2018-2019学年甘肃省临夏中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版
班级： 姓名： 学号： 考场：
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甘肃省临夏中学2018—2019学年第二学期期中考试卷
年级：高二 科目： 数学（理科） 座位号
一．选择题（共计10小题，每小题4分，计40分）
1. 已知函数 （ ）
A． B． C． D．
2.“复数z＝在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．若函数在点处的切线与垂直,则=( )
A．2 B．0 C． D．
4.= （ ）
A. B. C. D.
5．将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )
A．2160 B．720 C．240 D．120
6.若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7. 若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列
为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列的公比为( )
A. B．q2 C. D.
8.在不等边三角形中，为最大边，想要得到为钝角的结论，三边应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
9.用反证法证明命题：“若能被3整除，那么中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）
A．都能被3整除 B．都不能被3整除
C.不都能被3整除 D．都能被3整除
10.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，且g(－3)＝0，则不等式的解是（ ）．
A.(-3,3) B.(0,3) C.(－∞，－3) D.(－∞，－3)∪(0,3)．
二．填空题（共计4小题，每小题4分，计16分）
11．若复数z＝，则|＋3i|＝________.
12.曲线，则的导函数________
13．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
1)，第一步要证的不等式是_________．
14.如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是________．(填序号)
①f(x)在(－3,1)内是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(2,4)内是减函数，在(－1,2)内是增函数；
④x＝1是f(x)的极大值点．
三．解答题（共计5小题，计44分，每小题必须写出必要的推理过程和解答步骤）
15.（本小题计8分，每问4分）
1）若均为实数，且，
求证：中至少有一个大于0.
2）计算
16.（本小题计8分，每问4分）
1）设 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
2）已知函数，，且，比较和的大小
17．(本小题满分8分)若函数在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
18.（本小题计10分）
已知数列，，，，...，且为该数列的前n项和
1）写出数列的通项公式
2）计算，，，猜想的表达式，并用数学归纳法证明.
3）求数列的的取值范围.
19.（本小题计10分）
设函数，若在x＝1，x＝处取得极值.
1）求a，b的值；
2）若，使得不等式成立，求c的取值范围.
甘肃省临夏中学2018—2019学年高二第二学期期中数学考试卷
1.已知函数 （C ）
A． B． C． D．
2.“复数z＝在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A.z＝＝－a＝－a－3i在复平面内对应的点在第三象限，则a>0，可以判断“a>0”是“a≥0”的充分不必要条件.
3．若函数在点处的切线与垂直,则等于(D)
A．2 B．0 C． D．
4.= （ D ）
（A） （B） （C） （D）
5．将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()
A．2160 B．720 C．240 D．120
解析 分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．
6.若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
∵a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号．∴a＋b的最小值为4，选C.
7. 若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn
，则等比数列{}的公比为( )
A. B．q2 C. D.
[解析] 由题设有，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq.∴＝b1q，∴等比数列{}的公比为，故选C.
8.在不等边三角形中，为最大边，想要得到为钝角的结论，三边应满足的条件是（ C ）
A． B．
C． D．
9．用反证法证明命题：“若能被3整除，那么中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ B ）
A．都能被3整除 B．都不能被3整除
C.不都能被3整除 D．都能被3整除.
10． 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解是（ ）．
A.(-3,3) B.(0,3) C.(－∞，－3) D.(－∞，－3)∪(0,3)．
解析 设F(x)＝f(x)g(x)，由已知得，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
当x＜0时，F′(x)＞0，∴F(x)在(－∞，0)上为增函数．
又∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∴F(－x)＝f(－x)·g(－x)
＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，∴F(x)为奇函数．
∴F(x)在(0，＋∞)上也为增函数．又g(－3)＝0，∴F(－3)＝0，F(3)＝0.
∴f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．答案 (－∞，－3)∪(0,3)
11．若复数z＝，则|＋3i|＝________.
∵z＝＝＝－1＋i.∴＝－1－i，∴|＋3i|＝|－1＋2i|＝.
答案
12.曲线，则的导函数________
解析：选A.因为y′＝＝，
13．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)，第一步要证的不等式是__．
解析 当n＝2时，左边为1＋＋＝1＋＋，右边为2.故应填1＋＋<2
14.如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是_答案 ②③．(填序号)
①f(x)在(－3,1)内是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(2,4)内是减函数，在(－1,2)内是增函数；
④x＝1是f(x)的极大值点．解析 ①错，因在(－3，－1)上f′(x)＜0，
在(－1,1)上f′(x)＞0，故f(x)在(－3，－1)内是减函数，在(－1,1)内是增函数；
②正确，因f′(x)在(－3，－1)上为负，f′(－1)＝0，f′(x)在(－1,2)上为正；
③正确，因在(2,4)内f′(x)＜0，故f(x)在(2,4)内是减函数；
在(－1,2)内f′(x)＞0，故f(x)在(－1,2)内为增函数，
④错，f′(1)≠0，故x＝1不是极值点．答案 ②③
15.1）若均为实数，且，求证：中至少有一个大于0.（配套教师p79）
2）计算（配套教师p99）
16. 1）设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
【证明】 法一：（综合法）因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以1＝a＋b≥2.所以≤，ab≤，所以≥4.又＋＝（a＋b）＝2＋＋≥4，所以＋＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）.
法二：（分析法）因为a>0，b>0，a＋b＝1，要证＋＋≥8，
只要证＋≥8，只要证＋≥8，即证＋≥4.
也就是证＋≥4.即证＋≥2，由基本不等式可知，
当a>0，b>0时，＋≥2成立，所以原不等式成立.
2） 已知函数，，且，比较和的大小
17．(本小题满分14分)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
解 f′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，
且f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由f′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0.
∵x∈(1,4)，∴x－1∈(0,3)，∴a≥＝x＋1.又∵x＋1∈(2,5)，∴a≥5， ①
由f′(x)≥0得：x2－ax＋a－1≥0.∵x∈(6，＋∞)，∴x－1＞0，
∴a≤＝x＋1.又∵x＋1∈(7，＋∞)，∴a≤7， ②
∵①②同时成立，∴5≤a≤7.经检验a＝5或a＝7都符合题意．∴所求a的取值范围为5≤a≤7.
18.已知数列，，，，...，且为该数列的前n项和
1）写出数列的通项公式
2）计算，，，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。（课本p94）
3）求的取值范围。（）
19.设函数f（x）＝2ax－＋ln x，若f（x）在x＝1，x＝处取得极值.
（1）求a，b的值；
（2）若，使得不等式f（x0）－c≤0成立，求c的取值范围.
解：（1）因为f（x）＝2ax－＋ln x，所以f′（x）＝2a＋＋.
因为f（x）在x＝1，x＝处取得极值，所以f′（1）＝0，f′＝0.即解得所以所求a，b的值分别为－，－.
（2）在上存在x0使得不等式f（x0）－c≤0成立，只需c≥f（x）min，
由f′（x）＝－－＋＝－＝－.
所以当x∈时，f′（x）<0，f（x）是减函数；
当x∈时，f′（x）>0，f（x）是增函数；所以f是f（x）在上的最小值.而f＝＋ln＝－ln 2，所以c≥－ln 2.
所以c的取值范围为.
