2017-2018学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学（文）试题

2017-2018学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学（文）试题

‎2017-2018学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛 数 学（文）试 题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A． 充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知命题且，命题．下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：‎ 若线性相关，线性回归方程为，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ）‎ A． 万盒 B．万盒 C. 万盒 D．万盒 ‎7.将函数的图像向右移个单位后，所得图像关于轴对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.函数的图像大致为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎10.设函数，，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为（ ） ‎ A． B． C. D．‎ ‎11.若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知平面向量，，且，则实数 ．‎ ‎14.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的 ．‎ ‎15.已知点的坐标为，点满足，则的最小值为 ．‎ ‎16. 如果一个正四面体与正方体的体积比是，则其表面积（各面面积之和）之比 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知为数列的前项和，且满足．‎ ‎（1）证明为等比数列；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求．‎ ‎18. 已知函数．‎ ‎（1）求函数的最大值和最小值；‎ ‎（2）为的内角平分线，已知，求角的大小． ‎ ‎19. 南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．‎ 根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．‎ ‎（1）试求受奖励的分数线；‎ ‎（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.‎ ‎20. 如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，，．‎ ‎（Ⅰ）求的长度；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎21. 已知椭圆与直线都经过点．直线与平行，且与椭圆交于两点，直线与轴分别交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）证明：为等腰三角形．‎ ‎22.已知，‎ ‎（Ⅰ）若有两个零点，求实数的范围；‎ ‎（Ⅱ）若有两个极值点，求实数的范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若的两个极值点为，求证：．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CABDB 6-10:CBBDD 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:（Ⅰ）当时，时原式转化为：，‎ 即，所以，‎ 所以为首项为4，公比为2的等比数列. ，‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）由（1）知：‎ ‎=．‎ ‎18.解：‎ 在上单增，上单减，；‎ ‎（2）中，中，，‎ ‎∵，，，‎ ‎，‎ 中，，‎ 中，，‎ ‎，∴．‎ ‎19. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为，‎ 竞赛成绩在的人数为，‎ 故受奖励分数线在之间，‎ 设受奖励分数线为，则，‎ 解得，故受奖励分数线为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在的人数为8，分数在的人数为12，‎ 利用分层抽样，可知分数在的抽取2人，分数在的抽取3人，‎ 设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，‎ 所有的可能情况有，，，，，，，，，，满足条件的情况有，，，所求的概率为．‎ ‎ 20.解：（Ⅰ）取中点，连，‎ 是等边三角形，, ‎ 又 平面，平面，,‎ ‎ ∴‎ ‎（Ⅱ）平面 ，平面 ‎∴平面⊥平面．‎ 作交于，‎ 则平面，交于，直线与平面所成的角．‎ 由题意得, 又 ‎，‎ ‎ ，‎ ‎．‎ ‎21.解：（Ⅰ）椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设直线为：‎ 联立: ，得， ‎ 于是． ‎ 设直线的斜率为，要证为等腰三角形，只需证，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以为等腰三角形 ．‎ ‎22．解：方法一：（Ⅰ），‎ 有两个零点，有两个零点，‎ ‎，‎ 时在上单调，最多有一个零点，不合题意；‎ 在上单增，在上单减，‎ ‎ ， ‎ 又时，‎ ‎，‎ 必有两个零点，‎ ‎ ．‎ ‎（Ⅱ）有两个改变符号的零点，‎ 设，则，‎ 时，恒成立，在上单调，最多有一个零点，不合题意；‎ ‎，由得：，‎ 在上单增，在上单减，‎ ‎，即 ．‎ 又，‎ 在各有一个零点，‎ ‎ ． ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ），结合，知，‎ ‎，‎ 设， ‎ 在上单减，‎ ‎ ．‎ ‎ 方法二：分离参数法 ‎（Ⅰ），两图象有两交点，‎ 令，‎ 当单增，‎ 当单减，‎ 结合图像，．‎ ‎（Ⅱ）有两个改变符号的零点，‎ 等价于对应的两函数的图像有两交点．‎ 令，当单增，‎ 当单减，，‎ 结合图象， ． ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ），下同方法一 ‎． ‎