高中数学人教a版选修2-3练习：3-2独立性检验的基本思想及其初步应用word版含解析

高中数学人教a版选修2-3练习：3-2独立性检验的基本思想及其初步应用word版含解析

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．通过对 K2 的统计量的研究得到了若干个临界值，当 K2≤2.706 时，我们 认为( ) A．在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为 X 与 Y 有关系 B．在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 X 与 Y 有关系 C．没有充分理由认为 X 与 Y 有关系 D．不能确定 【解析】 ∵K2≤2.706，∴没有充分理由认为 X 与 Y 有关系． 【答案】 C 2．下列关于等高条形图的叙述正确的是( ) A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系 B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小 C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系 D．以上说法都不对 【解析】 在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故 A 错．在 等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故 B 错． 【答案】 C 3．分类变量 X 和 Y 的列联表如下： y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 则下列说法正确的是( ) A．ad－bc 越小，说明 X 与 Y 关系越弱 B．ad－bc 越大，说明 X 与 Y 关系越弱 C．(ad－bc)2 越大，说明 X 与 Y 关系越强 D．(ad－bc)2 越接近于 0，说明 X 与 Y 关系越强 【解析】 对于同一样本，|ad－bc|越小，说明 X 与 Y 之间关系越弱；|ad－ bc|越大，说明 X 与 Y 之间的关系越强． 【答案】 C 4．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有 99.5%的 把握认为事件 A 和 B 有关系，则具体计算出的数据应该是( ) A．k≥6.635 B．k<6.635 C．k≥7.879 D．k<7.879 【解析】 有 99.5%的把握认为事件 A 和 B 有关系，即犯错误的概率为 0.5%， 对应的 k0 的值为 7.879，由独立性检验的思想可知应为 k≥7.879. 【答案】 C 5．通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表 的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d 算得， k＝110×40×30－20×202 60×50×60×50 ≈7.8. 附表： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是( ) A．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有 关” B．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无 关” C．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【解析】 由 k≈7.8 及 P(K2≥6.635)＝0.010 可知，在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别有关”． 【答案】 C 二、填空题 6．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据： 吃零食 不吃零食 总计 男学生 27 34 61 女学生 12 29 41 总计 39 63 102 根据上述数据分析，我们得出的 K2 的观测值 k 约为________. 【导学号： 97270063】 【解析】 由公式可计算得 k＝102×27×29－34×122 39×63×61×41 ≈2.334. 【答案】 2.334 7．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量 的电离辐射照射小白鼠，在照射 14 天内的结果如表所示： 死亡 存活 总计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 总计 20 30 50 进行统计分析时的统计假设是________． 【解析】 根据独立性检验的基本思想，可知类似于反证法，即要确认“两 个分量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立．对于本题， 进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关”． 【答案】 小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关 8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法： ①若 K2 的观测值 k>6.635，则在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为 吸烟与患肺病有关系，那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病； ②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为吸烟与患 肺病有关系时，若某人吸烟，则他有 99%的可能患有肺病； ③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为吸烟与患 肺病有关系时，是指有 5%的可能性使得推断错误． 其中说法正确的是________．(填序号) 【解析】 K2 是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确 定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推 断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确． 【答案】 ③ 三、解答题 9．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下表． 阳性 阴性 总计 荧光抗体法 160 5 165 常规培养法 26 48 74 总计 186 53 239 附： P(K2≥k0) 0.010 0.005 0.001 k0 6.635 7.879 10.828 (1)利用图形判断采用荧光抗体法与检验结果呈阳性是否有关系； (2)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为采用荧光抗体法与检验 结果呈阳性有关系？ 【解】 (1)作出等高条形图如图所示，由图知采用荧光抗体法与检验结果 呈阳性有关系． (2)通过计算可知 K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ≈113.184 6.而查表可知，因 为 P(K2≥10.828)≈0.001，而 113.184 6 远大于 10.828，所以在犯错误的概率不超 过 0.001 的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系． 10．有人发现一个有趣的现象，中国人的邮箱里含有数字比较多，而外国人 邮箱名称里含有数字比较少，为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系，他收 集了 124 个邮箱名称，其中中国人的 64 个，外国人的 60 个，中国人的邮箱中有 43 个含数字，外国人的邮箱中有 27 个含数字． (1)根据以上数据建立 2×2 列联表； (2)他发现在这组数据中，外国人邮箱里含数字的也不少，他不能断定国籍 和邮箱名称里含有数字是否有关，你能帮他判断一下吗？ 【解】 (1)2×2 的列联表： 中国人 外国人 总计 有数字 43 27 70 无数字 21 33 54 总计 64 60 124 (2)假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无关”． 由表中数据得 k＝124×43×33－27×212 70×54×64×60 ≈6.201. 因为 k>5.024，所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无 关”是不合理的，即在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“国籍和邮箱名 称里与是否含有数字有关”． [能力提升] 1．对两个分类变量 A，B，下列说法中正确的个数为( ) ①A 与 B 无关，即 A 与 B 互不影响； ②A 与 B 关系越密切，则 K2 的值就越大； ③K2 的大小是判定 A 与 B 是否相关的唯一依据． A．1 B．2 C．3 D．0 【解析】 ①正确，A 与 B 无关即 A 与 B 相互独立；②不正确，K2 的值的 大小只是用来检验 A 与 B 是否相互独立；③不正确，也可借助等高条形图等．故 选 A. 【答案】 A 2．(2016·晋江市季延中学期中)某研究所为了检验某血清预防感冒的作用， 把500名使用了该血清的志愿者与另外 500 名未使用该血清的志愿者一年中的感 冒记录作比较，提出假设 H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用 2×2 列联表计算得 K2≈3.918，经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下列叙述中正 确的是( ) A．有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” B．若有人未使用该血清，那么他一年中有 95%的可能性得感冒 C．这种血清预防感冒的有效率为 95% D．这种血清预防感冒的有效率为 5% 【解析】 K2≈3.918>3.841，因此有 95%的把握认为“这种血清能起到预 防感冒的作用”，故选 A. 【答案】 A 3．为研究某新药的疗效，给 100 名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的 数据： 无效 有效 总计 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 总计 21 79 100 设 H：服用此药的效果与患者的性别无关，则 K2 的观测值 k≈________(小 数点后保留一位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关， 这种判断出错的可能性为________． 【解析】 由公式计算得 K2 的观测值 k≈4.9.∵k>3.841，∴我们有 95%的把 握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有 5%的可能性出错． 【答案】 4.9 5% 4．(2016·潍坊高二检测)为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块 试验田种植的一批玉米共 10 000 株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法 抽取 50 株作为样本，统计结果如下： 高茎 矮茎 总计 圆粒 11 19 30 皱粒 13 7 20 总计 24 26 50 (1)现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出 6 株玉米，再 从这 6 株玉米中随机选出 2 株，求这 2 株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率； (2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否有 95%的把握认为玉米的圆粒与 玉米的高茎有关？ 【解】 (1)依题意，取出的 6 株圆粒玉米中含高茎 2 株，记为 a，b；矮茎 4 株，记为 A，B，C，D，从中随机选取 2 株的情况有如下 15 种：aA，aB，aC， aD，bA，bB，bC，bD，ab，AB，AC，AD，BC，BD，CD. 其中满足题意的共有 aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，共 8 种，则所 求概率为 P＝ 8 15. (2)根据已知列联表， 得 k＝50×11×7－13×192 30×20×24×26 ≈3.860>3.841，即有 95%的把握认为玉米的圆 粒与玉米的高茎有关．