专题06 函数与方程﹑函数模型及其应用（命题猜想）-2019年高考数学（文）命题猜想与仿真押题

专题06 函数与方程﹑函数模型及其应用（命题猜想）-2019年高考数学（文）命题猜想与仿真押题

‎【考向解读】 ‎ 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．‎ ‎【命题热点突破一】函数零点的存在性定理 ‎1．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．‎ ‎2．函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．‎ 例1 、（2018年全国卷Ⅱ）已知函数．‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）证明：只有一个零点．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎（2）由于，所以等价于．‎ 设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．‎ 又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．‎ 综上，f（x）只有一个零点． ‎ ‎【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．‎ ‎【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a，b]上存在x1，x2(a0，函数f（x）单调递增，在上，f′（x）<0，函数f（x）单调递减，所以x＝是函数f（x）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝≈3.3时，函数f（x）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. ‎ ‎1 、(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a等于 A.－ B. C. D. 1‎ ‎【解析】f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1) ‎ ‎＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， ‎ 令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ‎ ‎∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ‎ ‎∴函数g(t)为偶函数. ‎ ‎∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. ‎ 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ‎ ‎∴2a－1＝0，解得a＝ . ‎ ‎【答案】C. ‎ ‎2、(2017·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是_____.‎ ‎【答案】8‎ ‎1.【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为 ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎【答案】D ‎2.【2016高考山东文数】已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】画出函数图象如下图所示：‎ 由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得。‎ ‎3、【2016高考上海文数】已知点在函数的图像上，则.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将点（3，9）代入函数中得，所以，用表示得，所以.‎ ‎4.【2016高考上海文数】已知，函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；‎ ‎（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）．（2）．（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，得，‎ 解得． ‎ ‎5.【2016高考上海文数】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）‎ ‎、①和②均为真命题 、①和②均为假命题 ‎、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题 ‎ ‎【答案】D 故选D.‎ ‎1.(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A.y＝x＋ex B.y＝x＋ C.y＝2x＋ D.y＝ ‎【解析】令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而B，C，D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.‎ ‎【答案】A ‎2.(2014·山东卷)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C.(1，2) D.(2，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎3.(2015·山东卷)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是(　　)‎ A. B.[0，1]‎ C. D.[1，＋∞)‎ ‎【解析】当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝时，f(a)＝f ＝3×－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝满足题意，排除D选项，故答案为C.‎ ‎【答案】C ‎4.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ ‎【答案】B ‎5.【2015高考浙江，理7】存在函数满足，对任意都有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】A：取，可知，即，再取，‎ 可知，即，矛盾，∴A错误；同理可知B错误，C：取，‎ 可知，再取，可知，矛盾，∴C错误，D：令，‎ ‎∴，符合题意，故选D. ‎ ‎9.【2015高考上海，理10】设为，的反函数，则的最大值为 ．‎ ‎【答案】4‎