2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（普通班）上学期期末考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（普通班）上学期期末考试数学（理）试题 解析版

育才学校2018-2019学年度上学期期末考试 高二数学（普理）‎ 时间：120分钟 分值：150分 ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) ‎ ‎ 1.下列选项中，说法正确的是(　　)‎ A． 命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题 B． 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的否命题是真命题 C． 命题“p∨q”为真命题，则命题p和q均为真命题 D． 命题“∃x∈R，x2－x＞‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2－x≤‎‎0”‎ ‎2.“对x∈R，关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于(　　)‎ A． ∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立 B． ∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立 C． ∀x∈R，f(x)＞0成立 D． ∀x∈R，f(x)≤0成立 ‎3.若双曲线C以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则C的方程是(　　) A．－y2＝1 B． －＋y2＝‎1 C．－＝1 D．－＝1‎ ‎4.已知方程mx2－my2＝n，若mn<0，则该方程所表示的曲线是(　　)‎ A． 焦点在x轴上的椭圆 B． 焦点在x轴上的双曲线 C． 焦点在y轴上的双曲线 D． 焦点在y轴上的椭圆 ‎5.已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是(　　)‎ A．或 B．或 C．或 D．‎ ‎6.若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知命题p：∃x∈，cos 2x＋cosx－m＝0的否定为假命题，则实数m的取值范围是(　　)‎ A． B． C． [－1,2] D．‎ ‎8.已知命题p：∃x∈R，x2＋1＜2x；命题q：若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m≤0，那么(　　)‎ A． “p”是假命题 B． “q”是真命题 C． “p∧q”为真命题 D． “p∨q”为真命题 ‎9.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　) A． 1 B． ‎0 C． －2 D． －‎ ‎11.椭圆＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的(　　) A． 7倍 B． 5倍 C． 4倍 D． 3倍 ‎12.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.设p：x＞2或x＜；q：x＞2或x＜－1，则p是q的________条件．‎ ‎14.已知椭圆C：＋y2＝1的弦AB过点(－1,0)，则弦AB中点的轨迹方程是________．‎ ‎15.已知命题：“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥‎0”‎为真命题，则a的取值范围是________．‎ ‎16.过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.‎ 三、解答题(共6小题,共70分) ‎ ‎17.已知命题p：函数f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4＞0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．‎ ‎18.求适合下列条件的双曲线的标准方程．‎ ‎(1)已知焦点F1(0，－6)，F2(0,6)，双曲线上的一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于8； (2)与椭圆＋＝1共焦点且过点(3，)．‎ ‎19.如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.‎ ‎(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的方程．‎ ‎20.设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.‎ ‎(1)求椭圆C的焦距；(2)如果＝2，求椭圆C的方程．‎ ‎21.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(O为原点)．‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)若直线l1：y＝kx＋与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且·>2，求k的取值范围．‎ ‎22.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2＝λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值．‎ 答案解析 ‎1.D ‎【解析】∃x∈R，x2－x＞0的否定是∀x∈R，x2－x≤0.‎ ‎2.A ‎【解析】由命题的转化关系易知A正确．‎ ‎3.B ‎【解析】∵F(0，±1)，长轴端点(0，±2)，∴双曲线中a＝1，c＝2，∴b2＝3，‎ 又焦点在y轴上，故选B.‎ ‎4.C ‎【解析】方程mx2－my2＝n可化为－＝1.当mn<0时，<0，故该方程表示焦点在y轴上的双曲线．‎ ‎5.B ‎【解析】由焦点弦长公式|AB|＝，得＝12，∴sinθ＝.∴θ＝或或或.故选B.‎ ‎6.B ‎【解析】椭圆离心率e＝，即＝⇒＝，∴＝，则1＋＝.‎ ‎∴双曲线的离心率为e′＝.故选B.‎ ‎7.C ‎【解析】依题意，cos 2x＋cosx－m＝0在x∈上恒成立，即cos 2x＋cosx＝m.令f(x)＝cos 2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2－，由于x∈，所以cosx∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．‎ ‎8.D ‎【解析】对于命题p，x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，即对任意的x∈R，都有x2＋1≥2x ‎，因此命题p是假命题．‎ 对于命题q，若mx2－mx－1＜0恒成立，‎ 则当m＝0时，mx2－mx－1＜0恒成立；‎ 当m≠0时，由mx2－mx－1＜0恒成立得即－4＜m＜0.‎ 因此若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m≤0，故命题q是真命题．‎ 因此，“p”是真命题，“q”是假命题，“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，故选D.‎ ‎9.D ‎【解析】由抛物线方程得抛物线焦点坐标为F，易得AB的方程为y＝(x－)．‎ 方法一　由得4y2－12y－9＝0，yA＋yB＝3，yAyB＝－.‎ 故|yA－yB|＝＝6.‎ 因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.‎ 方法二　由得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.‎ 根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12.直线AB的方程可化为4x－4y－3＝0，‎ 所以原点到直线AB的距离为h＝＝.因此S△OAB＝|AB|·h＝.‎ ‎10.C ‎【解析】设点P(x0，y0)，则－＝1，由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则·＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝－x0－2＋.由双曲线方程得＝3(－1)，故·＝4－x0－5(x0≥1)，可得当x0＝1时，·有最小值－2，故选C.‎ ‎11.A ‎【解析】方法一　由题意，知F1(－3,0)，F2(3,0)，设P(x，y)，由于线段PF1的中点在y轴上，所以点P的横坐标x满足＝0，解得x＝3，即PF2⊥x轴，△PF‎1F2是以∠PF‎2F1为直角的直角三角形，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝‎2a＝4，由勾股定理得|PF1|2－|PF2|2＝‎4c2＝36，两式联立可得|PF1|－|PF2|＝3，和|PF1|＋|PF2|＝4，联立得4(|PF1|－|PF2|)＝3(|PF1|＋|PF2|)，即|PF1|＝7|PF2|.‎ 方法二　由方法一，知P(3，y)，代入＋＝1中，得y2＝，故|PF2|＝.‎ 又|PF1|＋|PF2|＝‎2a＝4，故|PF1|＝4－＝，∴|PF1|＝7|PF2|.‎ ‎12.D ‎【解析】在△ABF中，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|·cos∠ABF＝100＋64－2×10×8×＝36.∴|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，∴△ABF为直角三角形且∠AFB＝90°.由椭圆的中心对称性可知O为AB的中点，∴c＝|FO|＝|AB|＝5.‎ 由椭圆的对称性可知点A到右焦点F2的距离|AF2|＝|BF|＝8.‎ 由椭圆的定义可知‎2a＝|AF|＋|AF2|＝14，∴a＝7，∴e＝＝，故D正确．‎ ‎13.充分不必要 ‎【解析】p：≤x≤2.q：－1≤x≤2.p⇒q，但q⇏p.‎ ‎∴p是q的充分不必要条件．‎ ‎14.x2＋x＋3y2＝0‎ ‎【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点C为(x，y)，若直线AB斜率存在，‎ 则 由①－②，得＋(y1＋y2)×＝0，即＋2y×＝0，整理得x2＋x＋3y2＝0.‎ 若AB斜率不存在，C(－1,0)也满足上式．‎ 综上所述，AB中点的轨迹方程为x2＋x＋3y2＝0.‎ ‎15.[－8，＋∞)‎ ‎【解析】当1≤x≤2时，3≤x2＋2x≤8，如果“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥‎0”‎为真命题应有－a≤8，所以a≥－8.‎ ‎16.2‎ ‎【解析】如图，抛物线焦点为，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y－＝x，即y＝x＋.‎ 联立消去y得x2－2px－p2＝0，∴x1＝(1＋)p，x2＝(1－)p.‎ ‎∴|AD|＋|BC|＝y1＋y2＝x1＋＋x2＋＝2p＋p＝3p，|CD|＝|x1－x2|＝2p.‎ 由S梯形ABCD＝(|AD|＋|BC|)·|CD|＝·3p·2p＝12，解得p2＝4，∴p＝±2.‎ ‎∵p＞0，∴p＝2.‎ ‎17.若命题p为真，因为函数的对称轴为x＝m，则m≤2.‎ 若命题q为真，当m＝0时，原不等式为－8x＋4＞0，显然不成立．‎ 当m≠0时，则有⇒1＜m＜4.‎ 因为p∨q为真，p∧q为假，所以命题p，q一真一假．‎ 故或 解得m≤1或2＜m＜4.‎ 所以m的取值范围为(－∞，1]∪(2,4)．‎ ‎18.解　(1)∵双曲线的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．‎ ‎∵‎2a＝8,‎2c＝12，∴a＝4，c＝6，∴b2＝62－42＝20.‎ ‎∴所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎(2)椭圆＋＝1的焦点为(2，0)，(－2，0)．‎ 依题意，所求双曲线的焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为－＝1，则a2＋b2＝20.‎ 又∵双曲线过点(3，)，∴－＝1.∴a2＝20－2，b2＝2.‎ ‎∴所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎19.解　(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)‎ ‎∵直线l与抛物线C相切，∴Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.‎ ‎(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0.‎ 解得x＝2，将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．‎ ‎∵圆A与抛物线C的准线相切，‎ ‎∴圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.‎ ‎∴圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎20.(1)设椭圆C的焦距为‎2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.‎ 所以椭圆C的焦距为4.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝(x－2)．‎ 联立得(‎3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0，‎ 解得y1＝，y2＝.因为＝2，所以－y1＝2y2.‎ 即＝2·，得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝.‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎21.(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．‎ 由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22，得b2＝1.‎ 所以双曲线C的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由直线l与双曲线交于不同的两点，‎ 得 即k2≠且k2<1.①‎ 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，‎ 由·>2，得xAxB＋yAyB>2，而 xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2‎ ‎＝(k2＋1)·＋k·＋2＝.‎ 于是>2，即>0.‎ 解此不等式，得0，解得－

查看更多