数学卷·2018届山西大学附中高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届山西大学附中高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年山西大学附中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎2．在数列{an}中，an=2n+3，前n项和Sn=an2+bn+c，n∈N*，其中a，b，c为常数，则a﹣b+c=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6‎ ‎3．若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，∞） D．（∞，2]‎ ‎4．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）‎ A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）‎ ‎6．已知，则tan2α=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在△ABC中，若，则△ABC是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎8．将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（　　）‎ A．2ab＞c2 B．a2+b2＜c2 C．2bc＞a2 D．b2+c2＜a2‎ ‎10．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＜f（π）．则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（π）=﹣1‎ B．f（）‎ C．f（x）是奇函数 D．f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）‎ ‎11．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=，则 •的值为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎12．已知点G是△ABC的重心，且AG⊥BG， +=，则实数λ的值为（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎　‎ 二．填空题（每小题3分，共12分）‎ ‎13．数列{an}为等比数列，其前n项的乘积为Tn，若T2=T8，则T10=　　．‎ ‎14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，且=4，则△ABC的面积等于　　．‎ ‎15．已知数列{an}为正项等差数列，满足+≤1（其中k∈N*，且k≥2），则ak的最小值为　　．‎ ‎16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知数列{an}满足a1=3，an+1﹣3an=3n（n∈N*），数列{bn}满足bn=．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎18．设△ABC的三边为a，b，c满足．‎ ‎（Ⅰ）求A的值；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎19．某隧道长2150m，通过隧道的车速不能超过20m/s．一列有55辆车身长都为10m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s）匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤10时，相邻两车之间保持20m的距离；当10＜x≤‎ ‎20时，相邻两车之间保持m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为y（s）．‎ ‎（1）将y表示为x的函数；‎ ‎（2）求车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．‎ ‎20．在△ABC中，∠A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S．‎ ‎（1）若≤2S，求A的取值范围；‎ ‎（2）若tanA：tanB：tanC=1：2：3，且c=1，求b．‎ ‎21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足S，数列{bn}满足，Tn为数列{bn}的前n项和．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式an和Tn；‎ ‎（II）若对任意的n∈N*不等式恒成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山西大学附中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】由a，b为正实数，对于①①利用基本不等式变形分析取值特点即可；对于②利用含绝对值不等式的性质即可加以判断；对于③取出反例数值即可；对于④利用均值不等式进行条件下的等价变形即可．‎ ‎【解答】解：∵a、b是正实数，‎ ‎∴①a+b≥2⇒1≥⇒≥．当且仅当a=b时取等号，∴①不恒成立；‎ ‎②a+b＞|a﹣b|⇒a＞|a﹣b|﹣b恒成立；‎ ‎③a2+b2﹣4ab+3b2=（a﹣2b）2≥0，当a=2b时，取等号，例如：a=2，b=1时，左边=5，右边=4×1×2﹣3×22=﹣4∴③不恒成立；‎ ‎④ab+≥2=2＞2恒成立．‎ 答案：D ‎　‎ ‎2．在数列{an}中，an=2n+3，前n项和Sn=an2+bn+c，n∈N*，其中a，b，c为常数，则a﹣b+c=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】把n等于1代入an=2n+3求出数列的首项，然后利用等差数列的前n项和的公式根据首项和第n项表示出前n项的和，得到前n项的和为一个关于n的多项式，根据多项式相等时，各对应的系数相等即可求出a，b，c的值，即可求出a﹣b+c的值．‎ ‎【解答】解：令n=1，得到a1=2+3=5，‎ 所以，‎ 而Sn=an2+bn+c，则an2+bn+c=n2+4n，‎ 所以a=1，b=4，c=0，‎ 则a﹣b+c=1﹣4+0=﹣3．‎ 故选A ‎　‎ ‎3．若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，∞） D．（∞，2]‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】将原不等式整理成关于x的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论 ‎【解答】解：不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x，可化为（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，‎ 当a﹣2=0，即a=2时，恒成立，合题意．‎ 当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需，解得﹣2＜a＜2．‎ 所以a的取值范围为（﹣2，2]．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．‎ ‎【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．‎ ‎【解答】解：，，‎ 则向量方向上的投影为： •cos＜＞=•===，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）‎ A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求 ‎【解答】解：∵3an+1+an=0‎ ‎∴‎ ‎∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列 ‎∵‎ ‎∴a1=4‎ 由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）‎ 故选C ‎　‎ ‎6．已知，则tan2α=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【分析】由题意结合sin2α+cos2α=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．‎ ‎【解答】解：∵，又sin2α+cos2α=1，‎ 联立解得，或 故tanα==，或tanα=3，‎ 代入可得tan2α===﹣，‎ 或tan2α===‎ 故选C ‎　‎ ‎7．在△ABC中，若，则△ABC是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】利用二倍角公式将已知条件转化为acosA=bcosB，再利用正弦定理与二倍角的正弦化简后判断即可．‎ ‎【解答】解：∵2﹣1=cosA， =cosB，‎ ‎∴已知关系是变形为：acosA=bcosB，‎ 在△ABC中，由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，‎ ‎∴sin2A=sin2B，‎ ‎∴2A=2B或2A=π﹣2B，‎ ‎∴A=B或A+B=．‎ ‎∴△ABC是等腰或直角三角形．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．‎ ‎【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），‎ ‎∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），‎ ‎∵所得的图象关于y轴对称，‎ ‎∴m+=kπ+（k∈Z），‎ 则m的最小值为．‎ 故选B ‎　‎ ‎9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（　　）‎ A．2ab＞c2 B．a2+b2＜c2 C．2bc＞a2 D．b2+c2＜a2‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】由条件利用诱导公式以及两角和与差的余弦函数公式求得cos（A+B）＞0，可得A+B＜，C＞，故△ABC形状 一定是钝角三角形，从而得到a2+b2＜c2 ，由此得出结论．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，由cos（2B+C）+2sinAsinB＜0可得，cos（B+B+C）+2sinAsinB＜0．‎ ‎∴cosBcos（B+C）﹣sinBsin（B+C）+2sinAsinB＜0，即 cosBcos（π﹣A）﹣sinBsin（π﹣A）+2sinAsinB＜0．‎ ‎∴﹣cosBcosA﹣sinBsinA+2sinAsinB＜0，﹣cosBcosA+sinBsinA＜0．‎ 即﹣cos（A+B）＜0，cos（A+B）＞0．‎ ‎∴A+B＜，∴C＞，故△ABC形状一定是钝角三角形，故有 a2+b2＜c2 ．‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＜f（π）．则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（π）=﹣1‎ B．f（）‎ C．f（x）是奇函数 D．f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．‎ 对A，代入求值即可；‎ 对B，代入比较大小即可；‎ 对C，根据奇函数定义，验证是否适合；‎ 对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．‎ ‎【解答】解：∵f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，∴2×+φ=kπ+⇒φ=kπ+，k∈Z．‎ ‎∵f（）＜f（π）⇒sin（π+φ）=﹣sinφ＜sin（2π+φ）=sinφ⇒sinφ＞0．‎ ‎∴φ=2kπ+，k∈Z．不妨取φ=‎ f（）=sin2π=0，∴A×；‎ ‎∵f（）=sin（+）=sin=﹣sin＜0，f（）=sin（+）=sin＞0，∴B×；‎ ‎∵f（﹣x）≠﹣f（x），∴C×；‎ ‎∵2kπ﹣≤2x+≤2kπ+⇒kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z．∴D√；‎ 故选D ‎　‎ ‎11．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=，则 •的值为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．‎ ‎【解答】解：因为3+4+5=，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为A，B，C在圆上，所以．‎ 代入原式得，‎ 所以 ‎=‎ ‎=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知点G是△ABC的重心，且AG⊥BG， +=，则实数λ的值为（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．‎ ‎【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D，‎ 由于G为重心，故D为中点，‎ ‎∵AG⊥BG，∴DG=AB，‎ 由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，‎ 由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，‎ BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，‎ ‎∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，‎ ‎∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，‎ 又∵+=，‎ ‎∴，即λ=，‎ ‎∴λ==‎ ‎====．‎ 即．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二．填空题（每小题3分，共12分）‎ ‎13．数列{an}为等比数列，其前n项的乘积为Tn，若T2=T8，则T10=　1　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由已知利用等比数列的性质得a3×a8=1．从而T10=（a3×a8）5=1．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}为等比数列，其前n项的乘积为Tn，T2=T8，‎ ‎∴a3×a4×…×a8=1，‎ ‎∴（a3×a8）3=1，a3×a8=1．‎ 从而T10=a1×a2×…×a10=（a1×a10）5=（a3×a8）5=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，且=4，则△ABC的面积等于　2　．‎ ‎【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．‎ ‎【分析】利用已知表达式，通过余弦定理求出cosA，求出sinA，通过向量的数量积求出bc的值，然后求出三角形的面积．‎ ‎【解答】解：因为b2+c2=a2+bc，‎ 所以cosA==，‎ ‎∴sinA=．‎ 因为，‎ 所以，bccosA=4，‎ ‎∴bc=8，‎ ‎△ABC的面积：S===2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．已知数列{an}为正项等差数列，满足+≤1（其中k∈N*，且k≥2），则ak的最小值为　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由等差数列的性质得，结合+≤1利用基本不等式求得ak的最小值．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}为正项等差数列，且+≤1，‎ ‎∴≥•（+）=≥=．‎ 当且仅当+=1，且，即a1=3，a2k﹣1=6时上式等号成立．‎ ‎∴ak的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为　　．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示 λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=的最小值．‎ ‎【解答】解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，‎ 则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）． ‎ 设 P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）． ‎ 再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ ），‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴λ+μ===﹣1+．‎ 由题意得 0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．‎ 求得（λ+μ）′==＞0，‎ 故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题：（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知数列{an}满足a1=3，an+1﹣3an=3n（n∈N*），数列{bn}满足bn=．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用条件，结合等差数列的定义，即可证明数列{bn}是等差数列，从而求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用错位相减法求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】（I）证明：∵，，，‎ ‎∴bn+1﹣bn=，…‎ ‎∴数列{bn}是等差数列，…‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴数列{an}的通项公式；…‎ ‎（II）解：∵，‎ ‎∴，‎ 当n≥2时，相减得：‎ ‎∴，…‎ 整理得，‎ 当n=1时，，…‎ 综上，数列{an}的前n项和．…‎ ‎　‎ ‎18．设△ABC的三边为a，b，c满足．‎ ‎（Ⅰ）求A的值；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）已知等式左边利用正弦定理化简，再利用和差化积公式及二倍角的正弦函数公式化简，整理后求出B+C的度数，即可确定出A的值；‎ ‎（Ⅱ）原式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，用B表示出C，代入后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵===2R，‎ ‎∴==cosB+cosC，‎ 整理得： =2coscos，即cos2=，‎ ‎∴cos=，即=，‎ ‎∴B+C=，即A=；‎ ‎（Ⅱ）∵B+C=，‎ ‎∴C=﹣B，即cosC=sinB，‎ ‎∴2cos2+2cos2=1+cosB+（1+cosC）=cosB+cosC++1=cosB+sinB++1=2sin（B+）++1，‎ ‎∵0＜B＜，即＜B+＜，‎ ‎∴＜sin（B+）≤1，即+2＜2sin（B+）++1≤+3，‎ 则2cos2+2cos2的取值范围为（+2， +3]．‎ ‎　‎ ‎19．某隧道长2150m，通过隧道的车速不能超过20m/s．一列有55辆车身长都为10m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s）匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤10时，相邻两车之间保持20m的距离；当10＜x≤20时，相邻两车之间保持m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为y（s）．‎ ‎（1）将y表示为x的函数；‎ ‎（2）求车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）由题目条件，利用对x进行分类讨论，求出离开隧道所用的时间为y；‎ ‎（2）分别求分段函数中上下两个函数式子的最小值，综合它们中的较小者，即可得原函数的最小值，从而车队通过隧道时间y有最小值．‎ ‎【解答】解：（1）当0＜x≤10时，，‎ 当10＜x≤20时， =，‎ 所以，，‎ ‎（2）当x∈（0，10]时，在x=10时，，‎ 当x∈（10，20]时，≈329.4（s），‎ 当且仅当，即：x≈17.3（m/s）时取等号．‎ 因为17.3∈（10，20]，所以当x=17.3（m/s）时，ymin=329.4（s），‎ 而378＞329.4，‎ 所以，当车队的速度为17.3（m/s）时，车队通过隧道时间y有最小值329.4（s）．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，∠A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S．‎ ‎（1）若≤2S，求A的取值范围；‎ ‎（2）若tanA：tanB：tanC=1：2：3，且c=1，求b．‎ ‎【考点】余弦定理；向量在几何中的应用；同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【分析】（1）已知不等式左边利用平面向量的数量积运算法则变形，右边利用三角形面积公式化简，整理求出tanA的范围，即可确定出A的范围；‎ ‎（2）由已知的比例式，设一份为x，表示出tanA，tanB，tanC，由A=π﹣（B+C），利用诱导公式得到tanA=﹣tan（B+‎ C），再利用两角和与差的正切函数公式将等式右边进行变形，将表示出tanA，tanB，tanC代入，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为tanA的值，确定出tanB与tanC的值，进而求出sinB与sinC的值，由c的值，利用正弦定理即可求出b的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵•=cbcosA，S=bcsinA，‎ ‎∴cbcosA≤×2bcsinA，‎ 若A为钝角或直角，显然成立；‎ 若A为锐角，即tanA≥，‎ ‎∵A为三角形内角，‎ ‎∴≤A＜π；‎ ‎（2）由tanA：tanB：tanC=1：2：3，设tanA=x，tanB=2x，tanC=3x，‎ ‎∴tanA=tan[π﹣（B+C）]=﹣tan（B+C）=﹣=﹣=x，‎ 整理得：x2=1，解得：x=1或x=﹣1，‎ ‎∴tanA=1或tanA=﹣1（不合题意，舍去），‎ ‎∴tanA=1，tanB=2，tanC=3，三个角为锐角，‎ ‎∴cosB==，cosC==，‎ ‎∴sinB=，sinC=，‎ ‎∵c=1，‎ ‎∴由正弦定理=得：b===．‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足S，数列{bn}满足，Tn为数列{bn}的前n项和．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式an和Tn；‎ ‎（II）若对任意的n∈N*不等式恒成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎【考点】数列与函数的综合；数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】（I）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，an==2n﹣1，由此推导出an=2n﹣1，从而得到bn==（），由此能求出数列{an}的通项公式an和Tn．‎ ‎（II）由（I）得：λ＜，由此进行分类讨论，能推导出对于任意的正整数n，原不等式恒成立，λ的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）当n=1时，a1=S1=1，‎ 当n≥2时，an==2n﹣1，验证当n=1时，也成立；‎ 所以，an=2n﹣1，‎ bn===（）‎ 所以，Tn==．‎ ‎（II）由（I）得：λ＜，‎ 当n为奇数时，λ＜=2n﹣恒成立，‎ 因为当n为奇数时，2n﹣单调递增，‎ 所以当n=1时，2n﹣﹣1取得最小值为0，‎ 此时，λ＜0．‎ 当n为偶数时， =2n++3恒成立，‎ 因为当n为偶数时，2n++3单调递增，所以当n=2时，2n++3取得最小值为，‎ 此时，λ＜．‎ 综上所述，对于任意的正整数n，原不等式恒成立，λ的取值范围是（﹣∞，0）．‎