西藏拉萨那曲第二高级中学2020届高三第一次月考数学（理）试题

西藏拉萨那曲第二高级中学2020届高三第一次月考数学（理）试题

数学（理科）试卷 第Ⅰ卷选择题（共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用集合交集的概念即可得解.‎ ‎【详解】由题意，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，那么 A. （-1,2） B. （0，1） C. （-1,0） D. （1,2）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用数轴，取所有元素，得．‎ ‎【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．‎ ‎3.若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ）‎ A. -2 B. ‎4 ‎C. D. -4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,虚部为,故选B.‎ ‎4.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由，得：，，故，故选B.‎ ‎5.已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.‎ ‎6.已知向量，，且，那么向量等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合平面向量线性运算的坐标表示即可得解.‎ ‎【详解】，，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题.‎ ‎7.已知复数（为虚数单位），若是纯虚数，则实数等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的运算法则可得，再由纯虚数的概念可得，即可得解.‎ ‎【详解】由题意，‎ 是纯虚数，‎ ‎，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算及纯虚数的概念，属于基础题.‎ ‎8. 下列命题中的假命题是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：对于A．，当x=1成立．‎ 对于B．，当x=成立，‎ 对于C．，当x<0不成立故为假命题 对于 D．，成立，故选C 考点：全称命题和特称命题 点评：主要考查了判定命题真假的的运用，属于基础题．‎ ‎9.已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（ ）‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. －2 D. －1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，由与垂直可知 考点：向量垂直与坐标运算 ‎10.展开式中的常数项为（ ）‎ A. 80 B. ‎-80 ‎C. 40 D. -40‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 ‎【详解】 展开式的通项公式为:，化简得，令，即，故展开式中的常数项为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.‎ ‎11.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（ ）‎ ‎ ‎ A. 0 B. ‎2 ‎C. 4 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由a=14，b=18，a＜b，‎ 则b变为18﹣14=4，‎ 由a＞b，则a变为14﹣4=10，‎ 由a＞b，则a变为10﹣4=6，‎ 由a＞b，则a变为6﹣4=2，‎ 由a＜b，则b变为4﹣2=2，‎ 由a=b=2，‎ 则输出的a=2．‎ 故选B．‎ ‎12. 展开式中的系数为（ ）‎ A. 15 B. ‎20 ‎C. 30 D. 35‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得的系数.‎ ‎【详解】根据二项式定理展开式通项为 则展开式的通项为 则 展开式中的项为 则 展开式中的系数为 故选:C ‎【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.‎ 第Ⅱ卷非选择题（共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.如果实数满足条件，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 画出可行域,再分析直线取最小值时的最优解即可.‎ ‎【详解】画出可行域,易知当直线过与的交点时取最 大值.此时.‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性规划求最小值的问题,属于基础题.‎ ‎14.若函数，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式代入计算即可.‎ 详解】由题, .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值的问题,属于基础题.‎ ‎15.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为，所以令，解得，所以=15，解得.‎ 考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档.‎ ‎16.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说：“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是________．‎ ‎【答案】1和3.‎ ‎【解析】‎ ‎ 根据丙的说法知，丙的卡片上写着和，或和；‎ ‎ （1）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；‎ ‎ 所以甲的说法知，甲的卡片上写着和；‎ ‎ （2）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；‎ ‎ 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”；‎ ‎ 所以甲的卡片上写的数字不是和，这与已知矛盾；‎ ‎ 所以甲的卡片上的数字是和. ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）当为何实数时，与平行.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先计算,再根据坐标模长公式计算即可.‎ ‎(2)根据平行的坐标公式计算即可.‎ ‎【详解】(1)由题, .故.‎ ‎(2) ,又由(1)有.‎ 因为与平行,故,解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算,包括模长与平行公式等,属于基础题.‎ ‎18.已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数.‎ ‎（1）若，，求的值；‎ ‎（2）若，求，的值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求出，即可得到模长；‎ ‎（2）根据，化简得，列方程组即可求解.‎ ‎【详解】（1）当，时，，‎ 所以，所以.‎ ‎（2）若，则，‎ 所以，所以解得 ‎【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.‎ ‎19.已知等差数列满足，的前项和为.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）记，求 ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列的通项公式，结合，可以得到两个关于首项和公差的二元一次方程，解这个方程组即可求出首项和公差，最后利用等差数列的通项公式 和前项和公式求出及；‎ ‎（2）利用裂项相消法可以求出.‎ ‎【详解】解：（1）设等差数列的公差为d,‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了裂项相消法求数列前项和，考查了数学运算能力.‎ ‎20.已知，，分别为三个内角,,的对边，.‎ ‎(Ⅰ)求；‎ ‎(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.‎ ‎【答案】(1)(2)=2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(Ⅰ)由及正弦定理得 由于，所以，‎ 又，故.‎ ‎(Ⅱ)的面积==,故=4，‎ 而故=8，解得=2‎ ‎21.设函数 ‎（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在上为减函数，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），切线方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．‎ 试题解析：（1）对求导得 因为在处取得极值，所以，即.‎ 当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得 ‎（2）由（1）得，,‎ 令 由，解得.‎ 当时，,故为减函数；‎ 当时，,故为增函数；‎ 当时，,故为减函数；‎ 由在上为减函数，知，解得 故a的取值范围为.‎ 考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．‎ ‎22.已知直线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求直线与曲线的普通方程；‎ ‎（2）设点是曲线上的一个动点，求点到直线的距离的最小值与最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据直线与圆的标准参数方程直接求解普通方程即可.‎ ‎(2)根据直线与圆的位置关系分析即可.‎ ‎【详解】(1)因为直线的参数方程为,故直线过,且倾斜角的正切值 .故直线的普通方程为.‎ 又曲线的参数方程为,故曲线为以为圆心,半径为1的圆.故曲线的普通方程为 ‎ ‎(2)由(1)可知,圆心到直线的距离.‎ 故点到直线的距离的最小值 最大值 ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的参数方程与普通方程的互化,同时也考查了直线与圆上的点的距离最值问题,属于基础题.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）已知,求证：恒成立.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式等价转化为三个不等式组，它们的并集为所求解（2）证明不等式恒成立问题，实质是求对应函数最值问题，利用绝对值三角不等式易得函数最小值：，再根据，易得 试题解析：（1）解：，即，‎ ‎①当时，不等式为，即，‎ 是不等式的解；‎ ‎②当时，不等式为，即恒成立，‎ 是不等式解；‎ ‎③当时，不等式为，即，‎ 是不等式的解．‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（2）证明：，‎ ‎，‎ 恒成立．‎ 考点：绝对值定义，绝对值三角不等式 ‎【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎