数学卷·2018届辽宁省实验中学分校高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届辽宁省实验中学分校高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎2．命题p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，命题q：0＜a＜1，则p是q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知x＞1，x+≥m恒成立，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）‎ ‎4．已知{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．18 B．19 C．20 D．21‎ ‎5．点A，F分别是椭圆C： +=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（　　）‎ A．29 B．31 C．33 D．36‎ ‎7．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣1，3）‎ ‎8．双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2﹣an=1+（﹣1）n，那么S100的值等于（　　）‎ A．2500 B．2600 C．2700 D．2800‎ ‎10．已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（　　）‎ A．3 B． C．4 D．‎ ‎11．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，+∞） D．（，+∞）‎ ‎12．设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．设命题p：，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为　　．‎ ‎15．Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n2﹣3n+3，则数列{an}的通项公式为an=　　．‎ ‎16．已知P为椭圆+=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．‎ ‎18．（12分）（1）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．‎ ‎（2）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，，，且△ABC的周长为．‎ ‎（1）求点A的轨迹方程C；‎ ‎（2）过点P（2，1）作曲线C的一条弦，使弦被这点平分，求此弦所在的直线方程．‎ ‎20．（12分）已知以为一条渐近线的双曲线C的右焦点为．‎ ‎（1）求该双曲线C的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为2的直线l在双曲线C上截得的弦长为，求l的方程．‎ ‎21．（12分）已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）‎ ‎（1）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：．‎ ‎22．（12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求M的方程 ‎（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求a的值．‎ ‎【解答】解：的渐近线为y=，‎ ‎∵y=与3x±2y=0重合，‎ ‎∴a=2．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎2．命题p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，命题q：0＜a＜1，则p是q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：当a=0时，不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，满足条件．‎ 当a≠0时，则满足，‎ 即，‎ 即0＜a＜1时，‎ 综上，不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R时，0≤a＜1，‎ 则p是q成立必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．已知x＞1，x+≥m恒成立，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】问题转化为m≤（x+）min即可，根据基本不等式的性质求出（x+）的最小值即可．‎ ‎【解答】解：若x＞1，x+≥m恒成立，‎ 只需m≤（x+）min即可，‎ 而x+=（x﹣1）++1≥2+1=3，此时x=2取等号，‎ 故m≤3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．18 B．19 C．20 D．21‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，知a3=33，a4‎ ‎=31，利用等差数列的通项公式列出方程组，解得a1=37，d=﹣2，再由等差数列的前n项和公式得到Sn=﹣n2+36n，然后利用配方法能求出Sn达到最大值时n的值．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，‎ ‎∴a3=33，a4=31，‎ ‎∴，‎ 解得a1=37，d=﹣2，‎ ‎∴‎ ‎=﹣n2+38n ‎=﹣（n﹣19）2+361，‎ ‎∴n=19时，Sn达到最大值S19=361．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考要等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础题．解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎5．点A，F分别是椭圆C： +=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由椭圆C： +=1，得a2=16，b2=12，‎ ‎∴，‎ ‎|PF|=，‎ ‎|AF|=a+c=6，‎ ‎∴△AFP的面积为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（　　）‎ A．29 B．31 C．33 D．36‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a2•a3=2a1=a1q•=a1•a4，‎ ‎∴a4=2．‎ ‎∵a4与2a7的等差中项为，‎ ‎∴a4 +2a7 =，‎ 故有a7 =．‎ ‎∴q3==，‎ ‎∴q=，‎ ‎∴a1==16．‎ ‎∴S5==31．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣1，3）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据不等式f（x）＞0的解集得出x的取值范围，再由f（﹣x）＜0得出﹣x的取值范围，从而求出不等式f（﹣x）＜0的解集．‎ ‎【解答】解；由题意，不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），‎ 所以f（x）＜0的解是：x＞3或x＜﹣1，‎ 于是由f（﹣x）＜0得：﹣x＞3或﹣x＜﹣1，‎ 解得x＜﹣3或x＞1；‎ 所以不等式f（﹣x）＜0的解集是 ‎（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解集与应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎8．双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．‎ ‎【解答】解：双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为 y=x，‎ 由于一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，‎ 则有=2，即有b=2a，‎ c==a，‎ 则离心率为e==．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2﹣an=1+（﹣1）n，那么S100的值等于（　　）‎ A．2500 B．2600 C．2700 D．2800‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由an+2﹣an=1+（﹣1）n可得 即n为奇数时，an+2=an ‎ n为偶数时，an+2﹣an=2，‎ S100=（a1+a3+…+a99）+（a2+…+a100）分组求和 ‎【解答】解：据已知当n为奇数时，‎ an+2﹣an=0⇒an=1，‎ 当n为偶数时，an+2﹣an=2⇒an=n，‎ ‎，‎ ‎=50+50×=2600．‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查数列的求和公式的基本运用，由于（﹣1）n会因n的奇偶有正负号的变化，解题时要注意对n分奇偶的讨论分组求和．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（　　）‎ A．3 B． C．4 D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，‎ 根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，‎ ‎∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，‎ ‎∴=，‎ ‎∵y12=4x1，‎ ‎∴解得x1=或x1=4，‎ ‎∵|AF|＞2，‎ ‎∴x1=4，‎ ‎∴A点到原点的距离为=4，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用抛物线的定义建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，+∞） D．（，+∞）‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．‎ ‎【解答】解：由题意作出其平面区域，‎ 由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，‎ 将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，‎ z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，‎ 则﹣a，‎ 则a，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|‎ ‎，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，‎ ‎∴|PF2|=|F2F1|‎ ‎∵P为直线x=上一点 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．设命题p：，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　[0，]　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分不必要条件，确定实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由，得（2x﹣1）（x﹣1）＜0，解得，所以p：．‎ 由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得[x﹣（a+1）]（x﹣a）≤0，即a≤x≤a+‎ ‎1，即q：a≤x≤a+1，‎ 要使p是q的充分不必要条件，则，解得 所以a的取值范围是[0，]，‎ ‎ 故答案为：[0，]．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用分数不等式和一元二次不等式的解法求出对应的解是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为　3+2　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：∵x=﹣2时，y=loga1﹣1=﹣1，‎ ‎∴函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），‎ ‎∵点A在直线mx+ny+1=0上，‎ ‎∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，‎ ‎∵mn＞0，‎ ‎∴m＞0，n＞0， +=（+）（2m+n）=3++≥3+2，‎ 当且仅当=时取等号， +的最小值为3+2．‎ 故答案为：3+2．‎ ‎【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．‎ ‎　‎ ‎15．Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n2﹣3n+3，则数列{an}的通项公式为an=　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用递推关系n=1时，a1=S1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．即可得出．‎ ‎【解答】解：n=1时，a1=S1=1；‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣3n+3﹣[（n﹣1）2﹣3（n﹣1）+3]=2n﹣4，‎ ‎∴an=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了数列的递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．已知P为椭圆+=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为　7　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆+=1可得焦点分别为：F1（﹣3，0），F2（3，0）．|PF1|+|PF2|=2a．圆（x+3）2+y2=1的圆心与半径分别为：F1，r1=1；圆（x﹣3）2+y2=4的圆心与半径分别为：F2，r2=2．利用|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．即可得出．‎ ‎【解答】解：由椭圆+=1可得a=5，b=4，c=3，因此焦点分别为：F1（﹣3，0），F2（3，0）．‎ ‎|PF1|+|PF2|=2a=10．‎ 圆（x+3）2+y2=1的圆心与半径分别为：F1（﹣3，0），r1=1；‎ 圆（x﹣3）2+y2=4的圆心与半径分别为：F2（3，0），r2=2．‎ ‎∵|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．‎ ‎∴|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．‎ 故答案为：7．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）（2010•新课标）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．‎ ‎（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．‎ ‎【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得 a1+9d=﹣9，a1+2d=5‎ 解得d=﹣2，a1=9，‎ 数列{an}的通项公式为an=11﹣2n ‎（2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．‎ 因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．‎ 所以n=5时，Sn取得最大值．‎ ‎【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•皇姑区校级期中）（1）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．‎ ‎（2）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．‎ ‎【分析】（1）根据一元二次方程的根的分布可得答案．‎ ‎（2）对二次项系数进行讨论求解．‎ ‎【解答】解：方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，‎ 即，，△=b2﹣4ac＞0，‎ 可得：‎ 解得：0＜m＜1．‎ 故得实数m的取值范围是（0，1）．‎ ‎（2）（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立．‎ ‎①若m2﹣2m﹣3=0，则m=﹣1或m=3．‎ 当m=﹣1时，不合题意；当m=3时，符合题意．‎ ‎②若m2﹣2m﹣3≠0，设f（x）=（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立．‎ 则：m2﹣2m﹣3＜0，△=b2﹣4ac＜0，‎ 解得：．‎ 故得实数m的取值范围是（﹣，3）．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的根的分布以及一元二次不等式的解法计算．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•皇姑区校级期中）在△ABC中，，，且△ABC的周长为．‎ ‎（1）求点A的轨迹方程C；‎ ‎（2）过点P（2，1）作曲线C的一条弦，使弦被这点平分，求此弦所在的直线方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4，|BC|=4．可得|AB|+|AC|=8＞|BC|．因此点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．则2a=8，c=2，b2=a2﹣c2，联立解得即可得出．‎ ‎（2）设直线与曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=2．由A，B在椭圆上，可得，两式相减，利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4，|BC|=4．‎ ‎∴|AB|+|AC|=8＞|BC|．‎ ‎∴点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．‎ 设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．‎ 则2a=8，c=2，b2=a2﹣c2，‎ 联立解得a=4，b=2．‎ ‎．‎ ‎（2）设直线与曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=4，y1+y2=2．∵A，B在椭圆上，∴，‎ 两式相减，得∴，‎ ‎∴，∴直线方程为x+2y﹣4=0．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•皇姑区校级期中）已知以为一条渐近线的双曲线C的右焦点为．‎ ‎（1）求该双曲线C的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为2的直线l在双曲线C上截得的弦长为，求l的方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设双曲线的标准方程：（a＞0，b＞0），由c=‎ ‎，渐近线方程：y=±x，，由c2=a2﹣b2=5，即可求得a和b的值，求得双曲线的标准方程；‎ ‎（2）设l：y=2x+m，代入双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的值，即可求得l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由抛物线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程：（a＞0，b＞0），‎ 由c=，渐近线方程：y=±x，‎ ‎∴=，即，即2a2=3b2，‎ 由c2=a2﹣b2=5，解得：a2=3，b2=2，‎ ‎∴双曲线C的标准方程；‎ ‎（2）设l：y=2x+m，与双曲线的交点为：M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 则，整理得：10x2+12mx+3m2+6=0，‎ 由韦达定理可知：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎∴，‎ 解得，．‎ ‎∴l的方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•荆门模拟）已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）‎ ‎（1）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*），两边同除以2n，即可证明数列{}是等差数列；‎ ‎（2）求出数列{}的通项，即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）先错位相减求和，再利用放缩法，即可证得结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；‎ ‎（2）解：由（1）得 ‎∴an=；‎ ‎（3）解：∵Sn=++…+‎ ‎∴2Sn=++…+‎ 两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣=（3﹣2n）•2n﹣3‎ ‎∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式及前n项和，考查不等式的证明，考查构造法的运用，确定数列的通项，正确求和是关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2013•新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求M的方程 ‎（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．‎ ‎（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD=即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），‎ 则，，相减得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，又=，‎ ‎∴，即a2=2b2．‎ 联立得，解得，‎ ‎∴M的方程为．‎ ‎（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，‎ 联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，‎ ‎∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，‎ ‎∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．‎ 设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．‎ ‎∴|CD|===．‎ 联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，‎ ‎∴交点为A（0，），B，‎ ‎∴|AB|==．‎ ‎∴S四边形ACBD===，‎ ‎∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．‎ ‎∴四边形ACBD面积的最大值为．‎