数学理卷·2017届甘肃省兰州一中高三12月月考（2016
兰州一中 2017 届高三 12 月考试试题
数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，
考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 M={2，3，4，5}，N={x|sinx＞0}，则 M∩N 为（ ）
A．{2，3，4，5} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}
2．设 a，b 为实数，则“ab＞1”是“ ab 1
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所
得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人
所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得
多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A．
5
4 钱 B．
4
3 钱 C．
3
2 钱 D．
5
3 钱
4．已知 1 是 lga 与 lgb 的等比中项，若 a＞1，b＞1，则 ab 有（ ）
A．最小值 10 B．最小值 100 C．最大值 10 D．最大值 100
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．2π﹣
2
3 B．2π﹣
4
3 C．
5
3
D．2π﹣2
6．在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，AB，AC 的边长分别为 2,1，∠BAC＝60°，则 AG BG
＝( )．
A．－8
9 B．－10
9 C．5－ 3
9
D．－5－ 3
9
7．若将函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于 y 轴对称，则φ的
最小正值是( )．
A．π
8 B．π
4 C．3π
8 D．3π
4
myx
xy
y
12
1
8．设实数 x，y 满足约束条件且目标函数 z=x-y 的最小值为-1，则 m=( )．
A．6 B．5 C．4 D．3
9．若函数 f（x）=loga（ 2x -ax+
1
2 ）有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，1） （1， 2 ） C．（1， 2 ） D．[ 2 ，+∞）
10．设函数 f(x)＝ 3－ax－3，x≤7，
ax－6，x>7，
数列{an}满足 an＝f(n)，n∈N，且数列{an}是递增数
列，则实数 a 的取值范围是( )
A．
9
4
，3 B．
9
4
，3 C．(1,3) D．(2,3)
11．已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，在（-3，-2）上为减函数且对任意实数 x 都有 f(2-x)=f(x），
若 A,B 是钝角三角形 ABC 的两个锐角，则（）
A．f(sinA)
f(cosB)
C．f(sinA)= f(cosB) D．f(sinA)与 f(cosB)的大小关系不确定
12．设定义域为 R 的函数
1
2
5 1 0( ) ,
4 4 0
x xf x
x x x
若关于 x 的方程
2 2( ) (2 1) ( ) 0f x m f x m 有 7 个不同的实数解，则 m=( )
A．2 B．4 或 6 C．2 或 6 D．6
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知函数
0( )
( 1) 0
xe xf x
f x x
，则 f（
1ln 4 ）= ．
14．在△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 bcosC=3acosB﹣ccosB， 2BA BC
，
则△ABC 的面积为 ．
15．如图，棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 为线段 A1B 上的动
点，则下列结论正确的有___________
①三棱锥 M﹣DCC1 的体积为定值②DC1⊥D1M
③∠AMD1 的最大值为 90° ④AM+MD1 的最小值为 2．
16.定义在 R 上的奇函数 f x 的导函数满足 ( )f x f x ，且 3 1f x f x ，若
2015f e ，则不等式 xf x e 的解集为__________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 12 分）已知向量 m＝(sin x，－1)，n＝(cos x,3)．
(1)当 m∥n 时，求 sin x＋cos x
3sin x－2cos x
的值；
(2)已知在锐角△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边， 3c＝2asin(A＋B)，
函数 f(x)＝(m＋n)·m，求 f B＋π
8 的取值范围．
18．已知单调递增的等比数列{an}满足 a2＋a3＋a4＝28，且 a3＋2 是 a2，a4 的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 1
2
logn n nb a a ，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数 n，Sn＋(n＋m)an＋1＜0 恒成立，
试求 m 的取值范围.
19．（本小题满分 12 分）某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水
处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道
隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造
价最低，并求出最低总造价．
20．（本小题满分 12 分）已知在多面体 SP﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AB=PC=1，
AD=AS=2，且 AS∥CP 且 AS⊥面 ABCD，E 为 BC 的中点．
(1)求证：AE∥面 SPD；
(2)求二面角 B﹣PS﹣D 的余弦值．
21．（本小题满分 12 分）设函数 f（x）=ex﹣a（x+1）（e 是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（1）若 ' 0 0f ，求实数 a 的值，并求函数 f（x）的单调区间；
（2）设 g（x）=f（x）+ x
a
e ，且 A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线 y=g（x）
上任意两点，若对任意的 a≤﹣1，恒有 g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数 m 的
取值范围；
（3）求证：
1 3 2 1 21
n nn n en n n Ne
．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分 10 分）在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为
1 cos
2 sin
x t
y t
（t 为参
数），在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负
半轴为极轴）中，圆 C 的方程为ρ=6sinθ．
（1）求圆 C 的直角坐标方程；
（2）若点 P（1，2），设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，求|PA|+|PB|的最小值．
23．（本小题满分 10 分）已知函数 f（x）=|x+a|+|x-2|
（1）当 a=-3 时，求不等式 f（x）≥3 的解集；
（2）若 f（x）≤|x-4|的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围．
甘肃省兰州一中 2017 届高三 12 月考试题答案（理）
第 I 卷 （选择题 共 60 分）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。）
1. D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.A
7.C 8. B 9. C 10.D 11.A 12.A
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 14. 2 15. ①②_ 16.
三、解答题：（本题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（本小题满分 12 分）已知向量 m＝(sin x，－1)，n＝(cos x,3)．
(1)当 m∥n 时，求 sin x＋cos x
3sin x－2cos x
的值；
(2)已知在锐角△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边， 3c＝2asin(A＋B)，
函数 f(x)＝(m＋n)·m，求 f B＋π
8 的取值范围．
解 1）解:油已知得 3sinx+cosx=0,；∴cosx=-3sinx∴ sin x＋cos x
3sin x－2cos x
=
9
2 (4 分)
(2) ∵ 3c＝2asin(A＋B)由正弦定理 3sinC＝2sinAsinC∴sinA=
3,2
3 A (6 分)
分）（
分）
分）为锐角三角形，又
12]2
3
2
2,2
3(2
32sin2
2)8(
10(2
3)42sin(2
22cossinsin)()(
8(12sin0,2326
2
BBf
xxxxmnmxf
BBBABC
18．（本小题满分 12 分）某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水
处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道
隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/平方
米，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
,1
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造
价最低，并求出最低总造价．
解(1)设污水处理池的宽为 x 米，则长为162
x 米．
总造价 f(x)＝400×(2x＋2×162
x )＋248×2x＋80×162＝1 296x＋1 296×100
x ＋12 960＝1
296(x＋100
x )＋
12 960≥1 296×2
100
x ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当 x＝100
x (x＞0)，即 x＝10 时取等号．
∴当污水处理池的长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，总造价最低为 38 880 元．
(2)由限制条件知 162≤16，∴81
8 ≤x≤16.设 g(x)＝x＋100
x
81≤x≤16，
g(x)在[
81
8 ，16]上是增函数，∴当 x＝81
8 时(此时162
x ＝16)，g(x)有最小值，即 f(x)有最小值，
即为 1 296×800
81 ＋12 960＝38 882(元)．
∴当污水处理池的长为 16 米，宽为81
8 米时总造价最低，总造价最低为 38 882 元.
19．已知单调递增的等比数列{an}满足 a2＋a3＋a4＝28，且 a3＋2 是 a2，a4 的等差中项.[]
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 1
2
logn n nb a a ，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数 n，Sn＋(n＋m)an＋1＜0 恒成立，
试求 m 的取值范围.
解 (1)设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q.
依题意，有 2(a3＋2)＝a2＋a4，代入 a2＋a3＋a4＝28，得 a3＝8.
∴a2＋a4＝20，∴ a1q＋a1q3＝20，
a3＝a1q2＝8，
解得 q＝2，
a1＝2
或
q＝1
2
，
a1＝32.
又{an}单调递增，∴ q＝2，
a1＝2.
∴an
＝2n.
(2)bn＝2n·log1
2
2n＝－n·2n，
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②
①－②，得 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
＝2（1－2n）
1－2
－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.
由 Sn＋(n＋m)an＋1＜0，
得 2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1＜0 对任意正整数 n 恒成立，
∴m·2n＋1＜2－2n＋1，即 m＜ 1
2n
－1 对任意正整数 n 恒成立.∵ 1
2n
－1＞－1，∴m≤－1，
即 m 的取值范围是(－∞，－1].
20．（本小题满分 12 分）已知在多面体 SP﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AB=PC=1，
AD=AS=2，且 AS∥CP 且 AS⊥面 ABCD，E 为 BC 的中点．
(1)求证：AE∥面 SPD；
(2)求二面角 B﹣PS﹣D 的余弦值．
证明：（1）取 SD 的中点 F，连接 PF，过 F 作 FQ⊥面 ABCD，交 AD 于 Q，
连接 QC，
∵AS⊥面 ABCD，∴AS∥FQ，QF 为 SD 的中点，∴Q 为 AD 的中点，
FQ= AS，PC= AS，∴FQ=PC，且 FQ∥PC，
∴CPFQ 为平行四边形，∴PF∥CQ，
又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形 AECQ 为平行四边形，∴AE∥CQ，
又 PF∥CQ，∴AE∥PF，
∴PF
⊂
面 SPD，AE
⊄
面 SPD，∴AE∥面 SPD．
解：（2）分别以 AB，AD，AS 所在的直线为 x，y，z 轴，
以 A 点为坐标原点建立空间直角坐标系 A﹣xyz，
则 B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），
=（1，2，﹣1）， =（1，0，﹣2）， =（0，2，﹣2），
设面 BPS 与面 SPD 的法向量分别为 =（x，y，z）， =（a，b，c），
则 ，即 ，取 z=2，得 =（4，﹣1，2），
，即 ，取 c=1，得 =（﹣1，1，1），
两平面的法向量所成的角的余弦值为：
cos＜ ＞= = =﹣ ．
∵二面角 B﹣PS﹣D 为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣ ．
21．（本小题满分 12 分）设函数 f（x）=ex﹣a（x+1）（e 是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（1）若 ' 0 0f ，求实数 a 的值，并求函数 f（x）的单调区间；
（2）设 g（x）=f（x）+ x
a
e ，且 A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线 y=g（x）
上任意两点，若对任意的 a≤﹣1，恒有 g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数 m 的
取值范围；
（3）求证：
1 3 2 1 21
n nn n en n n Ne
．
解：（1）∵f（x）=ex﹣a（x+1），
∴f′（x）=ex﹣a，
∵f′（0）=1﹣a=0，∴a=1，∴f′（x）=ex﹣1，
由 f′（x）=ex﹣1＞0，得 x＞0；由 f′（x）=ex﹣1＜0，得 x＜0，
∴函数 f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．…
（2）由 ＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，
令函数 F（x）=g（x）﹣mx，则 F（x）在 R 上单调递增，
∴F′（x）=g′（x）﹣m≥0，即 m≤g′（x）在 R 上恒成立，
，
故 m≤3．
∴实数 m 的取值范围是（﹣∞，3]．
证明：（3）由（1）知 ex≥x+1，
取 （i=1，3，…，2n﹣1）得， ，即 ，
累加得：
．
∴
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分 10 分）在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为
1 cos
2 sin
x t
y t
（t 为参
数），在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负
半轴为极轴）中，圆 C 的方程为ρ=6sinθ．
（1）求圆 C 的直角坐标方程；
（2）若点 P（1，2），设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，求|PA|+|PB|的最小值．
解：（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为 x2+y2=6y，即 x2+（y﹣3）2=9．
（2）将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，
由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设 t1，t2 是上述方程的两根，
∴ ，
又直线过点（1，2），故结合 t 的几何意义得
= ，
∴|PA|+|PB|的最小值为 ．
23．（本小题满分 10 分）已知函数 f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（1）当 a=﹣3 时，求不等式 f（x）≥3 的解集；
（2）若 f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围．
解：（1）当 a=﹣3 时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即① ，或
② ，
或③ ．
解①可得 x≤1，解②可得 x
∈∅
，解③可得 x≥4．
把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1 或 x≥4}．
（2）原命题即 f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x 在[1，2]上恒
成立，
等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1，2]上恒成立．
故当 1≤x≤2 时，﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x 的最小值为 0，
故 a 的取值范围为[﹣3，0]．