云南省陆良县2020届高三上学期适应性考试数学（理）试题

云南省陆良县2020届高三上学期适应性考试数学（理）试题

陆良县 2020 届高三毕业班第二次适应性考试 理科数学试题卷 （考试 时间：120 分钟；全卷满分：150 分） 一、选择题:（本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．） 1.若集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.已知 为实数，若复数 为纯虚数，则 （ ） A. B. C. D. 3. 的值等于( ) A. B. C. D. 4.若 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C. D． 5.在半径为 2 的圆形纸板中间，有一个边长为 2 的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞 针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题： 松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如 图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则 输出的 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 9 7. 的展开式中，含吧 的项的系数是（ ） A. B. C. D. { }| 0 2A x x= ≤ ≤ { }2| 1B x x= > =A B∩ { }| 0 1x x≤ ≤ { }| 0 2x x< ≤ { }|1 2x x< ≤ { }| 0 1x x x> < −或 a ( )( )1 2a i i+ − a = 1 2 − 2 1 2 2− 2 2sin 15 cos 15 sin15 cos15+ +    6 2 5 4 2 3 31 4 + 3 1log 2a = 2log 3b = 0.31 2c  =    , ,a b c c b a> > b c a> > b a c> > c a b> > 4 π 3 π 2 π 1 π n = ( )2 611 2x x x  + −   2x 55 25 25− 8.函数 的大致图像是（ ） 9.等差数列 的首项为 2，公差不等于 0，且 ，则数列 的前 2019 项和 （ ） A. B. C. D. 10.已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，且抛物线 的准线被双曲线截得的线段长为 6，那么该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 11. 已知三棱锥 的四个顶点均在球 的球面上， 和 所在平面互相垂 直， , , ,则球 的体积为（ ） A． B． C． D． 12.已知函数 ，若函数 有 个零点，则实数 的取 值范围是（ ）A. B． C. D． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分.） 13．已知 满足不等式组 则 的最小值为__________． 40− ( ) 2 cosx xf x x += { }na 2 3 1 7a a a= 1 1 n na a +       1009 2020 2019 4042 1009 4042 2019 2021 2 8y x= 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 3 2 2 1 2 D ABC− O ABC∆ DBC∆ 3AC = 3AB = 2 3BC CD BD= = = O 4 3 π 4 3π 36π 32 3 π 3( 1) , 0( ) ( 1) , 0x x xf x x e x  − ≥= − + < ( ) ( )g x f x a= − 3 a 2 1(0, )e 2 1( 1, )e − 2( , 1)e− − ( , 1)−∞ − ,x y 2, 2 0, 2 0, x x y x y ≤  + − ≥  − + ≥ 2 2z x y= + 14．曲线 在 处的切线的倾斜角为 __________． 15．各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 _________． 16．已知点 在圆 和圆 的公共弦上，则 的最小值为_________． 三、解答题:（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）已知 ，设 ． （1）求 的解析式并求出它的周期 ； （2）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，求 的面积． 18．（本小题满分 12 分）如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上除 外的一个动点， 垂直于半圆 所在的平面， // , , . （1）证明： 平面 ； （2）当点 为半圆的中点时，求二面角 的正弦值. 19.（本小题满分 12 分）随着经济的发展，个人收入的提高，自 2019 年 1 月 1 日起，个人所 得税起征点和税率作了调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除 5000 元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表： 个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后） 2lny x x = + 1x = α = { }na n nS 3 10S = 6 30S = 12S = (8 ,4 )( 0, 0)a b a b> > 2 2: 4C x y+ = 2 2:( 2) ( 2) 4M x y− + − = 1 2 a b + ( ) ( )3sin ,cos , cos ,cos ,m x x n x x x R= = ∈  ( )f x m n= ⋅  ( )f x T ABC∆ , ,A B C , ,a b c 1, 2, ( ) 1a b c f A= + = = ABC∆ AB O C O ,A B DC O DC EB 1DC EB= = 4AB = DE ⊥ ACD C D AE B− − 免征额 3500 元 免征额 5000 元 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过 1500 元部分 3 1 不超过 3000 元部分 3 2 超过 1500 元至 4500 元的部 分 10 2 超过 3000 元至 12000 元的部 分 10 3 超过 4500 元至 9000 元的部 分 20 3 超过 12000 元至 25000 元的部 分 20 ... ... ... ... ... ... （1)假如小明某月的工资、薪金等税前收入为 7500 元，请你帮小明算一下调整后小明的实际 收入比调整前增加了多少？ （2）某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月 100 个不同层次员工的税前收入， 并制成下面的频数分布表： 收入（元） 人数 40 30 10 8 7 5 先从收入在 及 的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 3 人作为 新纳税法知识宣讲员，用随机变量 表示抽到作为宣讲员的收入在 元的人数， 求 的分布列与数学期望. 20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率 ，一个长轴顶点在直 线 上，若直线 与椭圆交于 两点， 为坐标原点，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 . （1）求该椭圆的方程； [ )3000,5000 [ )5000,7000 [ )7000,9000 [ )9000,11000 [ )11000,13000 [ )13000,15000 [ )3000,5000 [ )5000,7000 X [ )3000,5000 X ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 3 2 2y x= + l ,P Q O OP 1k OQ 2k （2）若 ，试问 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说 明理由. 21.（本小题满分 12 分）已知函数 . （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）当 时，证明: （其中 e 为自然对数的底数）. 选做题：考生在第 22 题，23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题 号，（本题满分 10 分） 22.已知过点 的直线 l 的参数方程是 （ 为参数），以平面直角坐标系的 原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . 1 2 1 4k k⋅ = − OPQ∆ 21( ) (2 1) 2ln2f x ax a x x= − + + 0a > ( )f x 0a = ( ) 2 4xf x e x< − − ( ,0)P a 3 2 1 2 x t a y t  = +  = t x C 6cosρ θ= （1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于 , 两点，试问是否存在实数 ，使得 ？若存在， 求出实数 的值；若不存在，说明理由. 23.已知 ， ， ，函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 的最小值为 ，求 的值，并求 的最小值． l C l C A B a 2 7AB = a 0a > 0b > 0c > ( )f x x a x b c= + + − + 1a b c= = = ( ) 5f x > ( )f x 3 a b c+ + 1 1 1 a b c + + 陆良县 2020 届高三毕业班第二次适应性考试 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B B D B C C B A D A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分） 13 14 15 16 2 150 16 三、解答题 17.解析：（1）由 ， 则 ＝ ， 即函数的周期 ， 故 ，周期为 ． （6 分） （2）因为 ，所以 ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 所以 ， 又 ， 由余弦定理 得： ， 所以 ， 所以 ，即 3 4 π ( 3sin ,cos ), (cos ,cos ),m x x n x x x= = ∈R  ( )f x m n= ⋅  2 3 1 1 13sin cos cos sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 6 2x x x x x x π+ = + + = + + 2 2T π π= = 1( ) sin(2 )6 2f x x π= + + π ( ) 1f A = 1sin(2 ) 16 2A π+ + = 1sin(2 )6 2A π+ = 132 ( , )6 6 6A π π π+ ∈ 52 6 6A π π+ = 3A π= 1, 2a b c= + = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 21 b c bc= + − 2( ) 3 1b c bc+ − = 1bc = . （12 分） 18.证明：（1）因为 是半圆 的直径， 所以 因为 平面 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ， ∵ // , ，∴四边形 为平行四边形 ∴ // ∴ 平面 （6 分） （2）依题意， ,如图所示，建立空间直角坐标系 ,则 , ， ， , 所以 , , 设平面 的法向量为 则 得 设平面 的法向量为 则 得 所以 所以二面角 的正弦值为 . （12 分） 19.解析：（1）按调整起征点前应纳税为： ； 按调整起征点后应纳税为： ； 元 所以小明实际收入增加了 元. （4 分） （2）由频数分布表可知抽取的 7 人 中占 4 人， 中占 3 人 的取值可能值 ; ; 1 3sin2 4ABCS bc A∆ = = AB O BC AC⊥ CD ⊥ ABC CD BC⊥ CD AC C= BC ⊥ ACD DC EB DC EB= BCDE BC DE DE ⊥ ACD 2 2AC BC= = C xyz− (0,0,1)D (2 2,0,0)A (0,2 2,0)B (0,2 2,1)E ( 2 2,2 2,0)AB = − (0,0,1)BE = (0,2 2,0)DE = (2 2,0, 1)DA = − DAE ( , , )n x y z= 0 0 n DE n DA  ⋅ = ⋅ =     2 2 0 2 2 0 y x z  =∴ − = (1,0,2 2)n = ABE ( , , )m x y z= 0 0 n BE n AB  ⋅ = ⋅ =     0 2 2 2 2 0 z x y =∴− + = (1,1,0)m = 1 2cos , 69 2 m nm n m n ⋅= = = ×      D AE B− − 34 6 1500 0.03 2500 0.1 295× + × = 2500 0.03 75× = 295 75 220− = 220 [ )3000,5000 [ )5000,7000 X 0,1,2,3 3 3 3 7 1( 0) 35 CP X C = = = 1 2 4 3 3 7 12( 1) 35 C CP X C = = = ; ; 所以 的分布列为: （12 分） 20.解析：（1）由 ，又由于 ，一个长轴顶点在直线 上， 可得： ， ， . 故此椭圆的方程为 . （4 分） （2）设 ， ，当直线 的斜率存在时，设其方程为 ， 联立椭圆的方程得： ， 由 ，可得 ， 则 ， ， ， 又点 到直线 的距离 ， ， 由于 ， 可得： ， 故 ， 1 12 18 4 12( ) 0 1 2 335 35 35 35 7E X = × + × + × + × = 2 1 4 3 3 7 18( 2) 35 C CP X C = = = 3 4 3 7 4( 3) 35 CP X C = = = X 3 2 ce a = = 0a b> > 2y x= + 2a = 3c = 1b = 2 2 14 x y+ = ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y PQ y kx m= + ( )2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = ( )( )2 2 2 264 4 4 1 4 4 0k m k m∆ = − + − > 2 24 1m k< + 1 2 2 8 4 1 kmx x k + = − + 2 1 2 2 4 4 4 1 mx x k −⋅ = + 2 2 2 1 2 2 4 4 11 4 1 k mPQ x x k k − += − = + ⋅ + O y kx m= + 2 1 md k = + 2 2 2 1 4 122 4 1OPQ k mS d PQ m k∆ − += ⋅ ⋅ = ⋅ + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 y y x x mk k x x x x + +⋅ = = = − 2 24 2 1k m= − 2 2 2 2 1 12 12OPQ m mS m m∆ − − += ⋅ = X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 当直线 的斜率不存在时，可算得： ， 故 的面积为定值 1. （12 分） 21.解析：（1）由题意，函数 的定义域为 , 当 时， 恒成立，故 的递增区间为 ； 当 时，在区间 ， 时 ， 时 ， 所以 的递增区间为 ， ，递减区间为 ； 当 时，在区间 ， 时 ， 时 ， 所以 的递增区间为 ， ，递减区间为 ； （5 分） （2）当 时，由 ,只需证明 . 令 ， . 设 ，则 . 当 时， ， 单调递减; 当 时， ， 单调递增, ∴当 时， 取得唯一的极小值，也是最小值. 的最小值是 成立. 故 成立. （12 分） 22.解析：（1）消 由 PQ 1OPQS∆ = OPQ∆ ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 22 (2 1) 2 ( 2)( 1)(2 1) ax a x x axf x ax a x x x − + + − −= =′ − + + = 1 2a = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )0,+∞ 10 2a< < ( )0,2 1 ,a ∞ +   ( ) 0f x′ > 12, a      ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0,2 1 ,a ∞ +   12, a      1 2a > 10, a      ( )2, ∞+ ( ) 0f x′ > 1 ,2a      ( ) 0f x′ < ( )f x 10, a      ( )2, ∞+ 1 ,2a      0a = ( ) 2 4xf x e x< − − 2xe lnx> + ( ) 2xg x e lnx= − − ( )0x > ( ) 1xg x e x ′ = − ( )0 0g x′ = 0 0 1 (0 1)x oe xx = < < ( )00,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0 ,x x ∞∈ + ( ) 0g x′ > ( )g x 0x x= ( )g x ( )g x ( ) 0 0 0 2xg x e lnx= − − = 0 0 0 0 1 1 12 2 0xln xx e x − − = + − > ( ) 2 4xf x e x< − − t 3 22x y a= × + 直线 的普通方程为 由 ， 曲线 的直角坐标方程为 （5 分） （2）由于曲线 的直角坐标方程为 ，则圆心（3,0）， ， 所以圆心到直线 的距离 ， 根据垂径定理可得 ， 即 ， 可求得 实数 . （10 分） 23.解析：（1）当 时,不等式 即 ，化为 ． 当 时，化为： ，解得 ； 当 时，化为： ，化为： ，解得 ； 当 时，化为： ，解得 ． 综上可得：不等式 的解集为： ； （5 分） （2）由绝对值三角不等式得 ， 由柯西不等式得 ，当且仅当 时，等号成立， 因此， 的最小值为 ． （10 分） ∴ l 3 0x y a− − = 6cosρ θ= 2 6 cosρ ρ θ∴ = ∴ C 2 2 6 0x y x+ − = C 2 2 6 0x y x+ − = 3r = l 3 2 ad −= 2 2 2( )2 ABd r+ = ( )2 23 7 92 a −  + =    3 2 2a = ± ∴ 3 2 2a = ± 1a b c= = = ( ) 5f x > 1 1 1 5x x+ + − + > 1 1 4x x+ + − > 1x ≥ 1 1 4x x+ + − > 2x > 1 1x− < < ( )1 1 4x x+ − − > 2 4> x∈∅ 1x ≤ − ( ) ( )1 1 4x x− + − − > 2x < − ( ) 5f x > ( ) ( ), 2 2,−∞ − +∞ ( ) ( ) ( ) 3f x x a x b c x a x b c a b c= + + − + ≥ + − − + = + + = ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 13 9a b c a b ca b c a b c a b c     + + = + + + + ≥ ⋅ + ⋅ + ⋅ =            1 1 1 3a b c ∴ + + ≥ 1a b c= = = 1 1 1 a b c + + 3