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文档介绍
2018年高考数学二轮复习习题:第一部分 六 算法、复数、推理与证明、概率与统计 第一讲 算法、复数、推理与证明
限时规范训练 一、选择题 1.(2017·高考全国卷Ⅲ)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( ) A. B. C. D.2 解析:法一:由(1+i)z=2i得z==1+i,∴|z|=.故选C. 法二:∵2i=(1+i)2,∴由(1+i)z=2i=(1+i)2,得z=1+i,∴|z|=.故选C. 答案:C 2.(2017·高考全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:当K=1时,S=0+(-1)×1=-1,a=1,执行K=K+1后,K=2; 当K=2时,S=-1+1×2=1,a=-1,执行K=K+1后,K=3; 当K=3时,S=1+(-1)×3=-2,a=1,执行K=K+1后,K=4; 当K=4时,S=-2+1×4=2,a=-1,执行K=K+1后,K=5; 当K=5时,S=2+(-1)×5=-3,a=1,执行K=K+1后,K=6; 当K=6时,S=-3+1×6=3,执行K=K+1后,K=7>6. 输出S=3.结束循环.故选B. 答案:B 3.(2017·高考山东卷)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a=( ) A.1或-1 B.或- C.- D. 解析:∵z·=4,∴|z|2=4,即|z|=2.∵z=a+i,∴|z|=,∴=2,∴a=±1.故选A. 答案:A 4.(2017·高考全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:假设N=2,程序执行过程如下: t=1,M=100,S=0, 1≤2,S=0+100=100,M=-=-10,t=2, 2≤2,S=100-10=90,M=-=1,t=3, 3>2,输出S=90<91.符合题意. ∴N=2成立.显然2是最小值. 故选D. 答案:D 5.(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题 p1:若复数z满足∈R,则z∈R; p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R; p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=2; p4:若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 解析:设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R). 对于p1,若∈R,即=∈R,则b=0⇒z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题. 对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,则ab=0. 当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∉R,所以p2为假命题. 对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=2,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇒/ a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题. 对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0⇒=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.故选B. 答案:B 6.(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为( ) A.x>3 B.x>4 C.x≤4 D.x≤5 解析:输入x=4,若满足条件,则y=4+2=6,不符合题意;若不满足条件,则y=log24=2,符合题意,结合选项可知应填x>4.故选B. 答案:B 7.(2017·高考全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( ) A.A>1 000和n=n+1 B.A>1 000和n=n+2 C.A≤1 000和n=n+1 D.A≤1 000和n=n+2 解析:因为题目要求的是“满足3n-2n>1 000的最小偶数n”,所以n的叠加值为2, 所以内填入“n=n+2”.由程序框图知,当内的条件不满足时,输出n, 所以内填入“A≤1 000”.故选D. 答案:D 8.(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解析:由甲说:“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀,1个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,甲为“优秀”时,丁为“良好”;甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D. 答案:D 二、填空题 9.(2017·高考天津卷)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为________. 解析:∵a∈R,===-i为实数,∴-=0,∴a=-2. 答案:-2 10.(2016·高考山东卷)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出的S的值为________. 解析:第一次循环:S=-1,1<3,i=2;第二次循环:S=-1,2<3,i=3; 第三次循环:S=-1=1,3≥3,输出S=1. 答案:1 11.已知数列{an}是等比数列,a1,a2,a3依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的某一格内,又a1,a2,a3中任何两个都不在同一列,则an=________(n∈N*). 第一列 第二列 第三列 第一行 1 10 2 第二行 6 14 4 第三行 9 18 8 解析:观察题中的表格可知a1,a2,a3分别为2,6,18,即{an}是首项为2,公比为3的等比数列, ∴an=2·3n-1. 答案:2·3n-1 12.(2017·高考全国卷Ⅰ改编)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是________. 解析:设首项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第n组的项数为n,前n组的项数和为. 由题意知,N>100,令>100⇒n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后. 第n组的各项和为=2n-1,前n组所有项的和为-n=2n+1-2-n. 设N是第n+1组的第k项,若要使前N项和为2的整数幂,则N-项的和即第n+1组的前k项的和2k-1应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),k=log2(n+3)⇒n最小为29,此时k=5,则N=+5=440. 答案:440 三、解答题 13.(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2) a+b≤2. 证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+, 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 14.(2017·高考山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD. (1)证明:A1O∥平面B1CD1; (2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1. 证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1, 由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱, 所以A1O1∥OC,A1O1=OC, 因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C. 又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1, 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点, 所以EM⊥BD. 又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以A1E⊥BD. 因为B1D1∥BD, 所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1. 又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E, 所以B1D1⊥平面A1EM. 又B1D1⊂平面B1CD1, 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 15.(2017·高考江苏卷)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan,对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”. (1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”; (2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列. 证明:(1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,则 an=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时, an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d =2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3. 所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an, 因此等差数列{an}是“P(3)数列”. (2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此, 当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,① 当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.② 由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④ 将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4, 所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′. 在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d′, 在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d′, 所以数列{an}是等差数列.查看更多