上海市七宝中学2019-2020学年高二9月月考数学试题

上海市七宝中学2019-2020学年高二9月月考数学试题

‎2019-2020年七宝中学高二上9月月考 一.填空题 ‎1.若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“”⇒ “”,但是“”⇏“”，即可求解.‎ ‎【详解】“”是“”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得。‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题 ‎2.函数的定义域是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合对数的真数大于0，分母不为0以及0次幂底数不为0，即可求解。‎ ‎【详解】解： ，故原函数定义域为.‎ ‎【点睛】本题考查定义域的求法，属于基础题。‎ ‎3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在向量方向上的投影为，即可求解.‎ ‎【详解】向量在向量方向上的投影为 ‎【点睛】在向量方向上的投影， 在向量方向上的投影，可以直接使用，基础题。‎ ‎4.已知点直线上一点，且，若，则实数________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的三角形加法法则，即可求解。‎ ‎【详解】解：⟹⟹⟹‎ 故：λ=‎ ‎【点睛】本题考查向量的加法法则，属于基础题。‎ ‎5.已知向量、满足，，且它们的夹角为120°，则向量与向量夹角的大小为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的数量积以及夹角公式，计算即可。‎ ‎【详解】解：‎ 又∵ 向量夹角的范围为 ，∴向量与向量夹角的大小为 ‎【点睛】此题考查向量求模和向量的数量积公式，以及学生的计算能力，属于基础题。‎ ‎6.已知正方形中，是中点，，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找一组基向量分别表示出，再用待定系数法即可求得。‎ ‎【详解】解：令则，‎ 有∵，∴，‎ ‎∴ 解得：‎ ‎∴‎ ‎【点睛】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．‎ ‎7.已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点为x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n= 　.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把要求零点函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a，b的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n的值.‎ ‎【详解】设函数y=logax，m=﹣x+b 根据2＜a＜3＜b＜4，‎ 对于函数y=logax 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1‎ 在同一坐标系中画出两个函数的图象，‎ 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，‎ ‎∴函数f（x）的零点x0∈（n，n+1）时，n=2．故答案为2.‎ 考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．‎ ‎8.若、是函数（，）的两个不同的零点，且、、适当排序后可构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a，b是函数f（x）＝x2−px＋q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，可得a＋b＝p，ab＝q，p＞0，q＞0，△＝p2−4q＞0．不妨设a＜b．由于a，b，−4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得−4，a，b或b，a，−4成等差数列，a，−4，b或b，−4，a成等比数列，即可得出．‎ ‎【详解】解：∵a，b是函数f（x）＝x2−px＋q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，‎ ‎∴a＋b＝p，ab＝q，p＞0，q＞0，△＝p2−4q＞0．‎ 不妨设a＜b．‎ 由于a，b，−4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，‎ ‎∴−4，a，b或b，a，−4成等差数列，a，−4，b或b，−4，a成等比数列，‎ ‎∴b−4＝2a，ab＝（−4）2，‎ 解得a＝2，b＝8．‎ ‎∴p＝10，q＝16．‎ 满足△≥0．‎ 则p＋q＝26．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9.若将函数（）的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数图象的平移变换得：，因为为偶函数，所以，由，所以ω的最小值为，得解．‎ ‎【详解】解答：解：将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为 因为为偶函数，‎ 所以，‎ 由，‎ 所以ω的最小值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题．‎ ‎10.若数列满足，（），记表示不超过实数的最大整数，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入求得答案．‎ ‎【详解】解：由，得，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎，‎ 累加得：．‎ ‎∴‎ 则 ‎【点睛】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．‎ ‎11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，‎ ‎，其中从第三项开始，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，那么（）是斐波那契数列的第________项 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，结合叠加法，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查斐波那契数列，考查叠加法，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知数列满足，给出下列命题：‎ ‎①当时，数列为递减数列；‎ ‎②当时，数列不一定有最大项；‎ ‎③当时，数列为递减数列；‎ ‎④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.‎ 请写出正确的命题的序号__________．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ 分析：由于，再根据k的条件讨论即可得出.‎ 详解：①当时，，，当时，，因此数列不是递减数列，故①不正确；‎ ‎②当时，，由于 因此数列一定有最大项，故②不正确；‎ ‎③当时，，，因此数列为递减数列，正确；‎ ‎④当为正整数时，，因此数列必有两项相等的最大项，故正确.‎ 综上可知：只有③④正确.‎ 故答案为：③④.‎ 点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.‎ 二.选择题 ‎13.若，则函数的最小值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 构造两式之积是个定值，再用基本不等式求解。‎ ‎【详解】∵，∴（当且仅当时，即时，取“=”），故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了构造思想，基本不等式的性质的运用，属于基础题．‎ ‎14.设等差数列前项和为，且满足，，则、、、、中，最大项为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件得到此数列为递减数列，再根据符号确定最大 ‎【详解】解：由，得到； ‎ 由，得到，‎ ‎∴等差数列{an}为递减数列．‎ 则为正，为负；为正，为负，‎ 则 ‎ 又，，得到，则最大．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】此题考查了等差数列的前 项和公式，等差数列的性质，以及数列的函数特性，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键．‎ ‎15.已知在△中，，，则△的面积的最大值为（）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面积公式可求得，继而可求，从而可得△面积的最大值．‎ ‎【详解】解：依题意，设，则，又，‎ 由余弦定理得：，‎ 即 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 当时，即， 、、能组成三角形。‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选： ．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得是关键，也是难点，属于难题．‎ ‎16.设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则||的值一定等于   （　　）‎ A. 以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积 C. ，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】记=，=，=，记与，于夹角分别为,因为这三向量的起点相同，且满足与不共线，⊥，||=||，则，利用向量的内积定义，所以||=|||•||cos＜，＞|=|||||cosθ|==||||| |，又由于||||，所以||||| |等于以，为邻边的平行四边形的面积，故选A 三.解答题 ‎17.已知，.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出集合的的取值范围，再取交集即可。‎ ‎（2）问题转化为对任意的，，即可求解。‎ ‎【详解】解：（1）依题意：∵‎ ‎∴，即,‎ 同理，故 ‎（2）∵，‎ ‎⟹，‎ ‎⟹，‎ ‎⟹，‎ ‎⟹对任意的恒成立，‎ 即对任意的，恒成立，‎ 当时，，当时，取得最小值，故，即。‎ ‎【点睛】本题考查了集合运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．‎ ‎18.已知数列的前项和为，是等差数列，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求的最大项的值，并指出是第几项.‎ ‎【答案】（1）；（2），是第四项 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)运用；当时，，可得，再由等差数列的通项公式可得的通项；‎ ‎(2)=,当时,取得最大值.‎ ‎【详解】(1)当时,；‎ 当时,；‎ 而，对也成立，所以．‎ 又因为是等差数列,设首项为,公差为,‎ 则由得,且该等式恒成立；‎ 所以,解得；‎ 所以 法二:当时,当时,,解得；‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎(2)==,所以当的时候取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式和等差数列通项公式，考查数列中的最大值，注意运用数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎19.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0．5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15‎ 万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．‎ ‎（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列，每年发放电动型汽车牌照数为构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；‎ ‎（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）见解析，,；（2）年累计发放汽车牌照超过万张．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用年开始，每年电动型汽车牌照按增长，而燃油型汽车牌照按每一年比上一年减少万张，同时规定一旦某年发放牌照超过万张，以后每一年发放的电动型车的牌照的数量维持在这一年水平不变，即可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可得，即可得出结论．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 9 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且，；‎ 当且，，‎ ‎，‎ 而，∴;‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，‎ 由得，即，得，‎ 到2029年累计发放汽车牌照超过200万张．‎ 考点：数列的实际应用．‎ ‎20.已知数列的前项和为，且，（）.‎ ‎（1）计算，，，，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）由数列的项组成一个新数列：，，，，，设为数列的前项和，试求的值.‎ ‎【答案】（1）详见解析，；（2）；（3）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过计算出前几项的值，猜想通项公式，进而利用数学归纳法证明；‎ ‎（2）通过与作差，进而计算即得结论；‎ ‎（3）通过（2），利用分组法求和，进而计算可得结论．‎ ‎【详解】（1）解：当时，由，得；‎ 由，得；‎ 当时，由，得；‎ 当时，由，得；‎ 猜想：．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时， ，结论显然成立；‎ ‎②假设当时，，‎ 由条件知，‎ 故 ‎＝‎ ‎＝，‎ 于是，‎ 从而，‎ 故数列的通项公式为：；‎ ‎（2）证明：当时，，当时，由条件得 ‎＝‎ 从而，‎ 故数列是以为首项，为公比的等比数列；‎ ‎（3）解：由题意，得 ‎ ‎ 故 ‎，‎ 从而.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项及前项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎21.已知集合是具有下列性质的函数的全体，存在有序实数对，使对定义域内任意实数都成立.‎ ‎（1）判断函数，是否属于集合，并说明理由；‎ ‎（2）若函数（，、为常数）具有反函数，且存在实数对使，求实数、满足的关系式；‎ ‎（3）若定义域为的函数，存在满足条件的实数对和，当时，值域为，求当时函数的值域.‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知中集合的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论；‎ ‎（2）假定，求出的的关系；‎ ‎（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立将用代替，两等式结合得到函数的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．‎ ‎【详解】解：（1）当时，‎ 不是常数，所以；‎ 当 时，，故存在有序实数对，‎ 使得对定义域内的任意实数都成立．故．‎ ‎（2）因为，‎ 所以对定义域内的任意实数都成立，∴， ∴，‎ ‎∴．‎ 当时，，此时无反函数，‎ 当时，存在反函数符合题意．‎ 故．‎ ‎（3）依题意得且 ，‎ 在中，则有，‎ 当时，， ，‎ ‎∴时， ，‎ 又∵则有，即 故，即，则有，‎ ‎∴时，，‎ 时，，‎ 时，，‎ ‎…‎ 以此类推可知： 时，，‎ 故时， ，‎ 综上所述：时，．‎ ‎【点睛】本题考查了反函数，属难题．‎ ‎ ‎