2017-2018学年河北省唐山市开滦二中高二上学期12月月考数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年河北省唐山市开滦二中高二上学期12月月考数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年河北省唐山市开滦二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共12小题60分）‎ ‎1．（5分）抛物线y=4x2的准线方程是（　　）‎ A．x=1 B．x=﹣ C．y=﹣1 D．y=﹣‎ ‎2．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　）‎ A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m ‎3．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　）‎ A．4 B．5 C．7 D．8‎ ‎4．（5分）若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎6．（5分）如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎7．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎8．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎9．（5分）一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积（　　）‎ A．12π B．9π C． D．‎ ‎10．（5分）已知||=3，A、B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）‎ ‎13．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过Fl的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为　 　．‎ ‎14．（5分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为　 　．‎ ‎15．（5分）直线l过点P（3，1）且与双曲线C：交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为　 　．‎ ‎16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）‎ ‎17．（10分）已知F（0，1），直线l：y=﹣2，若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，‎ ‎（Ⅰ）求动点M的轨迹方程E；‎ ‎（Ⅱ）直线l1过点F且与曲线E相交于不同的两点A，B，若|AB|=12，求直线l1的直线方程．‎ ‎18．（12分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，‎ PD=PC=4，AB=6，BC=3．‎ ‎（1）证明：BC⊥PD ‎（2）证明：求点C到平面PDA的距离．‎ ‎19．（12分）已知圆C的圆心C在第一象限，且在直线3x﹣y=0上，该圆与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为，直线l：kx﹣y﹣2k+5=0与圆C相交．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求出直线l所过的定点；当直线l被圆所截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短的弦长．‎ ‎20．（12分）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．‎ ‎（1）求E的离心率e；‎ ‎（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．‎ ‎21．（12分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面A1B1BA；‎ ‎（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；‎ ‎（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．‎ ‎22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点．‎ ‎（1）求E的方程；‎ ‎（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△‎ OPQ的面积最大时，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河北省唐山市开滦二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共12小题60分）‎ ‎1．（5分）抛物线y=4x2的准线方程是（　　）‎ A．x=1 B．x=﹣ C．y=﹣1 D．y=﹣‎ ‎【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程．‎ ‎【解答】解：由题意，抛物线的标准方程为x2=y，‎ ‎∴p=，开口朝上，‎ ‎∴准线方程为y=﹣；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　）‎ A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m ‎【分析】A根据线面垂直的判定定理得出A正确；‎ B根据面面垂直的性质判断B错误；‎ C根据面面平行的判断定理得出C错误；‎ D根据面面平行的性质判断D错误．‎ ‎【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；‎ 对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；‎ 对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；‎ 对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　）‎ A．4 B．5 C．7 D．8‎ ‎【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．‎ ‎【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，‎ 显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，‎ ‎，解得m=8‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先由两直线平行可求a得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离d即可．‎ ‎【解答】解：由l1∥l2得：=≠，‎ 解得：a=﹣1，‎ ‎∴l1与l2间的距离d==，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了两直线平行A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的条件A1B2﹣A2B1=0的应用，及两平行线间的距离公式d=的应用．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程 ‎【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2‎ ‎∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①‎ ‎∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，‎ ‎∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②‎ 由①②解得：a2=5，b2=4‎ ‎∴该双曲线的方程为 故选 A ‎【点评】本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用 ‎　‎ ‎6．（5分）如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【分析】本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可 ‎【解答】解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，‎ ‎∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1‎ ‎∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）‎ ‎∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）‎ ‎∴cosθ==‎ 故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．‎ 故选C ‎【点评】本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【分析】‎ 设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．‎ ‎【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；‎ P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=‎ 则d1+d2=a2+1=‎ 当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2‎ 故选B ‎【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题 ‎　‎ ‎8．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【分析】由条件MF1⊥MF2，sin∠MF2F1=，列出关系式，从而可求离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，‎ 则丨MF1丨=，丨MF2丨=，‎ ‎∴sin∠MF2F1=，∴=，‎ 可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，‎ 可得e2﹣e﹣=0，‎ e＞1，解得e=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积（　　）‎ A．12π B．9π C． D．‎ ‎【分析】PC的中点为O，连接OA，OB，运用线面垂直的判断和性质，证得BC⊥PB，可得O为球心，求出半径，即可得到体积．‎ ‎【解答】解：一个高为2的三棱锥P﹣ABC，如图所示，‎ PC的中点为O，连接OA，OB，‎ 由PA⊥底面ABC，可得PA⊥BC，‎ AB⊥BC，‎ 可得BC⊥平面PAB，‎ 即有BC⊥PB，‎ 可得OA=OB=OC=OP，‎ 即O为球心，半径为，‎ 则球的体积为V=π•（）3=4π．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积，注意将三视图转化为直观图，确定球心是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知||=3，A、B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设动点P坐标为P（x，y），A（a，0），B（0，b），欲求出动点P的轨迹方程，只须求出x，y的关系式即可，结合向量关系式，用坐标来表示向量，利用a，b的关系即可求得点P的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设动点P坐标为P（x，y），A（a，0），B（0，b），‎ 由得：‎ ‎（x，y）=（a，0）+（0，b）‎ ‎∴a=3x．b=，‎ ‎∵||=3，∴a2+b2=9，‎ ‎∴（3x）2+=9，‎ 即．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程，利用的是相关点法，相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．‎ ‎【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2‎ 直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）‎ 如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，‎ 由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，‎ 点B为AP的中点、连接OB，‎ 则，‎ ‎∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，‎ 故点B的坐标为，‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′．则四边形AFBF′为矩形．因此|AB=|FF′|=2c．而|AF|+|BF|=2a．‎ ‎|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα．可得=，求出即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′．‎ 则四边形AFBF′为矩形．‎ 因此|AB=|FF′|=2c．‎ ‎|AF|+|BF|=2a．‎ ‎|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα．‎ ‎∴2csinα+2ccosα=2a．‎ ‎∴=，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴∈，‎ ‎∴∈．‎ ‎∴e∈．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、两角差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）‎ ‎13．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过Fl的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为　+=1　．‎ ‎【分析】根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16；‎ 根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；‎ 椭圆的离心率为，即=，则a=c，‎ 将a=c，代入可得，c=2，则b2=a2﹣c2=8；‎ 则椭圆的方程为+=1；‎ 故答案为：+=1．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为　24π　．‎ ‎【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．‎ ‎【解答】解：如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V=sh=（×）×OH=，‎ ‎∴OH=，‎ 在直角三角形OAH中，OA===‎ 所以表面积为4πr2=24π；‎ 故答案为：24π．‎ ‎【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）直线l过点P（3，1）且与双曲线C：交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为　　．‎ ‎【分析】由题意可知设M（x1，y1），N（x2，y2），利用平方差法求得：（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2×3=6，y1+y2=2×1=2，代入求得直线MN的斜率．‎ ‎【解答】解：由双曲线C：，焦点在x轴上，‎ 过点P（3，1）作直线l与该双曲线交于M，N两点，‎ M（x1，y1），N（x2，y2），‎ ‎∴，‎ 两式相减可得：（x1﹣x2）（x1+x2）﹣2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ P为MN的中点，‎ ‎∴x1+x2=2×3=6，y1+y2=2×1=2，‎ ‎∴6（x1﹣x2）﹣4（y1﹣y2）=0，‎ 则=，‎ ‎∴直线MN的斜率为k=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=　6　．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，‎ 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，‎ ‎|FN|=2|FM|=2=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）‎ ‎17．（10分）已知F（0，1），直线l：y=﹣2，若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，‎ ‎（Ⅰ）求动点M的轨迹方程E；‎ ‎（Ⅱ）直线l1过点F且与曲线E相交于不同的两点A，B，若|AB|=12，求直线l1的直线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）解法一：设出M的坐标，根据题意可知|MF|=|y+2|﹣1利用两点间的距离公式建立等式整理求得x和y的关系式，即M的轨迹方程．‎ 解法二：由题设知：点M的轨迹C是以F为焦点，以直线y=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设l1：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2﹣4kx﹣4=0，根据抛物线的性质|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=4k2+2，解得即可 ‎【解答】解：（Ⅰ）解法一：（1）设M（x，y），则由题设得|MF|=|y+2|﹣1，‎ 即=|y+2|﹣1‎ 当y≥﹣2时，=y+1，化简得x2=4y；‎ 当y＜﹣2时，=﹣y﹣3，‎ 化简得x2=8y+8与y＜﹣3不合 故点M的轨迹C的方程是x2=4y；‎ 解法二：∵点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1．‎ ‎∴点M在直线l的上方．‎ ‎∴点M到F（0，1）的距离与它到直线l′：y=﹣1的距离相等．‎ ‎∴点M的轨迹C是以F为焦点l′为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x2=4y；‎ ‎（Ⅱ）设l1：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，得x2﹣4kx﹣4=0，‎ ‎∴x1+x2=4k，y1+y2=kx1+1+kx2+1=4k2+2，‎ ‎∴|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=4k2+2，‎ ‎∴K=±，‎ ‎∴所求l1的直线方程：y=±x+1．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 ‎　‎ ‎18．（12分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，‎ PD=PC=4，AB=6，BC=3．‎ ‎（1）证明：BC⊥PD ‎（2）证明：求点C到平面PDA的距离．‎ ‎【分析】（1）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；‎ ‎（2）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离．‎ ‎【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，‎ 因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，‎ 所以BC⊥平面PDC，‎ 因为PD⊂平面PDC，‎ 所以BC⊥PD；‎ ‎（2）解：取CD的中点E，连接AE和PE，‎ 因为PD=PC，所以PE⊥CD，‎ 在Rt△PED中，PE==．‎ 因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，‎ 所以PE⊥平面ABCD．‎ 由（1）知：BC⊥平面PDC，‎ 因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，‎ 所以AD⊥平面PDC，‎ 因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．‎ 设点C到平面PDA的距离为h．‎ 因为VC﹣PDA=VP﹣ACD，‎ 所以h==，所以点C到平面PDA的距离是．‎ ‎【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知圆C的圆心C在第一象限，且在直线3x﹣y=0上，该圆与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为，直线l：kx﹣y﹣2k+5=0与圆C相交．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求出直线l所过的定点；当直线l被圆所截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短的弦长．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设圆心坐标，根据条件确定圆心和半径即可求圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）根据直线和圆的位置关系，求出直线的斜率即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设圆心为（a，b），（a＞0，b＞0），半径为r，‎ 则b=3a，‎ 则r=3a，‎ 圆心到直线的距离d=，‎ ‎∵圆被直线x﹣y=0截得的弦长为，‎ ‎∴，‎ 即a2=1，解得a=1，‎ 则圆心为（1，3），半径为3，‎ 则圆C的标准方程（x﹣1）2+（y﹣3）2=9；‎ ‎（Ⅱ）由kx﹣y﹣2k+5=0得y=k（x﹣2）+5，‎ 则直线过定点M（2，5）．‎ 要使弦长最短，则满足CM⊥l，‎ 即k=，‎ 则直线方程为x+2y﹣12=0，‎ ‎|CM|=，‎ 则最短的弦长为．‎ ‎【点评】本题主要考查圆的方程的求解以及直线过定点问题，根据直线和圆的位置关系结合点到直线的距离公式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．‎ ‎（1）求E的离心率e；‎ ‎（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．‎ ‎【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；‎ ‎（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论．‎ ‎【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，‎ ‎∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），‎ 解得x=a，y=b，即M（a，b），‎ 又∵直线OM的斜率为，∴=，‎ ‎∴a=b，c==2b，‎ ‎∴椭圆E的离心率e==；‎ ‎（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，‎ ‎∴N（，﹣），∴=（，），‎ 又∵=（﹣a，b），‎ ‎∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），‎ 由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB．‎ ‎【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面A1B1BA；‎ ‎（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；‎ ‎（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．‎ ‎【分析】（1）连接A1B，推导出EF∥A1B，由此能证明EF∥平面A1B1BA．‎ ‎（2）推导出AE⊥BC，从而BB1⊥平面ABC，进而BB1⊥AE，由此能证明AE⊥平面BCB1，从而平面AEA1⊥平面BCB1．‎ ‎（3）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，推导出四边形A1‎ AEN是平行四边形，从而A1NAE，进而A1N⊥平面BCB1，∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，由此能求出直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．‎ ‎【解答】（本题满分12分）‎ 证明：（1）连接A1B，在△A1BC中，‎ ‎∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，‎ 又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，‎ ‎∴EF∥平面A1B1BA．‎ ‎（2）∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，‎ ‎∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，‎ ‎∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，‎ 又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1．‎ 解：（3）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，‎ ‎∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NEB1B，‎ ‎∴NEA1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，‎ ‎∴A1NAE，‎ 又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，‎ ‎∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，‎ 在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，‎ ‎∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，‎ 又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，‎ 在RT△A1MB1中，A1B1==4，‎ 在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，‎ ‎∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°．‎ ‎【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查推理论证能力运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点．‎ ‎（1）求E的方程；‎ ‎（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．‎ ‎【分析】（1）设F（c，0），由已知得，求得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由题意可知，当l⊥x轴时，不合题意，设l：y=kx﹣2，联立直线方程与椭圆方程，求出P、Q的横坐标，代入弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离公式求得O到PQ的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当△OPQ的面积最大时直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知，得，又，‎ ‎∴a=2，b2=a2﹣c2=1，‎ 故E的方程为：；‎ ‎（2）当l⊥x轴时，不合题意，‎ 故设l：y=kx﹣2，p（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，‎ ‎，．‎ 从而．‎ 又点O到直线PQ的距离．‎ ‎∴△OPQ的面积为，‎ 设，‎ 则，当且仅当，即t=2时取“=”．‎ ‎∴，即时等号成立，且满足△＞0，‎ ‎∴当△OPQ的面积最大时，l的方程为或．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属中档题．‎ ‎　‎