答案：4 ‎ ‎15．在平面直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积圆锥. 据此类比：将曲线与直线及轴、轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积________．‎ 答案 ‎ ‎16．已知数列的前项和为，，，数列 的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是__________.‎ ‎ 答案 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC ‎ （Ⅰ）求∠A的大小；‎ ‎ （Ⅱ）若f（x）＝，求f（B）的取值范围．‎ 解：（1）因为 由正弦定理有 即有.‎ 由余弦定理得， …………6分 ‎（2）由题，，‎ 且在锐角中，，，，‎ 的取值范围是.…………12分 ‎18．（本小题满分分）‎ 某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.‎ ‎（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；‎ ‎（Ⅱ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为.若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率；‎ ‎（III）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望.‎ 解：第六组有4人，频率为，故共有考生80人.‎ 第一组频率为0.20，第二组频率为0.15，第三组频率为0.35，‎ 第一、二、三组人数分别为16，12，28‎ 所以第四五组共有20人，又第四、五、六组的人数依次成等差数列 所以第四组有12人，第五组有8人，‎ 第四组频率为0.15，第五组频率为0.10‎ ‎.‎ 故的分布列如下 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 依题意，故.‎ ‎19．（本小题满分分）‎ 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE＝ 2BF＝2，平面BFED⊥平面ABCD.‎ ‎（Ⅰ）求证： AD⊥平面BFED；‎ ‎（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.‎ 解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，‎ ‎∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°,‎ ‎∴故 AB＝2，‎ ‎∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝3，‎ ‎∴AB2＝AD2＋BD2‎ ‎∴BD⊥AD，‎ ‎∵平面BFED⊥平面ABCD, 平面BFED∩平面ABCD＝BD，‎ ‎∴ AD⊥平面BFED. …5分 ‎（Ⅱ）∵AD⊥平面BFED∴AD⊥DE，‎ 以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，2)，F(0，，1)‎ ‎＝(0，，－1)，＝(－1，，0)，＝(－1，0，2)‎ 设＝λ＝(0，λ，－λ) (0≤λ≤1),‎ 则＝＋λ＝(－1，λ，2－λ) …7分 取平面EAD的一个法向量为n＝(0，1，0)，‎ 设平面PAB的一个法向量为m＝(x，y，z)，‎ 由·m＝0，·m＝0得：‎ 令y＝2－λ，得m＝(2－λ，2－λ,－λ)，‎ ‎…9分 ‎∵ 二面角A－PD－C为锐二面角，‎ ‎∴ cosám，nñ＝＝，‎ 解得λ＝ ，即P为线段EF靠近点E的三等分点. …12分 ‎20．（本小题满分分）‎ 已知椭圆C1：＋＝1 (a>b>0)的离心率为,P(－2,1)是C1上一点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A、B、Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点,平行于AB的直线l与C1相交于不同于P、Q的两点C、D,点C关于原点的对称点为E. 证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．‎ 解：（Ⅰ）由题意可得解得 故椭圆C的方程为＋＝1． …5分 ‎（Ⅱ）由题设可知A (－2，－1)、 B(2， 1)‎ 因此直线l的斜率为，设直线l的方程为：y＝x＋t.‎ 由得x2＋2tx＋2t2－4＝0．（Δ＞0）‎ 设C (x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－2t，x1·x2＝2t2－4 …7分 ‎∴kPD＋kPE＝＋ ‎＝ 而(y2－1)(2－x1) －(2＋x2) (y1＋1)‎ ‎＝2(y2－y1)－(x1 y2＋x2y1)＋x1－x2－4‎ ‎＝x2－x1－x1·x2－t (x1＋x2) ＋x1－x2－4‎ ‎＝－x1·x2－t (x1＋x2)－4‎ ‎＝－2t2＋4＋2t2－4‎ ‎＝0‎ 即直线PD、PE与y轴围成一个等腰三角形． …12分 ‎21．（本小题满分分）‎ 已知，函数，曲线与轴相切．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．‎ 解：（Ⅰ）设切点为，， ‎ 依题意即 解得 3分 所以，． 当变化时，与的变化情况如下表： 所以在上单调递增，在上单调递减． 5分 （Ⅱ）存在，理由如下： 6分 等价于或 令，， 则，， ①若， 当时，，，所以； 当时，， ，所以， 所以在单调递减区间为，单调递增为， 又，所以，当且仅当时，， 从而在上单调递增，又， 所以或即成立． 9分 ②若，因为， ‎ ‎， 所以存在，使得，因为在单调递增， 所以当时，，在上递增， 又，所以当时，， 从而在上递减，又，所以当时，， 此时不恒成立； 11分 ③若，同理可得不恒成立． 综上所述，存在实数． 12分本小题满分12分 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号．‎ ‎22．（本小题满分分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），‎ 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ‎.‎ ‎（Ⅰ）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设是直线上任意一点，过作圆切线，切点为，求四边形面积的最小值. ‎ 解：（1）圆的参数方程为（为参数），所以圆的普通方程为 ‎，由，得，‎ ‎∵，∴直线的直角坐标方程为.…… (5分)‎ ‎（2）圆心到直线：的距离为，‎ 由于是直线上任意一点，则，∴四边形面积 ‎ ∴四边形面积最小值为.…… (10分)‎ ‎23．（本小题满分分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x的不等式|x－3|＋|x－m|≥2m的解集为R．‎ ‎（Ⅰ）求m的最大值；‎ ‎（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝m, 求4a2＋9b2＋c2的最小值及此时a，b，c的值．‎ 解：（Ⅰ）因为|x－3|＋|x－m|≥|(x－3)－(x－m)|＝|m－3| …2分 当3≤x≤m,或m≤x≤3时取等号，‎ 令|m－3|≥2m，所以m－3≥2m，或m－3≤－2m． 解得m≤－3，或m≤1‎ ‎∴m的最大值为1 …5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）a＋b＋c＝1．‎ 由柯西不等式，(＋＋1)( 4a2＋9b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1， …7分 ‎∴4a2＋9b2＋c2≥，等号当且仅当4a＝9b＝c，且a＋b＋c＝1时成立．‎ 即当且仅当a＝，b＝，c＝时，4a2＋9b2＋c2的最小值为． …10分