2020版高中数学 第二章 数列 等差数列的前n项和

2020版高中数学 第二章 数列 等差数列的前n项和

第1课时　等差数列的前n项和 课后篇巩固探究 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A组 ‎1.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=(　　)‎ A.12 B‎.13 ‎C.14 D.15‎ 解析∵S5==25,‎ ‎∴a2+a4=10.‎ 又a2=3,∴a4=7,∴公差d=2.‎ ‎∴a7=a4+3d=7+3×2=13.‎ 答案B ‎2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和S11=(　　)‎ A.58 B‎.88 ‎C.143 D.176‎ 解析∵S11=,a1+a11=a4+a8=16,‎ ‎∴S11==88,故选B.‎ 答案B ‎3.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=(　　)‎ A.8 B‎.7 ‎C.6 D.5‎ 解析由a1=1,公差d=2,得an=2n-1.又Sk+2-Sk=ak+1+ak+2,所以2k+1+2k+3=24,得k=5,故选D.‎ 答案D ‎4.若公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和,且a8+ak=0,则正整数k的值为(　　)‎ A.20 B‎.21 ‎C.22 D.23‎ 解析设等差数列{an}的前n项和为Sn,由题意,得S21=S8,即a9+a10+…+a21=0.根据等差数列的性质,得‎13a15=0,即a15=0.故a8+a22=‎2a15=0,即k=22.故选C.‎ 答案C ‎5.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,令bn= (a1+a2+…+an),则数列{bn}的前10项和T10=(　　)‎ A.70 B‎.75 ‎C.80 D.85‎ 解析∵an=2n+1,‎ ‎∴数列{an}是等差数列,首项a1=3,其前n项和Sn==n2+2n,∴bn=Sn=n+2,∴数列{bn}也是等差数列,首项b1=3,公差为1,∴其前10项和T10=10×3+×1=75,故选B.‎ 5‎ 答案B ‎6.设数列{an}是等差数列,且a2+a3+a4=15,则该数列的前5项和S5=　　　　. ‎ 解析由a2+a3+a4=15,得‎3a3=15,解得a3=5,故S5==‎5a3=25.‎ 答案25‎ ‎7.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若S12=8S4,则=.‎ 解析∵S12=‎12a1+d,S4=‎4a1+d,‎ ‎∴‎12a1+66d=‎32a1+48d.∴‎20a1=18d.‎ ‎∴.‎ 答案 ‎8.已知数列{an}的前n项和为Sn=n·2n-1,则a3+a4+a5=　　　　. ‎ 解析a3+a4+a5=S5-S2=(5×25-1)-(2×22-1)=152.‎ 答案152‎ ‎9.导学号04994034设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{an}的通项公式.‎ 解依题意,得=3n-2,‎ 即Sn=3n2-2n.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1‎ ‎=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.‎ 因为a1=S1=1,满足an=6n-5,‎ 所以an=6n-5(n∈N*).‎ ‎10.(2017·江西上高二中期末)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.‎ ‎(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解(1)∵an+2=2an+1-an+2,‎ ‎∴an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.‎ 又b1=a2-a1=2-1=1,‎ ‎∴数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)可知,an+1-an=1+2(n-1)=2n-1,‎ ‎∴an-an-1=2(n-1)-1,‎ an-1-an-2=2(n-2)-1,‎ 5‎ ‎……‎ a2-a1=2×1-1,‎ 累加,得an-a1=2×-(n-1)=n2-2n+1,‎ ‎∴an=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=n2-2n+2.‎ B组 ‎1.在等差数列{an}中,‎2a4+a7=3,则数列{an}的前9项和S9等于(　　)‎ A.3 B‎.6 ‎C.9 D.12‎ 解析设等差数列{an}的公差为d,因为‎2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,即a5=1,所以S9==‎9a5=9.‎ 答案C ‎2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an等于(　　)‎ A.n B.n‎2 ‎C.2n+1 D.2n-1‎ 解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1适合上式,故an=2n-1(n∈N*).‎ 答案D ‎3.已知等差数列{an},a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于(　　)‎ A.30 B‎.45 ‎C.90 D.186‎ 解析由等差数列{an}易得公差d1=3.又bn=a2n,所以{bn}也是等差数列,公差d2=6.故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+×6=90.‎ 答案C ‎4.设Sn为等差数列{an}的前n项和,Sn=336,a2+a5+a8=6,an-4=30(n≥5,n∈N*),则n等于(　　)‎ A.8 B‎.16 ‎C.21 D.32‎ 解析由a2+a5+a8=6,得‎3a5=6,所以a5=2.因为a5+an-4=a1+an=2+30=32,所以Sn==336,解得n=21.‎ 答案C ‎5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则a5=　　　　. ‎ 解析当n≥2时,由Sn=2an-1,得Sn-1=2an-1-1.两式相减,得an=2an-2an-1,所以an=2an-1.因为a1=‎2a1-1,所以a1=1,故a5=‎2a4=‎22a3=‎23a2=‎24a1=16.‎ 答案16‎ ‎6.在数列{an}中,an=4n-,a1+a2+…+an=an2+bn+c,n∈N*,其中a,b为常数,则ab+c=　　　　. ‎ 解析因为an=4n-,即an是关于n的一次函数,所以数列{an}是等差数列,所以a1+a2+…+an==2n2-n,因此a=2,b=-,c=0,故ab+c=2×+0=-1.‎ 5‎ 答案-1‎ ‎7.已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.‎ ‎(1)求证:是等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明∵-an=2SnSn-1(n≥2),∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2).又Sn≠0(n=1,2,3,…),∴=2.‎ 又=2,∴是以2为首项,2为公差的等差数列.‎ ‎(2)解由(1)可知=2+(n-1)·2=2n,∴Sn=.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-;‎ 当n=1时,S1=a1=.故an=‎ ‎8.导学号04994035设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=λan-1(λ为常数,n=1,2,3,…).‎ ‎(1)若a3=,求λ的值;‎ ‎(2)是否存在实数λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.‎ 解(1)因为Sn=λan-1,‎ 所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1.‎ 由a1=λa1-1,可知λ≠1,‎ 所以a1=,a2=,a3=.‎ 因为a3=,所以,解得λ=0或λ=2.‎ ‎(2)假设存在实数λ,使得数列{an}是等差数列,则‎2a2=a1+a3,‎ 由(1)可得,‎ 5‎ 所以,即=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{an}是等差数列.‎ 5‎