2017-2018学年山东省临沂市第十九中学高二下学期第二次质量调研考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年山东省临沂市第十九中学高二下学期第二次质量调研考试数学（理）试题 Word版

临沂第十九中学 2017-2018 学年高二第二次调研考试（数学理） 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 最符合题目要求的.) 1．已知函数 的图象上一点(1,2)及邻近一点 ,则 等于( ) A. B. C. D. 2．设 则 等于( ) 3．曲线 在点 处的切线的斜率是( ) A. B. C. D.不存在 4．如果曲线 在点 处的切线方程为 ,那么( ) A. B. C. D.不存在 5．下列函数在点 处没有切线的是( ) A. B. C. D. 6．函数 的的单调递增区间是 ( ) A. B. C. D. 和 7．若函数 是定义在 R 上的可导函数,则 是 为函数 的极值点的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8．下列各式中值为 1 的是 ( ) A. B. C. D. 9．若函数 的图象的顶点在第四象限,则函数 的图象是( ) 2 1y x= + ( )1 2x, y+ ∆ + ∆ y x ∆ ∆ 2 2x 22 ( )x+ ∆ 2 x+ ∆ 1( ) ,f x x = ( ) ( )lim x a f x f a x a→ − − 2 2 1 2 1 1. . . .A B C Da a a a − − 22 1y x= − + ( )0,1 4− 0 4 ( )y f x= 0 0( , ( ))x f x 2 3 0x y+ − = 0( ) 0f x′ > 0( ) 0f x′ < 0( ) 0f x′ = 0x = 23 cosy x x= + siny x x= 1 cosy x = 1 2y xx = + 22 2y x ln x= − 1(0, )2 2(0, )4 1( , )2 +∞ 1( ,0)2 − 1(0, )2 ( )y f x= 0( ) 0f x′ = 0x ( )y f x= 1 0 xdx∫ ( )1 0 1x dx+∫ 1 0 1dx∫ 1 0 1 2 dx∫ 2( )f x x bx c= + + ( )f x′ 10．曲线 在点 处的切线方程为 ,则 的值分别 为 ( ) A. B. C. D. 11．设函数 在 上的导函数为 , 在 上的导函数为 ,若 在 上, 恒成立,则称函数函数 在 上为“凸函数”.已知当 时, 在 上是“凸函数”.则 在 上 ( ) A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值 C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值 12．如图,曲线 上任一点 的切线 交 轴于 ,过 作 垂直于 轴于 ,若 的面积为 ,则 与 的关系满足 ( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上.) 13．函数 的单调递增区间是_____________ 14．曲线 和 在它们交点处的两条切线与 轴所围成的三角形面积是 . 15．已知函数 在 x=2 处取得极值 9,则 16．已知函数 的图象如图所示,它与直线 在原点处相切, 此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 的值为 . xexxf )3()( −= ( ) by f x ax x = = − (2, (2))f 7 4 12 0x y− − = ,a b 1 3 a b =  = 1 3 a b = −  = 1 3 a b =  = − 1 3 a b = −  = − ( )y f x= ( , )a b '( )f x '( )f x ( , )a b ''( )f x ( , )a b ''( ) 0f x < ( )f x ( , )a b 2m ≤ 3 21 1( ) 6 2f x x mx x= − + ( 1,2)− ( )f x ( 1,2)− ( )y f x= P PQ x Q P PT x T PTQ∆ 1 2 y 'y 'y y= 'y y= − 2'y y= 2 'y y= 1y x = 2y x= x baxxaxxf +−+= 63)( 23 2a b+ = 3 2( ) ( , )f x x ax bx a b= + + ∈R 0y = 27 4 a O y x 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17．(12 分)求由曲线 及 围成的平面图形面积. 18．(12 分)已知函数 的图象关于原点成中心对称. (1)求 的值; (2)求 的单调区间及极值. 19．(12 分)某厂生产产品 x 件的总成本 (万元),已知产品单价 P(万元)与32( ) 1200 75c x x= + 2, ,y x y x= = 2y x= 3 2( ) ( 1) 48( 2)f x ax a x a x b= + − + − + ,a b ( )f x 产品件数 x 满足: ,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元. (1)设产量为 件时,总利润为 (万元),求 的解析式; (2)产量 定为多少件时总利润 (万元)最大?并求最大值(精确到 1 万元). 20．(12 分)设函数 . (1)对于任意实数 , 恒成立,求 的最大值; (2)若方程 有且仅有一个实根,求 的取值范围. 2 kP x = 3 29( ) 62f x x x x a= − + − x ( )f x m′ ≥ m ( ) 0f x = a x ( )L x ( )L x x ( )L x 21．(12 分)已知函数 ,其中 (1)若 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 的单调区间; (3)若 的最小值为 1,求 a 的取值范围。 22．(14 分)已知函数 f(x)=alnx+x2(a 为实常数). (1)若 ,求证:函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)当 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围. 1( ) ln( 1) , 01 xf x ax xx −= + + ≥+ 0a > ( )f x ( )f x ( )f x 2a = − 2a ≥ − 临沂第十九中学第二次调研考试（数学理） 答案 1.D 2.A , . 3.B ∵ ∴ . 4.B 由切线 的斜率 即 5.D ∵ 在 处不可导. 6.C 由 得 . 7.B 如 ,但 不是函数的极值点. 8.C . 9.A ∵ 对称轴为 ∴ , 的图象是斜率为正,在 y 轴上的截距为负,也即直线过第一、三、四象限. 10.A 方程 可化为 .当 时, . 又 ,于是 解得 11.C 因 , 对于 恒成立. ∴ ,又当 时也成立,有 .而 ,∴ . 于是 ,由 得 或 (舍去), 在 上递增,在 上递减,只有 C 正确 12.D ,∴ , ,根据导数的几何意义, ( ) ( ) ( )21 1 21 1 2 xf x fy xx x x  + ∆ + −+ ∆ −∆  = = = + ∆∆ ∆ ∆ 2 1( )f x x ′ = − 2 ( ) ( ) 1lim ( ) x a f x f a f ax a a→ − ′= = −− 4 ,y x′ = − 0 0xk y = ′= = 2 3 0x y+ − = 1 ,2k = − 0 1( ) 02f x′ = − < 1 2y xx = + 0x = 14 0,y x x ′ = − > 1 2x > 3 2 0, 3 , 0xy x y x y = ′ ′= = = 0x = 1 1 00 1 = 1 0 1dx x = − =∫ 2( )f x x bx c= + + 0,2 b− > 0b < ( ) 2f x x b′ = +  7 4 12 0x y− − = 7 34y x= − 2x = 1 2y = 2( ) bf x a x ′ = + 12 2 2 7 4 4 ba ba  − =  + = ， ， 1 3. a b =  = ， 21'( ) 12f x x mx= − + ''( ) 0f x x m= − < ( 1,2)x ∈ − max( ) 2m x> = 2m = 2m ≥ 2m ≤ 2m = 21'( ) 2 12f x x x= − + '( ) 0f x = 2 3x = − 2 3x = + ( )f x ( 1,2 3)− − (2 3,2)− 1 1 2 2PTQS y QT∆ = × × = 1QT y = 1( ,0)Q x y − ∴ . 13. ,令 ,解得 14. 曲线 和 在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是 y=－x+2 和 y=2x－1,它们与 轴所围成的三角形的面积是 . 15.－24 ∵ ,由已知 , 解得 , ,∴ 16.－3 由图知方程 有两个相等的实根 ,于是 , ∴ ,有 ,∴ . 又 ,得 . 17.解:由 ,得 ,又由 ,得 所求平面图形面积为: . 18.解:(1)∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)是奇函数, ∴ 得 = , 于是 恒成立,∴ ,解得 ; (2)由(1)得 ,∴ 令 ,得 ,令 ,得 ,令 ,得 或 . ∴ 的递减区间为 ,递增区间为 和 , ( )( ) ( 3) ( 3) ( 2)x x xf x x e x e x e′′ ′= − + − = − ( ) 0f x′ > 2x > 0 '1( ) PQ yk y x x y −= = − − 2 'y y= (2, )+∞ 4 3 xy 1= 2xy = x 4 3 axaxxf 663)( 2 −+=′  =+−+ =−+⇒  = =′ 912128 061212 9)2( 0)2( baa aa f f 2a = − 11b = − 2 24a b+ = − ( ) 0f x = 1 2 0x x= = 0b = 2( ) ( )f x x x a= + 4 3 4 3 2 0 27 [0 ( )] ( ) 04 4 3 12 a ax ax ax ax dx − −= − + = − + =∫ 3a = ± 0 0a a− > ⇒ < 3a = − 2y x y x  =  = (1,1)A 2 2 y x y x  =  = (2,4)B 1 2 1 22 2 0 1 0 1 (2 ) (2 ) (2 )S x x dx x x dx xdx x x dx= − + − = + −∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 2 2 3 0 1 1 1 7 2 3 6x x x   = + − =       ( ) ( )f x f x− = − 3 2( 1) 48( 2)ax a x a x b− + − − − + 3 2( 1) 48( 2)ax a x a x b− − − − − − 22( 1) 2 0a x b− + = 1 0 0 a b − =  = 1, 0a b= = 3( ) 48f x x x= − 2( ) 3 48 3( 4)( 4),f x x x x′ = − = + − ( ) 0f x′ = 1 24, 4x x= − = ( ) 0f x′ < 4 4x− < < ( ) 0f x′ > 4x < − 4x > ( )f x [ 4,4]− ( , 4)−∞ − (4, )+∞ ∴ , . 19.解:(1)由题意有 解得 ∴ , ∴总利润 = ; (2)由(1)得 ,令 , 令 ,得 ,∴ ,于是 , 则 ,所以当产量定为 25 时,总利润最大. 这时 . 答:产量 定为 件时总利润 最大,约为 万元. 20.解:(1) , 因为 , , 即 恒成立, 所以 , 得 ,即 的最大值为 (2) 因为当 时, ;当 时, ;当 时, ; 所以 当 时, 取极大值 ; 当 时, 取极小值 ; 故当 或 时, 方程 仅有一个实根. 解得 或 . 21.解:(1) ∵ 在 x=1 处取得极值,∴ 解得 (2) ∵ ∴ ①当 时,在区间 ∴ 的单调增区间为 ②当 时, ' 2( ) 3 9 6 3( 1)( 2)f x x x x x= − + = − − ( , )x∈ −∞ +∞ ' ( )f x m≥ 23 9 (6 ) 0x x m− + − ≥ 81 12(6 ) 0m∆ = − − ≤ 3 4m ≤ − m 3 4 − 1x < ' ( ) 0f x > 1 2x< < ' ( ) 0f x < 2x > ' ( ) 0f x > 1x = ( )f x 5(1) 2f a= − 2x = ( )f x (2) 2f a= − (2) 0f > (1) 0f < ( ) 0f x = 2a < 5 2a > 2 2 2 2 2'( ) ,1 (1 ) ( 1)(1 ) a ax af x ax x ax x + −= − =+ + + + ( )f x 2'(1) 0, 1 2 0,f a a= + − =即 1.a = 2 2 2'( ) ,( 1)(1 ) ax af x ax x + −= + + 0, 0,x a≥ > 1 0.ax + > 2a ≥ (0, ) '( ) 0,f x+∞ >上， ( )f x (0, ).+∞ 0 2a< < ( ) ( 4) 128f x f= − =极大 ( ) (4) 128f x f= = −极小 250 ,100 k= 425 10 ,k = × 425 10 500P x x ×= = 3500 2( ) 1200 75 xL x x x = ⋅ − − 32 500 1200( 0)75 x x x− + − > 22 250( ) 25L x x x ′ = − + 2250 2( ) 0 25L x x x ′ = ⇒ = t x= 4 5 5250 2 125 25 525t tt = ⇒ = × = 5t = 2 25x t= = 25x = (25) 416.7 2500 1200 883L ≈ − + − ≈ x 25 ( )L x 883 由 ∴ (3)当 时,由(2)①知, 当 时,由(2)②知, 在 处取得最小值 综上可知,若 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 22.解:(1)当 时, ,当 , , 故函数 在 上是增函数; (2) ,当 , , 当 时, 在 上非负(仅当 ,x=时, ), 故函数 在 上是增函数,此时 . ∴当 时, 的最小值为 1,相应的 x 值为 1. (3)不等式 ,可化为 . ∵ , ∴ 且等号不能同时取,所以 ,即 , 因而 ( ), 令 ( ),又 , 当 时, , , 从而 (仅当 x=1 时取等号),所以 在 上为增函数, 故 的最小值为 ,所以 a 的取值范围是 . 2 2'( ) 0 , '( ) 0 ,a af x x f x xa a − −> > < <解得 由 解得 ( ) ),a af x a a + ∞2- 2-的单调减区间为（0， 单调增区间为（ ， ）. 2a ≥ ( ) (0) 1;f x f =的最小值为 0 2a< < ( )f x 2 ax a −= 2( ) (0) 1,af fa − < = ( )f x [2, ).+∞ 2−=a xxxf ln2)( 2 −= ),1( +∞∈x 0)1(2)( 2 >−=′ x xxf )(xf ),1( +∞ )0(2)( 2 >+=′ xx axxf ],1[ ex∈ ]2,2[2 22 eaaax ++∈+ 2−≥a )(xf ′ ],1[ e 2−=a 0)( =′ xf )(xf ],1[ e =min)]([ xf 1)1( =f 2−≥a )(xf xaxf )2()( +≤ xxxxa 2)ln( 2 −≥− ],1[ ex∈ xx ≤≤1ln xx − xx xx xxa ln 22 − −≥ ],1[ ex∈ xx xxxg ln 2)( 2 − −= ],1[ ex∈ 2)ln( )ln22)(1()( xx xxxxg − −+−=′ ],1[ ex∈ 1ln,01 ≤≥− xx 0ln22 >−+ xx '( ) 0g x ≥ )(xg ],1[ e )(xg 1)1( −=g ),1[ +∞−