2021版高考数学一轮复习第七章数列7-2等差数列课件新人教B版

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第二节　等 差 数 列 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 等差数列与等差中项 (1) 定义： ① 文字 语言：从 ______ 起，每一项与它的前一项的 ___ 都等于 ___ 一个常数； ② 符号语言： ——————— (n∈N * ， d 为常数 ).  (2) 等差中项：若三个数 a ， A ， b 组成等差数列，则 __ 叫做 a ， b 的等差中项 . 第 2 项 差 同 a n+1 -a n =d A 2. 等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1) 通项公式： a n = _________. (2) 前 n 项和公式： S n =_______________________. 3. 等差数列的性质 (1) 通项公式的推广： a n =a m + _______(n ， m∈N * ). (2) 若 {a n } 为等差数列，且 k+ l =m+n(k ， l ， m ， n∈N * ) ，则 __________. a 1 +(n-1)d (n-m)d a k +a l =a m +a n 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数 , 则这个数列是等差 数列 . ( 　　 ) (2) 数列 {a n } 为等差数列的充要条件是对任意 n∈N * , 都有 2a n+1 =a n + .( 　　 ) (3) 等差数列 {a n } 的单调性是由公差 d 决定的 . ( 　　 ) (4) 若 {a n } 是等差数列 , 公差为 d, 则数列 {a 3n } 也是等差数列 . ( 　　 ) (5) 等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 若这些常数都相等 , 则这个数列是等差数列 ; 若这些常数不全相等 , 这个数列就不是等差数列 . (2)√. 如果数列 {a n } 为等差数列 , 根据定义 a n+2 -a n+1 =a n+1 -a n , 即 2a n+1 =a n +a n+2 ; 反之 , 若对任意 n∈N * , 都有 2a n+1 =a n +a n+2 , 则 a n+2 -a n+1 =a n+1 -a n =a n -a n-1 =…=a 2 -a 1 , 根据定义知数列 {a n } 为等差数列 . (3)√ . 当 d>0 时为递增数列 ;d=0 时为常数列 ;d<0 时为递减数列 . (4)√. 因为 {a n } 是等差数列 , 公差为 d, 所以 a 3(n+1) -a 3n =3d( 与 n 值无关的常数 ), 所以数列 {a 3n } 也是等差数列 . (5)×. 等差数列的前 n 项和公式 S n =na 1 + 显然只有公差 d≠0 时才是关于 n 的常数项为 0 的二次函数 , 否则不是 ( 甚至当 a 1 =d=0 时也不是 n 的 一次函数 ). 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 不能正确进行公式转化 考点一、 T3,5 2 不能正确得出判断 考点二、 T2 3 性质运用不熟练 考点三、角度 1,2 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 5P41 练习 AT1 改编 ) 已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和 ,a 2 =2 , S 4 =14 , 则 S 6 等于 ( 　　 ) A.32 B.39 C.42 D.45 【解析】 选 B. 设公差为 d, 由题意得 解得 所以 S 6 =6a 1 + d=39. 2.( 必修 5P43 习题 2-2AT12 改编 ) 某剧场有 20 排座位 , 后一排比前一排多 2 个座位 , 最后一排有 60 个座位 , 则剧场总共的座位数为 ________.  【解析】 设第 n 排的座位数为 a n (n∈N * ), 数列 {a n } 为等差数列 , 其公差 d=2, 则 a n =a 1 +(n-1)d=a 1 +2(n-1). 由已知 a 20 =60, 得 60=a 1 +2×(20-1), 解得 a 1 =22, 则剧场总共的座位数为 =820. 答案 : 820 3.( 必修 5P36 例 2(1) 改编 ) 已知等差数列 -8,-3,2,7, … , 则该数列的第 100 项为 ________.  【解析】 依题意得 , 该数列的首项为 -8, 公差为 5, 设该等差数列为 {a n }, 则 a 100 = -8+99×5=487. 答案 : 487 4.( 必修 5P41 练习 AT3 改编 ) 已知等差数列 5,4 ,3 , … , 则前 n 项和 S n =_____.  【解析】 设该等差数列为 {a n }, 由题知公差 d=- , 所以 S n =na 1 + d= (75n-5n 2 ). 答案 : (75n-5n 2 ) 【思想方法】 　函数思想在等差数列前 n 项和最值求解中的应用   【典例】 (2019 · 北京高考 ) 设 {a n } 是等差数列 ,a 1 =-10, 且 a 2 +10,a 3 +8,a 4 +6 成等比数列 . (1) 求 {a n } 的通项公式 . (2) 记 {a n } 的前 n 项和为 S n , 求 S n 的最小值 . 【解析】 (1) 设 {a n } 的公差为 d, 则 a 2 +10=a 1 +d+10=d,a 3 +8=a 1 +2d+8=2d-2, a 4 +6=a 1 +3d+6=3d-4, 又因为 a 2 +10,a 3 +8,a 4 +6 成等比数列 , 所以 d(3d-4)=(2d-2) 2 , 即 d=2, 所以 a n =a 1 +(n-1)d=2n-12,n∈N * . (2)S n = =n(n-11), 二次函数 y=x(x-11) 的对称轴为 x=5.5, 所以当 n=5 或 6 时 ,S n 有最小值 -30. 【思想方法指导】 因为数列是特殊的函数关系 , 因此常利用函数的思想解决数列中最值问题 . 在求解等差数列前 n 项和的最值问题时 , 应注意以下三点 : (1) 等差数列的前 n 项和与函数的关系 ; (2)S n 是关于 n 的二次函数 ,(n, S n ) 在二次函数 y=Ax 2 +Bx 的图象上 , 为抛物线 y=Ax 2 +Bx 上一群孤立的点 ; (3) 注意 n 为正整数以及抛物线的开口方向 . 【迁移应用】 已知数列 {a n } 是一个等差数列，且 a 2 =1 ， a 5 =-5. (1) 求 {a n } 的通项公式 a n . (2) 求 {a n } 前 n 项和 S n 的最大值 . 【解析】 (1) 根据等差数列通项公式 a n =a 1 +(n-1)d 变形有 a n =a m +(n-m)d ，则公差 d= 所以 d= 所以通项公式 a n =a 2 +(n-2)d=1+(n-2)×(-2)=-2n+5. (2) 根据等差数列前 n 项和公式 S n = =na 1 + d 有 S n =3n+ ×(-2)=-n 2 +4n ，配方得 S n =-(n-2) 2 +4 ，根据二次函数图象及性质可知，当 n=2 时，前 n 项和取得最大值，最大值为 4.