专题3-1 导数概念及其运算（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

专题3-1 导数概念及其运算（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

基础巩固题组 一、填空题 ‎1．设y＝x2ex，则y′＝________.‎ ‎【答案】(2x＋x2)ex ‎【解析】y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.‎ ‎2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝‎2f′(1)＋，‎ ‎∴f′(1)＝‎2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.‎ ‎3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是________．‎ ‎【解析】y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.‎ ‎【答案】2x－y＋1＝0‎ ‎4．(2017·苏州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．‎ ‎【答案】 ‎5．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝‎2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故‎2a－1＝0，解得a＝. ‎ ‎6．(2017·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，‎ ‎∴g′(3)＝f(3)＋‎3f′(3)＝1－1＝0.‎ ‎7．(2017·苏北四市模拟)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】∵y′＝，∴‎ 由条件知＝－1，∴a＝－1.‎ ‎8．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．‎ ‎【答案】8‎ 二、解答题 ‎9．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：‎ ‎(1)斜率最小的切线方程；‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围．‎ 解　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，‎ 所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，‎ 所以斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，‎ 所以切线方程为3x＋3y－11＝0.‎ ‎(2)由(1)得k≥－1，‎ 所以tan α≥－1，所以α∈∪.‎ ‎10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．‎ ‎(1)求P0的坐标；‎ ‎(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．‎ 能力提升题组 ‎11．(2016·山东卷改编)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数：‎ ‎①y＝sin x；②y＝ln x；③y＝ex；④y＝x3.‎ 其中具有T性质的是________(填序号)．‎ ‎【答案】①‎ ‎【解析】若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，‎ 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.‎ 对于①：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；‎ 对于②：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；‎ 对于③：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；‎ 对于④：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.‎ ‎12．(2017·合肥模拟改编)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x ‎－2的最小距离为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，‎ 点P到直线y＝x－2的距离最小，‎ 直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，‎ 得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，‎ 故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，‎ 点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于，‎ ‎∴点P到直线y＝x－2的最小距离为.‎ ‎13．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】[2，＋∞)‎ ‎14．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．‎ 解　根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－.‎ 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，‎ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，‎ 所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.‎ 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．‎ 所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.‎ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，‎ 所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，‎ 所以，两条切线不是同一条直线. ‎ ‎ ‎