2018-2019学年安徽省六安市舒城中学高二上学期第一次统考数学（理）试题 Word版
舒城中学 2018-2019 学年度第一学期第一次统考
高二理数
命题： 审题：
（总分：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。）
1. 设集合 A={x|-1
0 且 m+n<0,则下列不等式中成立的是
( )
A.-n1)的图象的基本形状是
( )
5. 已知 f (x)满足
∀
x∈R，f (－x)＋f (x)＝0，且当 x≤0 时，f(x)＝1
ex＋k (k 为常数)，则
f (ln 5)的值为
( )
A.4 B.－4 C.6 D.－6
6. 设 a>0,b>1,若 a+b=2 ,则 + 的最小值为
( )
A.2 B.8 C.4 D.4+2
7. 在直角坐标系中，P 点的坐标为
3
5
，4
5 ，Q 是第三象限内一点，|OQ|＝1 且∠POQ＝3π
4
，则
Q 点的横坐标为
( )
A.－7 2
10
B.－3 2
5
C.－7 2
12
D.－8 2
13
8. 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，平面α与棱 AB，AC，A1C1，A1B1 分别交于点 E，F，G，H，且
直线 AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形 EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面 BCC1B1；
③平面α⊥平面 BCFE.其中正确的命题有
( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )
A.9＋ 3
6
π B.6＋ 3
6
π C.3＋ 3
6
π D.12＋ 3
6
π
10. 如果实数 x，y 满足约束条件
2x＋y－4≤0，
x－y－1≤0，
x≥1，
则 z＝3x＋2y＋y
x
的最大值为
( )
A.7 B.8 C.9 D.11
11. 已知非零向量 ,a b
满足 4, 2a b ，且 a
在 b
方向上的投影与 b
在 a
方向上的投影相
等，则 a b 等于
（ ）
A．1 B． 2 5 C． 5 D． 3
12. 已知函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数，f (x＋1)为奇函数，f (0)＝0，当 x∈(0，1]时，f (x)
＝log2x，则在区间(8，9)内满足方程 f (x)＋2＝f
1
2 的实数 x 为
( )
A.17
2
B.67
8
C.33
4
D.65
8
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 不等式的解是
14. 等比数列{ na }的公比 0q , 已知 2a =1， 2 1 6n n na a a ，则{ na }的前 4 项和 4S
为
15. 若，则 的最小值是
16. 已知四面体 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，若 PB⊥平面 ABC，AB⊥AC，且 AC＝2 2，
PB＝AB＝2，则球 O 的表面积为
三．解答题（本题共 6 小题，共 70 分）
17. （本小题 10 分）
（1）
（2） 设 f(α)＝
2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）
1＋sin2α＋cos
3π
2
＋α
－sin2
π
2
＋α （
2
1sin ），求 f
－23π
6
18. （本小题 12 分）]
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且满足 csinB= 3 bcosC，a2-c2=2b2
（1）求 C 的大小；
（2）若△ABC 的面积为 21 3 ，求 b 的值．
19. （本小题 12 分）
已知函数 f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2bcos2ωx－b(a、b、ω>0)，在 x＝ π
12
时取得最大值 2 .若 x1，
x2 是集合 M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，且|x1－x2|的最小值为π
2
.
(1)求 a、b 的值；
(2)若 f(α)＝2
3
，求 sin
5π
6
－4α
的值．
20. （本小题 12 分）
如图，在三棱锥 S－ABC 中，侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形，∠BAC＝90°，O 为 BC 中
点．
(1)证明：SO⊥平面 ABC；
(2)求二面角 A－SC－B 的余弦值．
21. （本小题 12 分）
已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…）
（1）求证：数列{an-1}是等比数列；
（2）令 bn= )1)(-2 nan（ （n=1，2，3…），如果对任意 n∈N*，都有 2
4
1 ttbn ，求实数 t
的取值范围．
22. （本小题 12 分）
某厂家拟在 2016 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与
年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3-(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能
是 1 万件.已知 2016 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产一万件该产品需要再投入 16
万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入
和再投入两部分资金).
(1)将 2016 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数;
(2)该厂家 2016 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
高二理数自主训练（1）参考答案
一.单选题
1-5: A D A A B 6-7: D A C A C 11-12: B D
二.填空题
13. 14. 15. 16. 16π
三．解答题
17.(1)
(2)∵f(α)＝
（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin2α＋sin α－cos2α ＝2sin αcos α＋cos α2sin2α＋sin α ＝ cos α（1＋2sin α）
sin α（1＋2sin α）
＝ 1tan α，
∴ f
23π6 ＝23π6 ＝π6＝π6＝.
18.解：(1)∵由已知及正弦定理可得，sinCsinB= sinBcosC， ∵sinB≠0， ∴tanC= ， ∴
C= ． …（5 分）
(2) 由（Ⅰ）可得，cosC= = ， ∴a2+b2-c2=ab， 又∵a2-c2=2b2，
∴a=3b， ∴由题意可知，S
△
ABC= absinC= b2=21 ， ∴b2=28，可得：
b=2 ． …（12 分）
19. 解：(1)f(x)＝asin 2ωx＋bcos 2ωx＝Asin(2ωx＋φ)，[]
中 A＝，sin φ＝ ba2＋b2，cos φ＝ aa2＋b2.
由题意知：f(x)的周期为π，A＝2，由 2π2ω＝π，知ω＝1. ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
∵f
π12＝2，∴sin
π＋φ＝1，从而π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝π3＋2kπ(k∈Z)，
∴f(x)＝2sin
π3＝sin 2x＋cos2x，从而 a＝1，b＝.
(2) 由 f(α)＝23知 2sin
π3＝23，即 sin
π3＝13.
∴sin
5π－4α＝sin
2π3 ＝－cos
2π3 ＝－1＋2sin2π3＝－1＋2×132＝－79.
20.
(1) 证明：由题设 AB＝AC＝SB＝SC＝SA.如图所示，连结 OA
△ABC 为等腰直角三角形，所以 OA＝OB＝OC＝22SA，且 AO⊥BC.
又△SBC 为等腰三角形，故 SO⊥BC，且 SO＝22SA，
从而 OA2＋SO2＝SA2，SO⊥AO.又 AO∩BC＝O，所以 SO⊥平面 ABC.
(2) 解：如图所示，取 SC 中点 M，
连结 AM、OM，由(1)知 SO＝OC，SA＝AC，得 OM⊥SC，AM⊥SC.
∴∠OMA 为二面角 A－SC－B 的平面角．
由 AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O，得 AO⊥平面 SBC，所以 AO⊥OM，
又 AM＝32SA，故 sin ∠AMO＝AOAM＝23＝63，∴cos ∠AMO＝33
所以二面角 A－SC－B 的余弦值为33.
21.解：(1)由题可知 ： a1+a2+a3++an-1+an=n-an ① a1+a2+a3++an+an+1=n+1-an+1 ②
②-① 可得 2an+1-an=1 .（5 分）
即： ，又 .（7 分）
所以数列{an-1}是以 为首项，以 为公比的等比数列（5 分）
(2)由（I）可得 ，（9 分） （7 分）
由 可得 n＜3 由 bn+1-bn
＜0 可得 n＞3（11 分）
所以 b1＜b2＜b3=b4＞b5＞…＞bn＞ ..
故{bn}有最大值 所以，对任意 n∈N* ，有 （10 分）
如果对任意 n∈N*，都有 ，即 成立，
则 ，故有： ，（11 分）
解得 或 所以，实数 t 的取值范围是 （12 分）
22. 解：(1)由题意知,当 m=0 时,x=1,∴1=3-k
⇒
k=2,∴x=3-, 每件产品的销售价格为 1.5
×(元),
∴2016 年的利润 y = 1.5x×-8-16x-m = -+29(m≥0).
(2)∵m≥0 时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即 m=3 时,取等号,
∴y≤-8+29=21,
故该厂家 2016 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大.
