河北省肃宁县第一中学2019-2020学年高二上学期第四次月考数学试题

河北省肃宁县第一中学2019-2020学年高二上学期第四次月考数学试题

数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．复数在复平面内对应的点位于( 　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 ‎3．已知向量且互相垂直，则k＝（ ）‎ A． B．‎1 ‎C． D．‎ ‎4．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知椭圆: 的右顶点、上顶点分别为、，坐标原点到直线的距离为，且，则椭圆的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数 的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则4个剩余分数的方差为（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎8‎ ‎．在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查．于开学进行交流报告会．四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．定义在上的函数满足：，，则不等式的解集为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）‎ A． B．C． D．‎ ‎11．如图正方体的棱长为a，以下结论不正确的是（　　）‎ A．异面直线与所成的角为 B．直线与垂直 C．直线与平行 D．三棱锥的体积为 ‎12．已知是定义在区间内的单调函数，且对任意，都有，设为的导函数，则函数的零点个数为（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把正确答案填写在答题卡上）‎ ‎13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数成等差数列，现用分层抽样的方法从这三个年级中抽取90人，则应从高二年级抽取的学生人数为___________.‎ 14． 某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽选1人，则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为________．‎ ‎15．已知四面体，，，，‎ ‎，则__________．‎ ‎16、设是双曲线:的右焦点，是左支上的点，已知，则周长的最小值是_______．‎ 三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知集合，集合.‎ ‎（Ⅰ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18．河南省某市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以元罚款，记分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 违章驾驶员人数 ‎（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．‎ 参考公式：，．‎ 19． 某工厂生产的产品的直径均位于区间内（单位：).若生产一件产品的直径位于区间内该厂可获利分别为10，30，20，10(单位：元），现从该厂生产的产品中随机抽取200件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求的值，并估计该厂生产一件产品的平均利润；‎ ‎（2）现用分层抽样法从直径位于区间内的产品中随机抽取一个容量为5的样本，从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至多有一件产品的直径位于区间内的概率.‎ ‎20．如图三棱柱中，侧面为菱形，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，，AB=BC，求二面角的余弦值.‎ ‎21．已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 数学答案 ‎1、【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．‎ ‎2、【答案】B ‎【解析】由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．‎ ‎3、【答案】A ‎【解析】因为互相垂直，所以，选A.‎ ‎4、【答案】A ‎【解析】因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．‎ ‎5、【答案】D ‎【解析】椭圆右顶点坐标为，上顶点坐标为，故直线的方程为，即，依题意原点到直线的距离为，且，由此解得，故椭圆的方程为，故选D.‎ ‎6、【答案】B ‎【解析】，当时，，所以切线方程是，整理为，故选B.‎ ‎7、【答案】C ‎【解析】去掉最低分87，若x≥3，则90+x被去掉，‎ 此时剩余的分数为90,90,91,93，平均数为91，满足条件，‎ 此时的方差为.故选：C。‎ ‎8、【答案】D ‎【解析】将“支付宝”小组，“网购”小组，“高铁”小组，“共享单车”小组分别记为，，，．则四个小组随机排序的所有情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共24种，‎ 其中“支付宝”小组与“网购”小组不相邻的有12种，‎ 由古典概型的概率公式得所求概率为．故选：D．‎ ‎9、【答案】A ‎【解析】设，则, , , 又，‎ 所以, 在定义域上单调递增, ‎ 对于不等式可转化成，‎ ‎, 又，, ‎ ‎, 而在定义域上单调递增, ，故选：A.‎ ‎10、【答案】A ‎【解析】方程即，表示抛物线，‎ 方程表示椭圆或双曲线， ‎ 当和同号时，抛物线开口向左，‎ 方程表示焦点在轴的椭圆，无符合条件的选项；‎ 当和异号时，抛物线开口向右，‎ 方程表示双曲线，选择A.‎ ‎11、【答案】C ‎【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．‎ A．A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B1（a，a，a）．‎ ‎∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），‎ ‎∴，‎ ‎∴异面直线A1D与AB1所成的角为60°．‎ B．C1（0，a，a），B（a，a，0）．‎ ‎（﹣a，0，﹣a）•（﹣a，0，a）＝a2﹣a2＝0．‎ ‎∴直线A1D与BC1垂直．‎ C．D1（0，0，a）．‎ ‎∵（﹣a，0，﹣a）•（﹣a，﹣a，a）＝a2﹣a2＝0，∴直线A1D与BD1垂直，不平行；‎ D．三棱锥A﹣A1CD的体积．‎ 综上可知：只有C不正确．故选：C．‎ ‎12、【答案】B ‎【解析】对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]＝e+1，‎ 又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，‎ 设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，‎ 又由f（t）＝e+1，即lnt+t＝e+1，解得：t＝e，‎ 则f（x）＝lnx+e，f′（x）＝＞0，‎ 故g（x）＝lnx+e﹣，则g′（x）＝+＞0，‎ 故g（x）在（0，+∞）递增，‎ 而g（1）＝e﹣1＞0，g（）＝﹣1＜0，‎ 存在x0∈（，1），使得g（x0）＝0，‎ 故函数g（x）有且只有1个零点，故选：B．‎ ‎13、【答案】30‎ ‎【解析】设高一、高二、高三年级的学生人数分别为，因为成等差数列，所以，所以，，所以应从高二年级抽取30人.‎ 故答案为：30.‎ ‎14、【答案】‎ ‎【解析】第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．‎ 记事件A为该职工为女职工或为第三分厂职工，由概率公式得：‎ ‎，‎ 则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为，故答案为：．‎ ‎15、【答案】5‎ ‎【解析】∵四面体，，，，，∴‎ ‎，‎ ‎∴.故答案为：5。‎ ‎16、【答案】‎ ‎【解析】设左焦点为，根据双曲线的定义可知，所以三角形的周长为，当三点共线时，取得最小值，三角形的周长取得最小值. ，故三角形周长的最小值为.‎ ‎17、【解析】，‎ ‎（Ⅰ）依题意，‎ ‎∴ 或 ‎ ‎∴或 ‎（Ⅱ）依题意， 即 ‎∴ ∴.‎ ‎18、【解析】（Ⅰ）由表中数据，计算；，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以与之间的回归直线方程为；‎ ‎（Ⅱ）时，，‎ 预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人．‎ ‎19、【解析】（1）由频率分布直方图得，所以，直径位于区间的频数为，位于区间的频数为，位于区间的频数为，位于区间 的频数为，∴生产一件 产品的平均利润为（元）.‎ ‎（2）由频率分布直方图得：直径位于区间和的频率之比为，∴应从直径位于区间的产品中抽取件产品，记为，从直径位于区间的产品中抽取件产品，记为，从中随机抽取两件，所有可能的取法有共种，∴两件产品中至多有一件产品的直径位于区间内的取法有种.∴所求概率为.‎ ‎20、【解析】（1）连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点，又，，所以平面．由于平面，故．又，故 ．‎ ‎（2）因为，且为的中点，所以．又因为，所以，故，从而两两相互垂直，为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系．‎ 因为，所以为等边三角形，又，则，．，，设是平面的法向量，则，即，所以可取，设是平面的法向量，则，同理可取，，所以二面角的余弦值为． ‎ ‎21、【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意得解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 设，则.‎ 当时，直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时，，‎ 所以.综上，为定值.‎ ‎22、【解析】（1）当时，．‎ 所以 令，则或，令，则，‎ 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为。‎ ‎（2）存在，满足题设，‎ 因为函数 所以 要使函数在上单调递增，‎ 即，，‎ 令，，‎ 则，‎ 所以当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 所以是的极小值点，也是最小值点，且，‎ ‎∴在上的最大值为．‎ 所以存在，满足题设．‎