数学卷·2018届上海市浦东新区高三上学期期末教学质量检测（2018

数学卷·2018届上海市浦东新区高三上学期期末教学质量检测（2018

浦东新区2017学年度第一学期教学质量检测 高三数学试卷 2017.12‎ 注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.‎ ‎ 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.‎ ‎1. 集合,，则________.‎ ‎2. 不等式的解集为_________.‎ ‎3. 已知函数的反函数是，则_________. ‎ ‎4. 已知向量，则向量在向量的方向上的投影为_________.‎ ‎5. 已知是虚数单位，复数满足，则__________.‎ ‎6. 在的二项展开式中，的系数是_________.‎ ‎7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为______________. ‎ ‎8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是______________.‎ ‎9. 已知等比数列 前项和为，则使得的的最小值为_______.‎ ‎10. 圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为_______________.‎ ‎11. 已知函数，将的图像向左平移个单位得到函数的图像，令.如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_________.‎ ‎12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，是双曲线上的两个动点，动点满足：，直线与直线斜率之积为.已知平面内存在两定点 ‎，使得为定值，则该定值为____________.‎ 二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.‎ ‎13. 若实数，则命题甲“”是命题乙“”的（ ）条件．‎ A．充分非必要 B．必要非充分 ‎ C．充要 D．既非充分又非必要 ‎14.已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是(　 　)小时． ‎ A． B． C． D． ‎ ‎16. 关于的方程恰有3个实数根，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎17. （本题满14分，第1小题7分，第2小题7分）‎ 如图，在长方体中，，，. ‎ ‎（1）求异面直线与所成的角;‎ ‎（2）求三棱锥的体积. ‎ ‎18. （本题满14分，第1小题7分，第2小题7分）‎ 在中，角所对的边分别为，已知：，‎ ‎，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎19. （本题满14分，第1小题6分，第2小题8分）‎ 已知等差数列的公差为2，其前项和.‎ ‎（1）求的值及的通项公式;‎ ‎（2）在等比数列中，，令，求数列 前项和.‎ ‎20. （本题满16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为；设点，在 中，，周长为.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点.若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.‎ ‎21. （本题满18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）‎ 已知函数的定义域为，值域为，即.若，则称在D上封闭.‎ ‎（1）试分别判断函数、在上是否封闭，并说明理由；‎ ‎（2）函数的定义域为，且存在反函数.若函数在D上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；‎ ‎（3）已知函数的定义域是，对任意，若，有恒成立，则称在D上是单射.已知函数在D上封闭且单射，并且满足，其中 ‎.证明：存在D的真子集 ‎，使得在所有上封闭.‎ 浦东新区2017学年度第一学期教学质量检测 高三数学试卷 2017.12‎ 注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.‎ ‎ 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.‎ ‎1.集合,，则________.【答案】‎ ‎2.不等式的解集为_________.【答案】‎ ‎3.已知函数的反函数是，则_________.【答案】 ‎ ‎4.已知向量，则向量在向量上的投影为_________.【答案】‎ ‎5. 已知是虚数单位，复数满足，则__________.【答案】‎ ‎6. 在的二项展开式中，的系数是_________.【答案】‎ ‎7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中抽取4个，其中恰好有1个二等品的概率为______________.【答案】 ‎ ‎8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是______________.【答案】‎ ‎9.已知等比数列 前项和为，则使得的的最小值为________.【答案】10‎ ‎10. 圆锥的底面圆半径，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为_________.【答案】‎ ‎11. 已知函数，将向左平移个单位得，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_________. 【答案】‎ ‎12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点.是双曲线上的两个动点，动点满足：，直线与直线斜率之积为.已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值大小为______.【答案】‎ 二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.‎ ‎13. 若实数，命题甲“”是命题乙“”的（ B ）条件．‎ A．充分非必要 B．必要非充分 ‎ C．既充分又必要 D．既非充分又非必要 ‎14. 已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系 （为自然对数的底数，为常数），若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是(　 C )小时． ‎ A． B． C． D． ‎ ‎16. 关于的方程恰有3个实数根，则 （ B ）．‎ A． B． C． D．‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎17. （满分14分，第1小题7分，第2小题7分）‎ ‎ 如图，在长方体中，‎ ‎，，. ‎ ‎（1）求异面直线与所成的角；‎ ‎（2）求三棱锥的体积. ‎ 解：（1） 是异面直线与所成的角或其补角.………2分 在等腰中，‎ 易得……………………4分 即：异面直线与所成的角……………………1分 ‎（2）……………………4分 ‎……………………3分 ‎18. （满分14分，第1小问7分，第2小问7分）‎ 在中，角所对的边分别为，已知：，‎ ‎，且；‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ 解：（1）由，∴，……………………2分 由正弦定理得：，……2分 ‎∴；‎ ‎； ‎ 由，∴，……………………2分 ‎∴；……………………1分 ‎（2）由，∴，∴，∴；……………………4分 由知，，∴，……………2分 ‎∴.……………………1分 ‎19. （满分14分，第1小题6分，第2小题8分）‎ 已知等差数列的公差为2，其前项和.‎ ‎（1）求的值及的通项公式;‎ ‎（2）在等比数列中，，令，求数列 前项和。‎ 解：（1）‎ ‎……………………3分 ‎， ……………………3分 ‎（2）∵，‎ ‎∴，，……………………2分 当时，‎ ‎ ‎ ‎……………………3分 当时，是偶数，‎ ‎……………………3分 ‎20. （满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为；设点，在中，，周长为.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点。若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.‎ 解：（1）由得： ，所以………①‎ 又周长为，所以………②‎ 解①②方程组，得 所以椭圆方程为………………………4分 ‎（2）设直线方程：，交点 ‎………………………1分 ‎ …………………………1分 ‎ ………………………………………1分 依题：即：…………………………1分 ‎ ……………………………………………………………1分 过定点…………………………………………1分 ‎（3），………………………1分 设直线与椭圆相切，‎ ‎……………………1分 得两切线到的距离分别为 ‎………………………1分 当时，个数为0个 当时，个数为1个 当时，个数为2个 当时，个数为3个 当时，个数为4个……………………3分 ‎21. （满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）‎ 已知函数的定义域为，值域为，即.若，则称在D上封闭.‎ ‎（1）试分别判断函数、函数在上是否封闭，并说明理由；‎ ‎（2）函数的定义域为，且存在反函数.若函数在D上封闭，且函数在上也封闭，求的取值范围；‎ ‎（3）已知函数的定义域是，对任意，若，有恒成立，则称在D上是单射.已知函数在D上封闭且单射，并且满足,其中 ‎.证明：存在D的真子集，使得在所有上封闭.‎ 解：（1）因为函数的定义域为，值域为，（取一个具体例子也可），所以在上不封闭.…………………………（结论和理由各1分）‎ 在上封闭。……………………（结论和理由各1分）‎ ‎（2）函数在D上封闭，则.‎ 函数在上封闭，则，‎ 得到：.…………………………………………（2分）‎ 在单调递增.‎ 则在两不等实根．…………（1分）‎ ‎，‎ 故，解得． …………（3分）‎ 另解：在两不等实根．‎ 令 在有两个不等根，画图，由数形结合可知，‎ 解得．‎ ‎（3）如果，则，与题干矛盾.‎ 因此。取，则.…………………………（2分）‎ 接下来证明。‎ 因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说.……………………………………………………（2分）‎ 考虑到，即，‎ 因为是单射，则 这样就有了.………………………………………………（3分）‎ 接着令，并重复上述论证证明.…………（1分）‎