2016年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 四川理科数学 ‎1.(2016四川,理1)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 答案C　由题意,A∩Z={-2,-1,0,1,2}　,‎ 故其中的元素个数为5,选C.‎ ‎2.(2016四川,理2)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为(　　)‎ A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4‎ 答案A　二项式(x+i)6展开的通项Tr+1=C‎6‎rx6-rir　,则其展开式中含x4是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为C‎6‎‎2‎x4i2=-15x4,故选A.‎ ‎3.(2016四川,理3)为了得到函数y=sin‎2x-‎π‎3‎的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点(　　)‎ A.向左平行移动π‎3‎个单位长度 B.向右平行移动π‎3‎个单位长度 C.向左平行移动π‎6‎个单位长度 D.向右平行移动π‎6‎个单位长度 答案D　由题意,为得到函数y=sin‎2x-‎π‎3‎=　‎ sin‎2‎x-‎π‎6‎　,只需把函数y=sin 2x的图象上所有点向右平行移动　π‎6‎个单位长度,故选D.‎ ‎4.(2016四川,理4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(　　)‎ A.24 B.48 C.60 D.72‎ 答案D　由题意,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1,3,5　,其他位置共有A‎4‎‎4‎种排法,所以其中奇数的个数为3A‎4‎‎4‎=72,故选D.‎ ‎5.(2016四川,理5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)‎ ‎(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)‎ A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案B　设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,‎ 由已知得130×(1+12%)n>200　,‎ ‎∴1.12n>‎200‎‎130‎　,两边取常用对数得nlg 1.12>lg‎200‎‎130‎,‎ ‎∴n>lg2-lg1.3‎lg1.12‎‎≈‎‎0.30-0.11‎‎0.05‎=3.8.‎ ‎∴n≥4,故选B.‎ ‎6.(2016四川,理6)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为(　　)‎ A.9 B.18 C.20 D.35‎ 答案B　程序运行如下n=3,x=2→v=1,i=2≥0→v=　‎ ‎1×2+2=4,i=1≥0→v=4×2+1=9,i=0≥0→v=9×2+　‎ ‎0=18,i=-1<0　,结束循环,输出v=18,故选B.‎ ‎7.(2016四川,理7)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足y≥x-1,‎y≥1-x,‎y≤1,‎则p是q的(　　)‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案A　画出可行域　(如图所示),可知命题q中不等式组表示的平面区域△ABC在命题p中不等式表示的圆盘内,即pq,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.故选A.‎ ‎8.(2016四川,理8)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎2‎‎2‎ D.1‎ 答案C　设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),Fp‎2‎‎,0‎,‎ 则FP‎=‎2pt‎2‎-p‎2‎,2pt,FM=‎x-p‎2‎,y.‎ ‎∵FM‎=‎‎1‎‎3‎FP,‎ ‎∴x-p‎2‎=‎2p‎3‎t‎2‎-p‎6‎,‎y=‎2pt‎3‎,‎‎∴‎x=‎2p‎3‎t‎2‎+p‎3‎,‎y=‎2pt‎3‎.‎　‎ ‎∴kOM=‎2t‎2t‎2‎+1‎‎=‎1‎t+‎‎1‎‎2t≤‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎,　‎ 当且仅当t=‎2‎‎2‎时等号成立.　‎ ‎∴(kOM)max=‎2‎‎2‎　,故选C.‎ ‎9.(2016四川,理9)设直线l1,l2分别是函数f(x)=‎-lnx,01‎图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是(　　)‎ A.(0,1) B.(0,2)‎ C.(0,+∞) D.(1,+∞)‎ 答案A　设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x1>1,01,‎ ‎∴S△PAB=‎1‎‎2‎|yA-yB|·|xP|=‎2‎x‎1‎‎1+‎x‎1‎‎2‎‎<‎‎1+‎x‎1‎‎2‎‎1+‎x‎1‎‎2‎=1.‎ ‎∴00.85,‎ 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.‎ 由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.‎ 所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.‎ ‎17.(2016四川,理17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa‎+cosBb=‎sinCc.‎ ‎(1)证明:sin Asin B=sin C;‎ ‎(2)若b2+c2-a2=‎6‎‎5‎bc,求tan B.‎ 解(1)根据正弦定理,可设asinA‎=bsinB=‎csinC=k(k>0).　‎ 则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.‎ 代入cosAa‎+cosBb=‎sinCc中,有cosAksinA‎+cosBksinB=‎sinCksinC,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=　sin(A+B).　‎ 在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.‎ ‎(2)由已知,b2+c2-a2=‎6‎‎5‎bc,‎ 根据余弦定理,有cos A=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc‎=‎‎3‎‎5‎,　‎ 所以sin A=‎1-cos‎2‎A‎=‎‎4‎‎5‎.‎ 由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,‎ 所以‎4‎‎5‎sin B=‎4‎‎5‎cos B+‎3‎‎5‎sin B,故tan B=sinBcosB=4.‎ ‎18.‎ ‎(2016四川,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=‎1‎‎2‎AD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;‎ ‎(2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.‎ 解(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.‎ 延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:‎ 由已知,BC∥ED,且BC=ED.‎ 所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.‎ 又EB⊂平面PBE,CM⊄平面PBE,　‎ 所以CM∥平面PBE.‎ ‎(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(2)方法一:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,‎ 所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.‎ 所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角,‎ 所以∠PDA=45°.‎ 设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.‎ 过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.‎ 易知PA⊥平面ABCD,从而PA⊥CE.‎ 于是CE⊥平面PAH.‎ 所以平面PCE⊥平面PAH.‎ 过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.　‎ 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.　‎ 在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1,所以AH=‎2‎‎2‎.‎ 在Rt△PAH中,PH=PA‎2‎+AH‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎,‎ 所以sin∠APH=AHPH‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 方法二:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.‎ 于是CD⊥PD.‎ 从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.‎ 所以∠PDA=45°.‎ 由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.‎ 设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.‎ 作Ay⊥AD,以A为原点,以AD‎,‎AP的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0).‎ 所以PE=(1,0,-2),EC=(1,1,0),AP=(0,0,2).‎ 设平面PCE的法向量为n=(x,y,z).‎ 由n·PE=0,‎n·EC=0,‎得x-2z=0,‎x+y=0.‎ 设x=2,解得n=(2,-2,1).‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α,‎ 则sin α=‎|n·AP|‎‎|n|·|AP|‎‎=‎2‎‎2×‎‎2‎‎2‎‎+(-2‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为‎1‎‎3‎.‎ ‎19.(2016四川,理19)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.‎ ‎(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设双曲线x2-y‎2‎an‎2‎=1的离心率为en,且e2=‎5‎‎3‎,证明:e1+e2+…+en>‎4‎n‎-‎‎3‎n‎3‎n-1‎.‎ 解(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,　‎ 两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.　‎ 又由S2=qS1+1得到a2=qa1,‎ 故an+1=qan对所有n≥1都成立.‎ 所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.‎ 从而an=qn-1.‎ 由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,‎ 即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,‎ 由已知,q>0,故q=2.‎ 所以an=2n-1(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)可知,an=qn-1.‎ 所以双曲线x2-y‎2‎an‎2‎=1的离心率en=‎1+‎an‎2‎‎=‎‎1+‎q‎2(n-1)‎.‎ 由e2=‎1+‎q‎2‎‎=‎‎5‎‎3‎,解得q=‎4‎‎3‎.‎ 因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以‎1+‎q‎2(k-1)‎>qk-1(k∈N*).‎ 于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn‎-1‎q-1‎,　‎ 故e1+e2+…+en>‎4‎n‎-‎‎3‎n‎3‎n-1‎.‎ ‎20.(2016四川,理20)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;‎ ‎(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.‎ 解(1)由已知,a=‎2‎b,则椭圆E的方程为x‎2‎‎2‎b‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1.‎ 由方程组x‎2‎‎2‎b‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1,‎y=-x+3,‎得3x2-12x+(18-2b2)=0.　①‎ 方程①的判别式为Δ=24(b2-3),‎ 由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,‎ 所以椭圆E的方程为x‎2‎‎6‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1,点T坐标为(2,1).‎ ‎(2)由已知可设直线l'的方程为y=‎1‎‎2‎x+m(m≠0),‎ 由方程组y=‎1‎‎2‎x+m,‎y=-x+3,‎可得x=2-‎2m‎3‎,‎y=1+‎2m‎3‎.‎ 所以P点坐标为‎2-‎2m‎3‎,1+‎‎2m‎3‎,|PT|2=‎8‎‎9‎m2.‎ 设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由方程组x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎y=‎1‎‎2‎x+m,‎ 可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②‎ 方程②的判别式为Δ=16(9-2m2),‎ 由Δ>0,解得-‎3‎‎2‎‎2‎‎1‎x-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).‎ 解(1)f'(x)=2ax-‎1‎x‎=‎‎2ax‎2‎-1‎x(x>0).‎ 当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.‎ 当a>0时,由f'(x)=0,有x=‎1‎‎2a.‎ 此时,当x∈‎0,‎‎1‎‎2a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;　‎ 当x∈‎1‎‎2a‎,+∞‎时,f'(x)>0,f(x)单调递增.　‎ ‎(2)令g(x)=‎1‎x‎-‎‎1‎ex-1‎,s(x)=ex-1-x.‎ 则s'(x)=ex-1-1.‎ 而当x>1时,s'(x)>0,‎ 所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.‎ 又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.‎ 当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0.‎ 故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.　‎ 当01.‎ 由(1)有f‎1‎‎2a0,‎ 所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.‎ 当a≥‎1‎‎2‎时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).‎ 当x>1时,h'(x)=2ax-‎1‎x‎+‎‎1‎x‎2‎-e1-x>x-‎1‎x‎+‎1‎x‎2‎-‎1‎x=x‎3‎‎-2x+1‎x‎2‎>‎x‎2‎‎-2x+1‎x‎2‎>0.‎ 因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增.‎ 又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.‎ 综上,a∈‎1‎‎2‎‎,+∞‎.‎