吉林省北大附属长春实验学校2019届高三上学期第三次月考数学（文）试题

吉林省北大附属长春实验学校2019届高三上学期第三次月考数学（文）试题

高三数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题 ‎1．设集合A＝{x|}，B＝{x|－1＜2x＜4}，则A∩B＝‎ A．[0，2）‎ B．（0，2）‎ C．（，2）‎ D．[0，4）‎ ‎2．设复数z＝1＋2i，则 A．z2＝2z－3‎ B．z2＝2z－4‎ C．z2＝2z－5‎ D．z2＝2z－6‎ ‎3．若双曲线的一个焦点为（－3，0），则m＝‎ A．‎ B．8‎ C．9‎ D．64‎ ‎4．设向量a、b满足|a|＝1，，且a·b＝1，则|a－2b|＝‎ A．2‎ B．5‎ C．4‎ D．‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．5‎ B．6‎ C．6.5‎ D．7‎ ‎6．函数f（x）＝sin（πx＋θ）（）的部分图象如下图，且，则图中m的值为 A．1‎ B．‎ C．2‎ D．或2‎ ‎7．设x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最小值为 A．－3‎ B．4‎ C．0‎ D．－4‎ ‎8．执行如图的程序框图，若输入的k＝－11，则输出的S＝‎ A．12‎ B．13‎ C．15‎ D．18‎ ‎9．若函数f（x）＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为 A．（0，4）‎ B．（0，＋∞）‎ C．（3，4）‎ D．（3，＋∞）‎ ‎10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＋acosC＝0，sinA－2sin（A＋C），则 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎11．已知圆C过抛物线y2＝4x的焦点，且圆心在此抛物线的准线上．若圆C的圆心不在x轴上，且与直线相切，则圆C的半径为 A．‎ B．12‎ C．‎ D．14‎ ‎12．若函数f（x）＝（4－a）[（x2－2x－2）ex－ax3＋12ax]（a∈R）在（2，3）上有极大值，则a的取值范围为 A．（，4）‎ B．（4，）‎ C．‎ D．（，＋∞）‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13．某地区有1000家超市，其中大型超市有150家，中型超市有250家，小型超市有600家．为了了解各超市的营业情况．从中抽取一个容量为60的样本．若采用分层抽样的方法，则抽取的小型超市共有________家．‎ ‎14．若函数f（x）＝log8x＋log2x2，则f（8）＝________．‎ ‎15．若，且θ为钝角，则．‎ ‎16．在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，BC＝2，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AC＝2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则tan∠AGD＝________．‎ 三、解答题 ‎17．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝4，an＝2n＋1（n≥2）．‎ ‎（1）证明：当n≥2时，Sn＝an＋n2；‎ ‎（2）若等比数列{bn}的前两项分别为S2， S5，求{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：‎ ‎（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；‎ ‎（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．‎ ‎（i）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率P；‎ ‎（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？‎ ‎19．如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BD＝1，，AA1＝BC＝2，AD∥BC．‎ ‎（1）证明：BD⊥平面ABB1A1．‎ ‎（2）比较四棱锥D—ABB1A1与四棱锥D—A1B1C1D1的体积的大小．‎ ‎20．如图，椭圆W：（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：的短轴长相等，且W－与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．‎ ‎（1）求W的标准方程；‎ ‎（2）求．‎ ‎21．已知函数f（x）＝x－a2lnx（a＞0）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）在（a，＋∞）上的单调性；‎ ‎（2）证明：x3－x2lnx≥x2且2x3－x2lnx－16x＋20＞0．‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求．‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x|]＋|x－3|．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若k＞0，且直线y＝kx＋5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．‎ ‎高三数学试卷参考答案（文科）‎ ‎1．A ‎2．C ‎3．B ‎4．D ‎5．B ‎6．B ‎7．A ‎8．C ‎9．C ‎10．A ‎11．D ‎12．B ‎13．36‎ ‎14．7‎ ‎15．－5‎ ‎16．2‎ ‎17．（1）证明：当n≥2时，∵Sn＝4＋（5＋7＋…＋2n＋1），‎ ‎∴Sn＝2n＋1＋n2＝an＋n2．‎ ‎（2）解：由（1）知S2＝9，S5＝36，∴{bn}的公比，‎ 且b1＝9，∴．‎ ‎18．解：（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为 ‎（mm）‎ 乙厂这批轮胎宽度的平均值为 ‎．‎ ‎（2）甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，‎ ‎（i）．‎ ‎（ii）甲厂标准轮胎的平均数为195，方差为．‎ 乙厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，平均数为195，方差为．‎ 由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎相对更好．‎ ‎19．（1）证明：∵AB2＋BD2＝AD2＝2，‎ ‎∴AB⊥BD．‎ 又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD．‎ ‎∵AB∩AA1＝A，∴BD⊥平面ABB1A1．‎ ‎（2）解：∵AB＝BD且AB⊥BD，∴∠ADB＝45°．‎ 又AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝45°，∴．‎ ‎∴四边形ABCD的面积为．‎ ‎∴．‎ 又．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎20．解：（1）由题意可知，∴，‎ 故W的标准方程为．‎ ‎（2）联立得，‎ ‎∴，∴．‎ 易知B（0，1），∴l的方程为y＝－3x＋1．‎ 联立得13x2－24x＝0，∴x＝0或，‎ ‎∴．‎ 联立得31x2－18x－9＝0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，‎ ‎∴，‎ 故．‎ ‎21．（1）解：令，得x＝a2＞0，‎ 当0＜a≤1时，a2≤a，f'（x）＞0，∴f（x）在（（a，＋∞）上单调递增．‎ 当a＞1时，a2＞a，令f'（x）＞0，得x＞a2；令f'（x）＜0，得a＜x＜a2．‎ ‎∴f（x）在（a，a2）上单调递减，在（a2，＋∞）上单调递增．‎ ‎（2）证明：令a＝1，得f（x）＝x－lnx，当x＞1时，f'（x）＞0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0．‎ ‎∴f（x）min＝f（1）＝1，∴x－lnx≥1，∴x3－x2lnx≥x2．‎ 设g（x）＝2x3－x2lnx－16x＋20，则g（x）＝x3＋（x3－x2lnx）－16x＋20≥x3＋x2－16x＋20，‎ 当且仅当x＝1时取等号．‎ 设h（x）＝x3＋x2－16x＋20（x＞0），则h'（x）＝3x2＋2x－16＝（3x＋8）（x－2），‎ 令h'（x）＞0，得x＞2；令h'（x）＜0，得0＜x＜2．∴h（x）min＝h（2）＝0．‎ ‎∴g（x）≥h（x）≥0，易知此不等式中两个等号的成立条件不同，故g（x）＞0，从而2x3－x2lnx－16x＋20＞0得证．‎ ‎22．解：（1）曲线C1的普通方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2‎ ‎－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标为（ρ∈R）（或）．‎ ‎（2）由得，故，ρ1ρ2＝7，‎ ‎∴．‎ ‎23．解：（1）由即得，‎ 或或，‎ 解得－3＜x＜9，∴不等式的解集为（－3，9）．‎ ‎（2）作出函数的图象，如图所示，‎ ‎∵直线y＝k（x＋5）经过定点A（－5，0），‎ ‎∴当直线y＝k（x＋5）经过点B（0，3）时，，‎ ‎∴当直线y＝k（x＋5）经过点C（3，3）时，．‎ ‎∴当时，直线y＝kx＋5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形．‎