2018-2019学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标为（　　）‎ A． （0，-2） B． （-2，0） C． （0，-1） D． （-1，0）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由抛物线的标准方程可得焦点坐标。‎ ‎【详解】‎ 令，则，所以抛物线的焦点坐标为 ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的焦点坐标，利用标准方程求得焦点坐标。‎ ‎2．已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 利用椭圆的左焦点为，可得，即可求解实数的值.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的方程的左焦点为，‎ 所以，因为，解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程和简单的几何性质上解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对选项首项判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，A中，可得焦点在轴上，不符合题意；‎ B中，可得焦点在轴上，不符合题意；‎ C中，可得焦点在轴上，渐近线的方程为，符合题意；‎ D中，可得焦点在轴上，渐近线的方程为，不符合题意，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的标准化方程及其简单的几何性质是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎4．过椭圆的焦点作直线交椭圆与A、B两点，是椭圆的另一焦点，则的周长是（ ）‎ A． 12 B． 24 C． 22 D． 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由椭圆的方程求得的周长，由椭圆的定义，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的方程可得，‎ 所以的周长是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程，及椭圆的定义的应用，其中解答中熟记椭圆标准方程及其简单的几何性质，合理利用定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．已知直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 求出直线与坐标轴的交点，推出椭圆的，即可得到椭圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线经过椭圆的上顶点与右焦点，‎ 可得，可得，‎ 所以椭圆的标准方程为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的额标准方程的形式和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）‎ A． B． 2 C． D． 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 求出双曲线的焦点及渐近线的方程，‎ 利用点到直线距离公式得解。‎ ‎【详解】‎ 双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，‎ 即，由点到直线距离可知： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的焦点坐标，渐近线方程及点到直线距离公式。‎ ‎7．已知F是抛物线x2=8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（　　）‎ A． 4 B． 5 C． 6 D． 7‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由已知得F（0，2），A（，5），由此利用两点间距离公式能求出|AF|的值．‎ 解：∵F是抛物线x2=8y的焦点，∴F（0，2），‎ ‎∵抛物线上的点A到x轴的距离为5，∴A（，5），‎ ‎∴|AF|==7．‎ ‎∴|AF|=7．‎ 故选：D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎8．直线和圆交于两点，则的中点坐标（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 把直线的参数方程化为普通方程，代入圆的方程，利用韦达定理求得的中点的横坐标，进而得到中点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线，可得，‎ 代入圆，可得，‎ 所以，即中点的横坐标为3，‎ 所以的中点的纵坐标为，‎ 所以中点的坐标为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及参数方程与普通方程的互化、中点公式的应用，其中解答中把直线的参数方程化为普通方程，代入曲线的方程，合理利用韦达定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9．过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为  ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，由于为正三角形，可得在中，有，再结合椭圆的定义可得，再由椭圆离心率的公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，如图所示，‎ 可得为正三角形，可得在中，有，‎ 点在椭圆上，由椭圆的定义可得，‎ 则该椭圆的离心率，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中注意借助直角三角形的性质分析之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎10．已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 表示出双曲线的一条渐近线方程，根据渐近线与圆相切，列方程组求解。‎ ‎【详解】‎ 双曲线的一条渐近线方程，即。根据渐近线与圆相切，可得，又，，解得：，，所以双曲线的方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的基本性质及直线与圆相切知识，利用直线与圆相切及双曲线的基本性质列方程组，解出即可。‎ ‎11．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，， 原点到直线的距离为， 则渐近线的斜率为（   ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设出点A的坐标，确定直线的方程，利用点到直线的距离公式，及原点O到直线的距离为，建立方程，即可求解渐近线的斜率.‎ ‎【详解】‎ 由题意，双曲线的渐近线的方程为，‎ 不妨设A在第一象限，则，所以直线的方程为，‎ 即，所以原点O到直线的距离为，‎ 所以，即，‎ 所以双曲线的渐近线的斜率为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中设出点A的坐标，利用点到直线的距离公式求得的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎12．已知抛物线，圆 （r>0），过点的直线l交圆N于两点，交抛物线M于两点，且满足的直线l恰有三条，则r的取值范围为(    )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，当轴和当与轴不垂直时，设直线，代入抛物线的方程， ‎ 设，结合，得，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当轴时，过与抛物线交于，与圆交于，满足题设；‎ 当与轴不垂直时，设直线，‎ 代入抛物线的方程，得，则，‎ 把直线代入圆的方程，整理得，‎ 设,‎ 因为，所以，即 可得，则，‎ 设，则，此时，‎ 所以，即实数的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，其中解答中利用等价转化思想和分类讨论，求得是解答的关键，着重考查了综合运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．若曲线表示双曲线,则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析:由题设可得且,解之得且,故应填.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程及运用．‎ ‎14．椭圆的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的余弦值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据题意，由椭圆的标准方程可得的值，由椭圆的几何性质可得的值，由椭圆的定义，得，在中利用余弦定理，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，椭圆的标准方程，可得，则，‎ 则有,‎ 由椭圆的定义，可得，‎ 又由，则，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中涉及到椭圆的定义，三角形的余弦定理等知识点的综合应用，同时利用椭圆的定义求出的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎15．已知抛物线C:的焦点为F，准线为l，点，线段AF交抛物线C于点B，若则_________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 利用，得到,再利用几何关系可求出的值。‎ ‎【详解】‎ 过作准线为的垂线，垂足为,准线与轴交于点，与相似得：令，由抛物线定义得，，，‎ 代入得：，，所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的应用及三角形相似知识，根据题意列方程求解。‎ ‎16．椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 _________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据点F关于直线的对称点Q在椭圆上，找出几何关系，列方程组求解 ‎【详解】‎ 设椭圆另一焦点为,线段与直线交点为,设，，‎ 分别为的中点，所以 平行，又,所以，‎ 整得，代入，整理得：，所以，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 利用对称性找到几何关系，关键发现，抓住椭圆定义，斜率公式及直角三角形列出方程组，本题计算量较大。‎ 三、解答题 ‎17．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，求椭圆的方程；‎ ‎(2)求与椭圆共焦点且过点的双曲线方程；‎ ‎【答案】(1) 或 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据椭圆的定义，列出方程，取得 ‎，进而利用椭圆的额标准方程，即可求解；‎ ‎（2）由焦点在轴上，可设双曲线方程为，代入点 ，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎ 得，或 ‎ ‎ （2） 且焦点在轴上，可设双曲线方程为过点 得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了标准方程的求解问题，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知曲线为参数．‎ ‎(1)将C的参数方程化为普通方程；‎ ‎(2)若点P(x,y)是曲线C上的动点，求x+y的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据曲线的参数方程，消去参数，即可得到曲线的普通方程；‎ ‎（2）根据曲线的参数方程，求得，再利用三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）为参数，‎ 曲线C的普通方程为． ‎ ‎（2）‎ 当时，取得最大值5，‎ 当时，取得最小值．‎ 的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及曲线的参数方程的应用，其中解答中掌握参数方程与普通方程的互化方法，以及合理利用曲线的参数方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎19．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A、B两点，‎ 求焦点F的坐标及其离心率  ‎ 求弦AB的长．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由椭圆的标准方程可求得焦点F的坐标及其离心率 ‎ ‎（2）联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求解。‎ ‎【详解】‎ 解：， ‎ 离心率  ‎ 解：由斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F得直线l的方程为 ‎ 设，， ‎ 由得：‎ 所以： ‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）熟悉椭圆的标准方程及其相关概念，（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出及，代入弦长公式求解。‎ ‎20．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意设：抛物线方程为，其准线方程为，根据抛物线的大于可得：，进而得到答案；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得，根据题意可得即k＞-1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值 试题解析：（1）由已知设抛物线C的方程为，则其准线方程为 由抛物线的定义得：P（4,m）到准线的距离为6，即解得：p=4‎ 所以抛物线C的方程为：‎ ‎（2）设 由 AB中点横坐标为2‎ 所以 ‎【考点】1．抛物线的标准方程；2．直线与圆锥曲线的关系 ‎21．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点 ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点,证明．‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎(1)设椭圆方程为，由题设代入点的坐标，求得，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，得到，再由向量的数量积的运算求得，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)设椭圆方程为 ，‎ 由，椭圆过点 可得，‎ 解得 所以可得椭圆方程为. ‎ ‎(2)由题意可设直线MN的方程为：，‎ ‎ 联立直线MN和椭圆的方程： ‎ 化简得(k2＋4)y2－ky－＝0.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则y1y2＝，y1＋y2＝‎ 又A(－2,0)，则＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋ k(y1＋y2)＋＝0，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中通过直线和椭圆的方程联立方程组，转化为方程的根与系数的关系，结合向量的数量积的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎22．已知平面内两个定点，过动点M作直线AB的垂线，垂足为N，且.‎ ‎(1)求点M的轨迹曲线E的方程；‎ ‎(2)若直线与曲线E有交点，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ 设点M坐标为，则，由此得，，‎ 根据向量的运算，即可求解曲线的方程；‎ ‎（2）将直线方程与曲线方程联立方程组，根据直线l 与曲线E只有一个交点，列出不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：设点M坐标为，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即：，‎ 点M的轨迹方程为； ‎ 将直线方程与曲线方程联立，，‎ 当时，直线l 与曲线E渐近线平行，‎ 直线l 与曲线E只有一个交点，‎ 当， 得，‎ 综上，直线与曲线E有交点时，的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎